点において収束する1変数関数とベクトル値関数の合成関数の極限
1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域とベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\left( g_{1}\left( f\left( x\right) \right) ,\cdots ,g_{m}\left( x\right)
\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\(g_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(g\)の成分関数です。
関数\(f\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\in \mathbb{R} \end{equation*}です。さらに、ベクトル値関数\(g\)は先の点\(b\)および周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow b\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束し、その極限が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}であるものとします（このとき、ベクトル値関数\(g\)は点\(b\)において連続（continuous）と言います）。以上の条件が満たされる場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束することが保証されるとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を満たすことが保証されます。
b\right)
\end{equation*}が成り立つ。
つまり、\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\)へ収束する1変数関数\(f\)と点\(b\)において連続なベクトル値関数\(g\)が与えられたとき、それらの合成関数であるベクトル値関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときにあるベクトルへ収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left(b\right) =g\left( \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)と一致することを上の命題は保証しています。したがって、合成関数\(g\circ f\)の収束可能性を判定する際には、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、これらがそれぞれ上述の条件を満たすことを確認すればよいということになります。
,\sin \left( x\right) +1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は1変数関数である正弦関数\(\sin \left( x\right) \)とベクトル値関数\(\left(x^{2}-x,x+1\right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\)を任意に選んだとき、関数\(\sin \left(x\right) \)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、正弦関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\sin \left( x\right) =\sin \left( a\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。関数\(\left(x^{2}-x,x+1\right) \)は多項式関数を成分関数として持つベクトル値関数であるため点\(\sin \left( a\right) \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left( x^{2}-x,x+1\right)
&=&\left( \lim_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left( x^{2}-x\right)
,\lim_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left( x+1\right) \right) \quad
\because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left( \sin ^{2}\left( a\right) -\sin \left( a\right) ,\sin \left(
a\right) +1\right) \quad \because \text{多項式関数の極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \sin \left( a\right) }\left( x^{2}-x,x+1\right) =\left(
\sin ^{2}\left( a\right) -\sin \left( a\right) ,\sin \left( a\right)
+1\right)
\end{equation*}が成り立ちます（関数\(\left( x^{2}-x,x+1\right) \)は点\(\sin \left( a\right) \)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \sin
^{2}\left( x\right) -\sin \left( x\right) ,\sin \left( x\right) +1\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \sin ^{2}\left( a\right) -\sin \left( a\right) ,\sin \left(
a\right) +1\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
\left( \left\vert x\right\vert \right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は1変数関数である絶対値関数\(\left\vert x\right\vert \)とベクトル値関数\(\left( \cos\left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)の合成関数であることに注意してください。点\(a\)を任意に選んだとき、関数\(\left\vert x\right\vert \)は点\(a\)を含め周辺の任意の点において定義されているため、絶対値関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}\left\vert x\right\vert =\left\vert a\right\vert
\quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。関数\(\left( \cos \left(x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は余弦関数と正弦関数を成分関数として持つベクトル値関数であるため点\(\left\vert a\right\vert \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \left\vert a\right\vert }\left( \cos \left( x\right)
,\sin \left( x\right) \right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow \left\vert
a\right\vert }\cos \left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow \left\vert
a\right\vert }\sin \left( x\right) \right) \quad \because \text{ベクトル値関数と成分関数の極限} \\
&=&\left( \cos \left( \left\vert a\right\vert \right) ,\sin \left(
\left\vert a\right\vert \right) \right) \quad \because \text{余弦関数と正弦関数の極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \left\vert a\right\vert }\left( \cos \left( x\right)
,\sin \left( x\right) \right) =\left( \cos \left( \left\vert a\right\vert
\right) ,\sin \left( \left\vert a\right\vert \right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます（関数\(\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \)は点\(\left\vert a\right\vert \)において連続）。したがって、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left( \cos
\left( \left\vert x\right\vert \right) ,\sin \left( \left\vert x\right\vert
\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \cos \left( \left\vert a\right\vert \right) ,\sin \left(
\left\vert a\right\vert \right) \right) \quad \because \left( 1\right)
,\left( 2\right) \text{および合成関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。
先の命題が要求する条件の吟味
繰り返しになりますが、1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\)へ収束するとともに、ベクトル値関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がその点\(b\)において連続である場合には、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left( b\right) \)と一致します。この命題において「ベクトル値関数\(g\)が点\(b\)において連続である」という条件は必須なのでしょうか。ベクトル値関数\(g\)が点\(b\)において連続ではない場合においても、合成関数\(g\circ f\)が\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束する状況は起こり得ますが、そこでの極限は\(g\left( b\right) \)と一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、合成関数\(g\circ f\)は関数\(g\)と一致します。以上を踏まえた上で、以下の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}に注目します。この合成関数\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}x\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(0\)について、関数\(g\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
0,0\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right) \\
&\not=&\left( 1,1\right) \\
