ベクトル値関数に関する中間値の定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとする。\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、なおかつ\(f\left( a\right) \not=f\left( b\right) \)が成り立つものとする。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right\} \leq z\leq \max
\left\{ f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right\}
\end{equation*}を満たす点\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists c\in \left[ a,b\right] :z=f\left( c\right)
\end{equation*}が成り立つ。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi t\right) \\
\sin \left( \pi t\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x=\cos \left( \pi t\right) \\
y=\sin \left( \pi t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}ですが、これを変形すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x^{2}=\cos ^{2}\left( \pi t\right) \\
y^{2}=\sin ^{2}\left( \pi t\right)
\end{array}\right. \quad \left( t\in \left[ 0,1\right] \right)
\end{equation*}を得ます。任意の\(t\in \left[0,1\right] \)について、\begin{equation*}\cos ^{2}\left( \pi t\right) +\sin ^{2}\left( \pi t\right) =1
\end{equation*}が成り立つことを踏まえた上で、先の連立1次方程式から\(t\)を消去すると、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x^{2}+y^{2}=1 \\
-1\leq x\leq 1 \\
0\leq y\leq 1\end{array}\right.
\end{equation*}を得ます。したがって、\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}=1\wedge -1\leq x\leq 1\wedge 0\leq y\leq 1\right\}
\end{equation*}であることが明らかになりました。つまり、\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)は原点を中心とする単位円の上半分です。\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(\left[ 0,1\right] \)の端点に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( 0\right) \\
\sin \left( 0\right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \pi \right) \\
\sin \left( \pi \right)
\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}です。つまり、\(t\)の値が\(0\)から\(1\)へ変化するにつれて、\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)は点\(\left( 1,0\right) \)を出発点として半円上を動き点\(\left( -1,0\right) \)へ到達します。以上の2つの点を結ぶ線分は、\begin{eqnarray*}\left[ \boldsymbol{f}\left( 0\right) ,\boldsymbol{f}\left( 1\right) \right] &=&\left\{ \lambda \boldsymbol{f}\left( 0\right) +\left( 1-\lambda \right)
\boldsymbol{f}\left( 1\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \lambda \in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \lambda \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) +\left( 1-\lambda \right) \left(
\begin{array}{c}
-1 \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \lambda \in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
2\lambda -1 \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \lambda \in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{eqnarray*}ですが、この線分の中点は、\(\lambda =\frac{1}{2}\)の場合の点\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}です。しかし、この点は半円上の点ではないため、以下の条件\begin{equation*}
\exists c\in \left[ 0,1\right] :\boldsymbol{f}\left( c\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}は成り立ちません。以上より、ベクトル値関数に関しては中間値の定理が成り立たないことが明らかになりました。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義されたベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}について\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \not=\boldsymbol{f}\left( b\right) \)が成り立つものとする。さらに、連続な関数\begin{equation*}\lambda :\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}が存在するとともに、\(\boldsymbol{f}\)がそれぞれの\(t\in \left[ a,b\right] \)に対して定める値が、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left[ 1-\lambda \left( t\right) \right] \boldsymbol{f}\left( a\right) +\lambda \left( t\right) \boldsymbol{f}\left(
b\right)
\end{equation*}と表されるものとする。この場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるとともに、点\(\boldsymbol{z}\in \left[ \boldsymbol{f}\left( a\right) ,\boldsymbol{f}\left( b\right) \right] \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists c\in \left[ a,b\right] :\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}\left( c\right)
\end{equation*}が成り立つ。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left( 1-t\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。関数\begin{equation*}
\lambda \left( t\right) =t
\end{equation*}は連続関数であるとともに、その値域は、\begin{equation*}
\lambda \left( \left[ 0,1\right] \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}です。さらに、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、これらを端点とする線分は、\begin{eqnarray*}
\left[ \boldsymbol{f}\left( 0\right) ,\boldsymbol{f}\left( 1\right) \right] &=&\left\{ \lambda \boldsymbol{f}\left( 0\right) +\left( 1-\lambda \right)
