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1変数関数とベクトル値関数の合成関数の極限

目次

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点において収束する1変数関数とベクトル値関数の合成関数の極限

1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域とベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left( g_{1}\left( f\left( x\right) \right) ,\cdots ,g_{m}\left( x\right)
\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\(g_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(g\)の成分関数です。

関数\(f\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}です。さらに、ベクトル値関数\(g\)は点\(b\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow b\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(x\rightarrow b\)のときの\(g\)の極限が\(x=b\)の場合の\(g\left( x\right) \)の値である\(g\left( b\right) \)と一致するということです(このとき、ベクトル値関数\(g\)は点\(b\)において連続であると言います)。以上の条件が満たされる場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束することが保証されるとともに、その極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(点において収束する1変数関数とベクトル値関数の合成関数の極限)
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のときに点\(g\left( b\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sin ^{2}\left( x\right) -\sin \left( x\right)
,\sin \left( x\right) +1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は1変数関数である正弦関数\(\sin \left( x\right) \)とベクトル値関数\(\left(x^{2}-x,x+1\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\)を任意に選んだとき、関数\(\sin \left(x\right) \)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、正弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\sin \left( x\right) =\sin \left( a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。関数\(\left(x^{2}-x,x+1\right) \)は多項式関数を成分関数として持つベクトル値関数であるため点\(\sin \left( a\right) \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left( x^{2}-x,x+1\right)
&=&\left( \lim_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left( x^{2}-x\right)
,\lim_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left( x+1\right) \right) \quad
\because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left( \sin ^{2}\left( a\right) -\sin \left( a\right) ,\sin \left(
a\right) +1\right) \quad \because \text{多項式関数の極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left( x^{2}-x,x+1\right) =\left(
\sin ^{2}\left( a\right) -\sin \left( a\right) ,\sin \left( a\right)
+1\right)
\end{equation*}が成り立ちます(関数\(\left( x^{2}-x,x+1\right) \)は点\(\sin \left( a\right) \)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \sin
^{2}\left( x\right) -\sin \left( x\right) ,\sin \left( x\right) +1\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \sin ^{2}\left( a\right) -\sin \left( a\right) ,\sin \left(
a\right) +1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \cos \left( \left\vert x\right\vert \right) ,\sin
\left( \left\vert x\right\vert \right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は1変数関数である絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)とベクトル値関数\(\left( \cos\left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\)を任意に選んだとき、関数\(\left\vert x\right\vert \)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、絶対値関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert x\right\vert =\left\vert a\right\vert
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。関数\(\left( \cos \left(x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は余弦関数と正弦関数を成分関数として持つベクトル値関数であるため点\(\left\vert a\right\vert \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \left\vert a\right\vert }\left( \cos \left( x\right)
,\sin \left( x\right) \right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow \left\vert
a\right\vert }\cos \left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow \left\vert
a\right\vert }\sin \left( x\right) \right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left( \cos \left( \left\vert a\right\vert \right) ,\sin \left(
\left\vert a\right\vert \right) \right) \quad \because \text{余弦関数と正弦関数の極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \left\vert a\right\vert }\left( \cos \left( x\right)
,\sin \left( x\right) \right) =\left( \cos \left( \left\vert a\right\vert
\right) ,\sin \left( \left\vert a\right\vert \right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます(関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は点\(\left\vert a\right\vert \)において連続)。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \cos
\left( \left\vert x\right\vert \right) ,\sin \left( \left\vert x\right\vert
\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \cos \left( \left\vert a\right\vert \right) ,\sin \left(
\left\vert a\right\vert \right) \right) \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

繰り返しになりますが、1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\)へ収束するとともに、ベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がその点\(b\)において連続である場合には、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left( b\right) \)と一致します。この命題において「ベクトル値関数\(g\)が点\(b\)において連続である」という条件は必須なのでしょうか。

ベクトル値関数\(g\)が点\(b\)およびその周辺の任意の点において定義されているものの、\(x\rightarrow b\)のときの極限が\(g\left( b\right) \)とは一致しない場合、\(g\)は点\(b\)において連続ではありませんが、このような場合、\(x\rightarrow a\)のときの合成関数\(g\circ f\)の極限は\(g\left(b\right) \)と一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) \\
&=&\left( 0,0\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =\left(
0,0\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。関数\(g\)はこの点\(0\)において定義されている一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
0,0\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right) \\
&\not=&\left( 1,1\right) \\
&=&g\left( 0\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) \not=g\left( 0\right)
\end{equation*}となります(関数\(g\)は点\(0\)において連続ではない)。加えて、\begin{equation*}g\left( 0\right) =\left( 1,1\right)
\end{equation*}であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) \not=g\left(
0\right)
\end{equation*}となることが明らかになりました。

 

点において発散する1変数関数とベクトル値関数の合成関数の極限

1変数関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに無限大へ発散するとともにベクトル値関数\(g\)が無限大において収束する場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(g\)の極限と同じ極限へ収束します。

命題(点において発散する1変数関数とベクトル値関数の合成関数の極限)
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに正の無限大\(+\infty \)へ発散するものとする。さらに、\(g\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに負の無限大\(-\infty \)へ発散するものとする。さらに、\(g\)は限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

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無限大において収束する1変数関数とベクトル値関数の合成関数の極限

1変数関数\(f\)が無限大において有限な実数\(b\)へ収束するとともにベクトル値関数\(g\)が\(x\rightarrow b\)のときに点\(g\left( b\right) \)へ収束する場合、合成関数\(g\circ f\)もまた無限大において点\(g\left( b\right) \)へ収束します。

命題(無限大において収束する1変数関数とベクトル値関数の合成関数の極限)
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のときに点\(g\left( b\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとする。さらに、\(g\)は点\(b\)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow b\)のときに点\(g\left( b\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。

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無限大において発散する1変数関数とベクトル値関数の合成関数の極限

1変数関数\(f\)が無限大において無限大へ発散するとともにベクトル値関数\(g\)が無限大において収束する場合、合成関数\(g\circ f\)もまた無限大において\(g\)の極限と同じ極限へ収束します。

命題(無限大において発散する1変数関数とベクトル値関数の合成関数の極限)
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)とベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の間には\(f\left( X\right) \subset Y\)が成り立つものとする。この場合、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能である。\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに正の無限大\(+\infty \)へ発散するものとする。さらに、\(g\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに負の無限大\(-\infty \)へ発散するものとする。さらに、\(g\)は限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに正の無限大\(+\infty \)へ発散するものとする。さらに、\(g\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに負の無限大\(-\infty \)へ発散するものとする。さらに、\(g\)は限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

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