&=&g\left( 0\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(0\)において連続ではないからです。したがって、先の命題の結論\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことを保証できません。実際、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( 0,0\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow 0}0,\lim_{x\rightarrow 0}0\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であるのに対し、\begin{eqnarray*}
g\left( \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right) &=&g\left( 0\right)
\quad \because \lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =0 \\
&=&\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) \not=g\left(
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を得ます。
先の命題は合成関数\(g\circ f\)が\(x\rightarrow a\)の場合にベクトルへ収束するための条件を明らかにしています。では、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束しない場合や、\(x\rightarrow b\ \left(=\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)の場合に\(g\)がベクトルへ収束しない場合などには、合成関数\(g\circ f\)は\(x\rightarrow a\)の場合にベクトルへ収束しないとまで言えるのでしょうか。この主張は誤りです。
まずは、関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束しないにも関わらず、合成関数\(g\circ f\)は\(x\rightarrow a\)の場合にベクトルへ収束する例を挙げます。
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ x>0\right) \\
1 & \left( if\ x\leq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が定義可能であるため、以下の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
\end{equation*}に注目します。この合成関数\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}0\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}1\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となりますが、両者は異なるため、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないからです。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because
g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}g\left( y\right) \quad \because \lim_{x\rightarrow
0+}f\left( x\right) =0 \\
&=&\lim_{y\rightarrow 0}\left( 0,0\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0-}g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because
g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1}g\left( y\right) \quad \because \lim_{x\rightarrow
0-}f\left( x\right) =1 \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1}\left( 0,0\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =\left(
0,0\right)
\end{equation*}を得ます。ちなみに、\begin{eqnarray*}
\left( g\circ f\right) \left( 0\right) &=&g\left( f\left( 0\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( 1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 0,0\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、以下の関係\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =\left( g\circ
f\right) \left( 0\right)
\end{equation*}もまた成立しています。
続いて、関数\(g\)が\(x\rightarrow b\ \left( =\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \)の場合にベクトルへ収束しないにも関わらず、合成関数\(g\circ f\)は\(x\rightarrow a\)の場合にベクトルへ収束する例を挙げます。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( x+1,x+1\right) & \left( if\ x>1\right) \\
\left( x,x\right) & \left( if\ x=1\right) \\
\left( x-1,x-1\right) & \left( if\ x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この合成関数\(g\circ f\)は先の命題が要求する条件を満たしません。実際、関数\(f\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left(
1-x^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}1-\left( \lim_{x\rightarrow 0}x\right) ^{2}\quad
\because \text{多項式関数の極限} \\
&=&1-0^{2}\quad \because \text{定数関数および恒等関数の極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、この点\(1\)について、関数\(g\)は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}g\left( x\right) &=&\left( 2,2\right) \\
\lim_{x\rightarrow 1-}g\left( x\right) &=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となり両者は異なるため、\(g\)は\(x\rightarrow 1\)の場合に\(\mathbb{R} ^{2}\)上のベクトルへ収束しないからです。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow 0+}g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because
g\circ f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1-}g\left( y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{y\rightarrow 1-}\left( y-1,y-1\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( 1-1,1-1\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。
合成関数の無限大における極限
先の命題は合成関数が点においてベクトルへ収束するための条件を与えてくれましたが、合成関数が無限大においてベクトルへ収束するための条件も同様です。
関数\(f\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b\in \mathbb{R} \end{equation*}です。さらに、ベクトル値関数\(g\)は先の点\(b\)および周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow b\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束し、その極限が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}であるものとします（このとき、ベクトル値関数\(g\)は点\(b\)において連続である）。以上の条件が満たされる場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)上のベクトルへ収束することが保証されるとともに、その極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を満たすことが保証されます。
b\right)
\end{equation*}が成り立つ。
負の無限大における極限についても同様です。
b\right)
\end{equation*}が成り立つ。
合成関数と無限極限
合成関数\(g\circ f\)を構成する2つの関数\(f,g\)がともに点もしくは無限大において収束する場合における合成関数\(g\circ f\)の極限について考察してきましたが、\(f,g\)の少なくとも一方が収束しない場合、合成関数\(g\circ f\)の極限に関して何らかのことを言えるのでしょうか。
関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに無限大へ発散する一方で関数\(g\)が無限大においてベクトル\(b\)へ収束する場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(b\)へ収束します。
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに負の無限大\(-\infty \)へ発散するものとする。さらに、\(g\)は限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束するものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
関数\(f\)が無限大において無限大へ発散する一方で関数\(g\)が無限大においてベクトル\(b\)へ収束する場合、合成関数\(g\circ f\)もまた無限大において\(b\)へ収束します。
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに負の無限大\(-\infty \)へ発散し、\(g\)は限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに正の無限大\(+\infty \)へ発散し、\(g\)は限りなく大きい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow +\infty \)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。また、\(f\)が限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに負の無限大\(-\infty \)へ発散し、\(g\)は限りなく小さい任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow -\infty \)のときに点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束する場合には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }\left( g\circ f\right) \left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
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