ベクトル値関数の極限と片側極限の関係
始集合が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \) \(\left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。その上で、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。集積点の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall \delta >0:\left( a-\delta ,a+\delta \right) \cap \left( X\backslash
\left\{ a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。
このようなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限なベクトルへ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<|x-a|<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。\(x\)が\(a\)へ限りなく近づく際の経路としては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}などが存在しますが、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていく場合においてもそれに応じて\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が必ず同一のベクトル\(b\)へ限りなく近づくのであれば、そのことを、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}
\end{equation*}と表記するということです。一方、\(x\)が\(a\)より大きい値をとりながら\(a\)に限りなく近づく場合の\(\boldsymbol{f}\)の極限を右側極限と定義し、\(x\)が\(a\)より小さい値をとりながら\(a\)に限りなく近づく場合の\(\boldsymbol{f}\)の極限を左側極限と定義しました。したがって、通常の極限は右側極限や左側極限を特殊例として含んでいます。つまり、関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に収束する場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束するとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に左側収束するとともに、それらの極限はいずれも一致することが予想されます。実際、これは正しい主張です。
=\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題の逆もまた成立します。つまり、ベクトル値関数の右側極限と左側極限がともに存在するとともに両者が一致する場合、そのベクトル値関数は通常の極限を持つことが保証されるとともに、その極限は右側極限や左側極限と一致することが保証されます。
=\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つものとする。このとき、\(\boldsymbol{f}\)は\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束するとともに、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
以上の2つの命題より、ベクトル値関数の極限が存在することと、そのベクトル値関数の左右の片側極限が存在するとともに両者が一致することは必要十分であることが明らかになりました。
=\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束するための必要十分条件である。さらにこのとき、これらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
ベクトル値関数が収束することの判定
先の命題より、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a\)の場合にベクトルへ収束することを示す代わりに、\(x\rightarrow a+\)の場合の\(\boldsymbol{f}\)の右側極限と\(x\rightarrow a-\)の場合の\(\boldsymbol{f}\)の左側極限がともに存在するとともに両者が一致することを示せばよいことが明らかになりました。しかもこのとき、極限の値は片側極限の値と一致します。
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
\left\vert x\right\vert ^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は収束するでしょうか。\(0\)より大きい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\left\vert x_{v}\right\vert \\
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\left\vert x_{v}\right\vert ^{2}\end{array}\right) \quad \because \left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\}
\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }x_{v} \\
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }x_{v}^{2}\end{array}\right) \quad \because \left( a\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0^{2}\end{array}\right) \quad \because \left( b\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であることが示されました。続いて、\(0\)より小さい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}<0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\left\vert x_{v}\right\vert \\
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\left\vert x_{v}\right\vert ^{2}\end{array}\right) \quad \because \left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\}
\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\left( -x_{v}\right) \\
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\left( -x_{v}\right) ^{2}\end{array}\right) \quad \because \left( a\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-0 \\
0^{2}\end{array}\right) \quad \because \left( b\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}であることが示されました。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}であることが明らかになりました。
ベクトル値関数が収束しないことの判定
先の命題はベクトル値関数が収束するための必要十分条件を与えているため、ベクトル値関数が収束しないことを示す上でも有用です。具体的には以下の通りです。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束しないか、または\(x\rightarrow a-\)の場合に左側収束しないか、それらの少なくとも一方が成り立つ場合には、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は\(x\rightarrow a\)の場合に収束しません。
\begin{array}{c}
x \\
\frac{1}{x}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)のときに\(\boldsymbol{f}\)は収束するでしょうか。一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\frac{1}{v}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{x_{v}\right\} \)に注目します。この数列は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0
\end{eqnarray*}をともに満たします。その一方で、点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)の座標数列\begin{eqnarray*}f_{2}\left( x_{v}\right) &=&\frac{1}{x_{v}} \\
&=&\frac{1}{\frac{1}{v}} \\
&=&v
\end{eqnarray*}については、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }f_{2}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }v \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため数列\(\left\{ f_{2}\left(x_{v}\right) \right\} \)は\(x\rightarrow 0+\)の場合に実数へ収束せず、したがって点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)は\(x\rightarrow 0+\)の場合に\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルへ収束しません。したがって、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルへ収束しません。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束し、なおかつ\(x\rightarrow a-\)の場合に左側収束するものの、右側極限と左側極限の値が一致しない場合にも、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は\(x\rightarrow a\)の場合に収束しません。
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は収束するでしょうか。点\(0\)よりも大きい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\begin{eqnarray*}\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{v}\right) \\
f_{2}\left( x_{v}\right)
\end{array}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\} \quad \because x_{v}>0
\end{eqnarray*}を作ると、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x_{v}\right) \\
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f_{2}\left( x_{v}\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、関数\(\boldsymbol{f}\)に関して、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。一方、点\(0\)よりも小さい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\begin{eqnarray*}\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{v}\right) \\
f_{2}\left( x_{v}\right)
\end{array}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \quad \because x_{v}<0
\end{eqnarray*}を作ると、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x_{v}\right) \\
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f_{2}\left( x_{v}\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、関数\(\boldsymbol{f}\)に関して、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は異なるため、先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は\(x\rightarrow 0\)の場合に\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルへ収束しません。
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