ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側連続かつ左側連続である。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続かつ左側連続であるならば、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において連続である。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられているものとする。\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において連続であることと、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側連続かつ左側連続であることは必要十分である。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x\right\vert \\
x\left\vert x\right\vert
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が点\(0\)において連続であることを片側連続性を用いて証明します。以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだとき、点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x_{v}\right\vert \\
x_{v}\left\vert x_{v}\right\vert
\end{array}\right) \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left(
\begin{array}{c}
x_{v} \\
x_{v}^{2}\end{array}\right) \quad \because \left( a\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \left( b\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側連続です。また、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq 0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=0
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだとき、点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x_{v}\right\vert \\
x_{v}\left\vert x_{v}\right\vert
\end{array}\right) \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left(
\begin{array}{c}
-x_{v} \\
-x_{v}^{2}\end{array}\right) \quad \because \left( c\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \quad \because \left( d\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側連続です。したがって先の命題より、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において連続です。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x\leq 0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が点\(0\)において連続ではないことを片側連続性を用いて証明します。一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\frac{1}{v}
\end{equation*}である数列に注目します。この数列の任意の項は非負であるとともに、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=\lim_{v\rightarrow +\infty }\frac{1}{v}=0
\end{equation*}です。その一方で、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の項は正であるため点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)の一般項は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}であり、ゆえにその極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側連続ではありません。したがって\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において連続ではありません。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることと、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側連続かつ左側連続であることは必要十分です。本文中では、以上の命題をイプシロン・デルタ論法を用いて証明しました。同様の命題を、関数の極限を用いて証明してください。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( x\right) \\
x^{2}\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
x \\
\cos \left( x\right)
\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側連続であるか判定してください。
2. \(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において左側連続であるか判定してください。
3. \(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において連続であるか判定してください。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
e^{x}-1\end{array}\right) & \left( if\ x<1\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
x-1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(\boldsymbol{f}\)は点\(1\)において右側連続であるか判定してください。
2. \(\boldsymbol{f}\)は点\(1\)において左側連続であるか判定してください。
3. \(\boldsymbol{f}\)は点\(1\)において連続であるか判定してください。