\boldsymbol{f}\left( 1\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \lambda \in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \lambda \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) +\left( 1-\lambda \right) \left(
\begin{array}{c}
2 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \lambda \in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
2-2\lambda \\
1-\lambda
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \lambda \in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{eqnarray*}ですが、先の命題より、この線分上の点\(\boldsymbol{z}\in \left[ \boldsymbol{f}\left( 0\right) ,\boldsymbol{f}\left(1\right) \right] \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}\left( c\right)
\end{equation*}を満たす点\(c\in \left[ 0,1\right] \)が存在します。具体例を挙げると、\(\lambda =\frac{1}{2}\)に対応する点は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\frac{1}{2}\end{array}\right) \in \left[ \boldsymbol{f}\left( 0\right) ,\boldsymbol{f}\left(
1\right) \right] \end{equation*}ですが、これに対して、点\(\frac{1}{2}\in \left[ 0,1\right] \)に注目すると、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \frac{1}{2}\right) &=&\left( 1-\frac{1}{2}\right)
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left( 1-t^{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) +t^{2}\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。関数\begin{equation*}
\lambda \left( t\right) =t^{2}
\end{equation*}は連続関数であるとともに、その値域は、\begin{equation*}
\lambda \left( \left[ 0,1\right] \right) =\left[ 0,1\right] \end{equation*}です。さらに、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}であるため、これらを端点とする線分は、\begin{eqnarray*}
\left[ \boldsymbol{f}\left( 0\right) ,\boldsymbol{f}\left( 1\right) \right] &=&\left\{ \lambda \boldsymbol{f}\left( 0\right) +\left( 1-\lambda \right)
\boldsymbol{f}\left( 1\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \lambda \in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \lambda \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) +\left( 1-\lambda \right) \left(
\begin{array}{c}
2 \\
1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \lambda \in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
2-2\lambda \\
1-\lambda
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \lambda \in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{eqnarray*}ですが、先の命題より、この線分上の点\(\boldsymbol{z}\in \left[ \boldsymbol{f}\left( 0\right) ,\boldsymbol{f}\left(1\right) \right] \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\boldsymbol{z}=\boldsymbol{f}\left( c\right)
\end{equation*}を満たす点\(c\in \left[ 0,1\right] \)が存在します。具体例を挙げると、\(\lambda =\frac{1}{2}\)に対応する点は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\frac{1}{2}\end{array}\right) \in \left[ \boldsymbol{f}\left( 0\right) ,\boldsymbol{f}\left(
1\right) \right] \end{equation*}ですが、これに対して、点\(\sqrt{\frac{1}{2}}\in \left[ 0,1\right] \)に注目すると、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \sqrt{\frac{1}{2}}\right) &=&\left[ 1-\left( \sqrt{\frac{1}{2}}\right) ^{2}\right] \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) +\left( \sqrt{\frac{1}{2}}\right) ^{2}\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left( 1-\frac{1}{2}\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) +\frac{1}{2}\left(
\begin{array}{c}
2 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。

3次元空間\(\mathbb{R} ^{3}\)において、点\(A\left( 1,0,0\right) \)および点\(B\left( 0,1,1\right) \)を結ぶ線分上を、時間\(t\in \left[0,1\right] \)の関数として動く点\(\boldsymbol{P}\left( t\right) \)が、\begin{equation*}\boldsymbol{P}\left( t\right) =\left[ 1-\lambda \left( t\right) \right] A+\lambda \left( t\right) B
\end{equation*}として与えられているものとします。ただし、\begin{equation*}
\lambda \left( t\right) =\sin ^{2}\left( \frac{\pi t}{2}\right)
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。

1. \(\boldsymbol{P}\left( t\right) \)の各成分を具体的に求めてください。
2. \(t=0\)および\(t=1\)のときの点の位置を求めてください。
3. \(\boldsymbol{P}\left( t\right) \)が連続関数であることを示してください。
4. \(\boldsymbol{P}\left( t\right) \)の軌跡を求めてください。
5. 中間値の定理に対応する性質を確認してください。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(t\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left[ 1-\sin ^{2}\left( t\right) \right] \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) +\sin ^{2}\left( t\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ベクトル値関数に関する中間値の定理が要求する条件が満たされることを確認するとともに、以下の条件\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
0 \\
\frac{1}{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を満たす\(t\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \)が存在することを示すとともに、そのような\(t\)を具体的に求めてください。