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VECTOR VALUED FUNCTION

片側極限を用いたベクトル値関数の収束判定

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ベクトル値関数の極限と片側極限の関係

復習になりますがベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)に近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記しました。\(x\)が\(a\)に限りなく近づく際の経路としては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}などが存在しますが、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていく場合においてもそれに応じて\(f\left( x\right) \)が必ず同一の点\(b\)へ限りなく近づくのであれば、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記するということです。一方、\(x\)が\(a\)より大きい値をとりながら\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を右側極限と定義し、\(x\)が\(a\)より小さい値をとりながら\(a\)に限りなく近づく場合の\(f\)の極限を左側極限と定義しました。したがって、通常の極限は右側極限や左側極限を特殊例として含んでいます。つまり、関数\(f\)が点\(a\)において通常の極限を持つ場合、\(f\)はその点\(a\)において右側極限と左側極限をともに持つとともに、それらの極限はいずれも一致することが予想されます。実際、これは正しい主張です。

命題(ベクトル値関数の極限と片側極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するものとする。この場合、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、なおかつ\(f\)は\(x\rightarrow a-\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとともに、これらの極限の間には、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、ベクトル値関数の右側極限と左側極限がともに存在するとともに両者が一致する場合、そのベクトル値関数は通常の極限を持つことが保証されるとともに、その極限は右側極限や左側極限と一致することが保証されます。

命題(ベクトル値関数の極限と片側極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、なおかつ\(x\rightarrow a-\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、なおかつ片側極限の間に、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つものとする。この場合、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するとともに、これらの極限の間には、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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以上の2つの命題より、ベクトル値関数が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点に収束することと、その関数が左右の極限を持つとともに両者が一致することは必要十分であることが明らかになりました。

命題(ベクトル値関数の極限と片側極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)について、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、なおかつ\(x\rightarrow a-\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、なおかつ片側極限の間に、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことは、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するための必要十分条件である。さらにこのとき、これらの極限の間には、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

以上の命題より、ベクトル値関数の収束に関する議論を片側収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

例(ベクトル値関数の極限と片側極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \left\vert x\right\vert ,\left\vert x\right\vert
^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は収束するでしょうか。\(0\)より大きい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v}\right) &=&\left(
\lim_{v\rightarrow \infty }\left\vert x_{v}\right\vert ,\lim_{v\rightarrow
\infty }\left\vert x_{v}\right\vert ^{2}\right) \quad \because \left\{
f\left( x_{v}\right) \right\} \text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v},\lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{2}\right) \quad \because \left( a\right) \\
&=&\left( 0,0^{2}\right) \quad \because \left( b\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\left( 0,0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であることが示されました。続いて、\(0\)より小さい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}<0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v}\right) &=&\left(
\lim_{v\rightarrow \infty }\left\vert x_{v}\right\vert ,\lim_{v\rightarrow
\infty }\left\vert x_{v}\right\vert ^{2}\right) \quad \because \left\{
f\left( x_{v}\right) \right\} \text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( -x_{v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( -x_{v}\right) ^{2}\right) \quad \because
\left( a\right) \\
&=&\left( -0,-0^{2}\right) \quad \because \left( b\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\left( 0,0\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}であることが示されました。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。

 

ベクトル値関数が収束しないことの証明

ベクトル値関数\(f\)の点\(a\)における右側極限と左側極限がともに存在するとともに両者が一致する場合、そしてその場合にのみ、\(f\)は点\(a\)において通常の極限を持つことが明らかになりました。したがって、\(f\)の点\(a\)における右側極限と左側極限の少なくとも一方が存在しない場合、\(f\)は点\(a\)において通常の極限を持ちません。

例(ベクトル値関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x,\frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は収束するでしょうか。一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\frac{1}{v}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{v}\right\} \)に注目します。この数列は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0
\end{eqnarray*}をともに満たします。その一方で、点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)の座標数列\(\left\{ f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f_{2}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\frac{1}{\frac{1}{v}}\quad \because \left\{ f\left( x_{v}\right)
\right\} \text{の低意義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }v \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ f_{2}\left( x_{v}\right)\right\} \)は\(x\rightarrow 0+\)のときに有限な実数へ収束せず、したがって\(\left\{ f\left(x_{v}\right) \right\} \)は\(x\rightarrow 0+\)のときに\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束しません。したがって、先の命題より、\(f\)は\(x\rightarrow 0\)のときに\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束しません。

ベクトル値関数\(f\)の点\(a\)における右側極限と左側極限の両方が存在するものの両者が異なる場合、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において通常の極限を持ちません。

例(ベクトル値関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は右側収束するでしょうか。点\(0\)よりも大きい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\begin{eqnarray*}\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right)
,f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( 1,1\right) \right\} \quad \because x_{v}>0
\end{eqnarray*}を作ると、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v}\right) &=&\left(
\lim_{v\rightarrow \infty }f_{1}\left( x_{v}\right) ,\lim_{v\rightarrow
\infty }f_{2}\left( x_{v}\right) \right) \\
&=&\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}となるため、関数\(f\)に関して、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\left( 1,1\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。一方、点\(0\)よりも小さい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\begin{eqnarray*}\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right)
,f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \quad \because x_{v}<0
\end{eqnarray*}を作ると、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v}\right) &=&\left(
\lim_{v\rightarrow \infty }f_{1}\left( x_{v}\right) ,\lim_{v\rightarrow
\infty }f_{2}\left( x_{v}\right) \right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となるため、関数\(f\)に関して、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\left( 0,0\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は異なるため、先の命題より、\(f\)は\(x\rightarrow 0\)のときに\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束しません。

次回はベクトル値関数の無限大における極限について解説します。

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