無限大におけるベクトル値関数の無限極限

正の無限大におけるベクトル値関数の無限極限

定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。加えて、この関数\(f\)は限りなく大きい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( a,+\infty \right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。

関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくした場合にベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)のノルム\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の値が限りなく大きくなることが保証されているのであれば、\(x\)が限りなく大きくなるときに\(\boldsymbol{f}\)は無限大\(\infty \)へ発散する（diverge to infinity）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow +\infty \text{のときに}\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \infty
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(\infty \)を無限極限（infinite limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

まず、\(x\rightarrow +\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が限りなく大きいと言うためには、\(x\)の大きさを表す指標が必要です。そこで、\(x\)の大きさを表す指標として正の実数\(N>0\)を導入したとき、\begin{equation*}x>N
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(N\)よりも大きい」と言えます。また、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \infty \)が成り立つこと、すなわち\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の値が限りなく大きいと言うためには、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の大きさを表す指標として正の実数\(M>0\)を導入したとき、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right)\right\Vert \)は\(M\)よりも大きい」と言えます。\(x\rightarrow+\infty \)のときに\(\boldsymbol{f}\left( x\right)\rightarrow \infty \)であることは、以上のような2つの実数\(N,M\)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の大きさを表す値\(M\)を任意に選びます。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow\infty \)が成り立つのであれば、ある値\(N\)より大きい任意の\(x\)について\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow \left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M\right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow\infty \)となる場合には、最初に設定する\(M\)をどれほど大きくしても同様の議論が成立するはずです。そこで、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow \left\Vert
\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。

結論をまとめます。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が限りなく大きい任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく大きくする場合、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の値もまた限りなく大きくなることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists N>0,\ \forall x\in X:\left( x>N\Rightarrow \left\Vert
\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M\right)
\end{equation*}になるということです。

負の無限大におけるベクトル値関数の無限極限

定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。加えて、この関数\(\boldsymbol{f}\)は限りなく小さい任意の点において定義されているものとします。つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} :\left( -\infty ,a\right) \subset X
\end{equation*}が成り立つということです。

関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくした場合にベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)のノルム\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の値が限りなく大きくなることが保証されているのであれば、\(x\)が限りなく大きくなるときに\(\boldsymbol{f}\)は無限大\(\infty \)へ発散する（diverge to infinity）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow -\infty \text{のときに}\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \infty
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(\infty \)を無限極限（infinite limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

まず、\(x\rightarrow -\infty \)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が限りなく大きいと言うためには、\(x\)の大きさを表す指標が必要です。そこで、\(x\)の大きさを表す指標として負の実数\(N<0\)を導入したとき、\begin{equation*}x<N
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(N\)よりも小さい」と言えます。また、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow \infty \)が成り立つこと、すなわち\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の値が限りなく大きいと言うためには、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の大きさを表す指標も必要です。そこで、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の大きさを表す指標として正の実数\(M>0\)を導入したとき、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right)\right\Vert \)は\(M\)よりも大きい」と言えます。\(x\rightarrow-\infty \)のときに\(\boldsymbol{f}\left( x\right)\rightarrow \infty \)であることは、以上のような2つの実数\(N,M\)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の大きさを表す値\(M\)を任意に選びます。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow\infty \)が成り立つのであれば、ある値\(N\)より小さい任意の\(x\)について\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)は\(M\)よりも大きくなるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow \left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M\right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow -\infty \)のときに\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \rightarrow\infty \)となる場合には、最初に設定する\(M\)をどれほど大きくしても同様の議論が成立するはずです。そこで、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow \left\Vert
\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つことの定義とします。

結論をまとめます。ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が限りなく小さい任意の点において定義されている場合、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を\(X\)上の点をとりながら限りなく小さくする場合、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の値は限りなく大きくなることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall M>0,\ \exists N<0,\ \forall x\in X:\left( x<N\Rightarrow \left\Vert
\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M\right)
\end{equation*}になるということです。