集積点におけるベクトル値関数の右側連続性をイプシロン・デルタ論法を用いて定義する
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ベクトルを値としてとるベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より大きく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。つまり、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が右側収束し、さらにその右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)と一致する場合には、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側連続です。
以上の定義では「ベクトル値関数の右側極限」という概念が前提となっていますが、「ベクトル値関数の右側極限」概念を経由せず、イプシロン・デルタ論法を用いてベクトル値関数の右側連続性を定義することもできます。以下で順番に解説します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が右側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{m}\times \mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。
では、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x > a\right\} \)の集積点\(a\)において右側連続であることを、同じくイプシロン・デルタ論法を用いてどのように表現できるでしょうか。この場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\left(a\right) \)へ右側収束するため、\(\left( 1\right) \)中の\(\boldsymbol{b}\)を\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)に置き換えることができます。また、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側連続である場合には\(\boldsymbol{f}\)は\(a\)において定義されていることが前提になるため、\(\left( 1\right) \)において\(x=a\)の場合を除外する必要はありません。つまり、\(\left( 1\right) \)中の\(0<x-a\)は\(0\leq x-a\)に置き換え可能です。以上を踏まえると、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)において右側連続であることを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現できそうです。実際、これは正しい主張です。
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことと、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側連続であることは必要十分である。
\begin{array}{c}
\sqrt{x} \\
x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は集合\(\left\{ x\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x>0\right\} \)の集積点です。そこで、この関数が点\(0\)において右側連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{+}:\left( 0\leq x-0<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{f}\left( 0\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{+}:\left( 0\leq x<\delta \Rightarrow \sqrt{x+x^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{+}:\left( x<\delta \Rightarrow x+x^{2}<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、それに対して、\begin{equation}\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon }{2}\right\} >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選ぶことができます。その上で、\begin{equation}
x<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選びます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より\(x<\delta \leq 1\)すなわち、\begin{equation}x<1 \quad \cdots (1)
\end{equation}であることに注意してください。すると、\begin{eqnarray*}
x+x^{2} &<&x+x\quad \because \left( 3\right) \\
&=&2x \\
&<&2\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&\leq &2\cdot \frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
集積点における関数の左側連続性をイプシロン・デルタ論法を用いて定義する
左側連続性についても同様に考えます。具体的には以下の通りです。
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ベクトルを値としてとるベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より小さく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)において左側連続であることとは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして定義されます。つまり、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が左側収束し、さらにその左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)と一致する場合には、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側連続です。
以上の定義では「ベクトル値関数の左側極限」という概念が前提となっていますが、「ベクトル値関数の左側極限」概念を経由せず、イプシロン・デルタ論法を用いてベクトル値関数の左側連続性を定義することもできます。以下で順番に解説します。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が右側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
-\delta <x-a<0\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{m}\times \mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。
では、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x < a\right\} \)の集積点\(a\)において左側連続であることを、同じくイプシロン・デルタ論法を用いてどのように表現できるでしょうか。この場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\boldsymbol{f}\left(a\right) \)へ左側収束するため、\(\left( 1\right) \)中の\(\boldsymbol{b}\)を\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)に置き換えることができます。また、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において左側連続である場合には\(\boldsymbol{f}\)は\(a\)において定義されていることが前提になるため、\(\left( 1\right) \)において\(x=a\)の場合を除外する必要はありません。つまり、\(\left( 1\right) \)中の\(x-a<0\)は\(x-a\leq 0\)に置き換え可能です。以上を踏まえると、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)において左側連続であることを、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}と表現できそうです。実際、これは正しい主張です。
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことと、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において左側連続であることは必要十分である。
\begin{array}{c}
\sqrt{-x} \\
x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)は集合\(\left\{ x\in \mathbb{R} _{-}\ |\ x<0\right\} \)の集積点です。そこで、この関数が点\(0\)において左側連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{-}:\left( -\delta <x-0\leq 0\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left(
x\right) ,\boldsymbol{f}\left( 0\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{-}:\left( -\delta <x\leq 0\Rightarrow \sqrt{-x+x^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} _{-}:\left( -\delta <x\Rightarrow \sqrt{-x+x^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、それに対して、\begin{equation}\delta =\min \left\{ 1,\frac{\varepsilon ^{2}}{2}\right\} >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選ぶことができます。その上で、\begin{equation}
-\delta <x \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(x\in \mathbb{R} _{-}\)を任意に選びます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より\(-x<\delta <1\)であるため、\begin{equation}x^{2}<-x \quad \cdots (3)
\end{equation}であることに注意してください。すると、\begin{eqnarray*}
\sqrt{-x+x^{2}} &<&\sqrt{-x-x}\quad \because \left( 3\right) \\
&=&\sqrt{-2x} \\
&<&\sqrt{2\delta }\quad \because \left( 2\right) \\
&\leq &\sqrt{2\cdot \frac{\varepsilon ^{2}}{2}}\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
右側孤立点における関数の右側連続性をイプシロン・デルタ論法で定義する
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域上の点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点ではない場合には、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:X\cap \left( a,a+\varepsilon \right) =\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、\(a\)は\(X\)の右側孤立点であると言うこととします。\(a\in X\)が\(X\)の右側孤立点である場合には\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側連続であるものと定めましたが、その根拠を以下で解説します。
先ほど示したように、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点である場合には、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側連続であることと、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは必要十分です。ただし、ここでは点\(a\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であることが前提となっています。では、点\(a\in X\)が\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点ではない場合、すなわち点\(a\)が\(X\)の右側孤立点である場合にも、点\(a\)における右側連続性の定義として\(\left( 1\right) \)をそのまま採用できるでしょうか。右側孤立点\(a\)における右側連続性の定義として\(\left( 1\right) \)を採用するためには、右側孤立点\(a\)に対して\(\left( 1\right) \)が必ず真になることを確認しておく必要があります。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と\(X\)の右側孤立点\(a\in X\)が与えられた状況を想定します。つまり、\begin{equation}\exists \delta >0:X\cap \left( a,a+\delta \right) =\phi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つということです。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。その上で、\(\left( 2\right) \)において存在が保証される\(\delta >0\)に注目します。さらに、\(0\leq x-a<\delta \)を満たす\(x\in X\)を任意に選びます。\(\left(2\right) \)より、そのような条件を満たす点\(x\)は\(a\)だけであるため、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right)
&=&d\left( \boldsymbol{f}\left( a\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right)
\right) \\
&=&0 \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことの証明が完了しました。
\end{equation*}に注目すれば、\(0\leq x-0<\delta \)を満たす任意の\(x\in \left\{0\right\} \cup \left[ 1,2\right] \)について、\begin{equation*}x=0
\end{equation*}であることが確定するため、\begin{eqnarray*}
d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( 0\right) \right)
&=&d\left( \boldsymbol{f}\left( 0\right) ,\boldsymbol{f}\left( 0\right)
\right) \quad \because x=0 \\
&=&0 \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-0<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( 0\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。
左側孤立点における関数の右側連続性をイプシロン・デルタ論法で定義する
左側連続性についても同様に考えます。具体的には以下の通りです。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域上の点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点ではない場合には、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:X\cap \left( a-\varepsilon ,a\right) =\phi
\end{equation*}が成り立ちます。この場合、\(a\)は\(X\)の左側孤立点であると言うこととします。\(a\in X\)が\(X\)の左側孤立点である場合には\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側連続であるものと定めましたが、その根拠を以下で解説します。
先ほど示したように、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点である場合には、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において左側連続であることと、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことは必要十分です。ただし、ここでは点\(a\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点であることが前提となっています。では、点\(a\in X\)が\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点ではない場合、すなわち点\(a\)が\(X\)の左側孤立点である場合にも、点\(a\)における左側連続性の定義として\(\left( 1\right) \)をそのまま採用できるでしょうか。左側孤立点\(a\)における左側連続性の定義として\(\left( 1\right) \)を採用するためには、左側孤立点\(a\)に対して\(\left( 1\right) \)が必ず真になることを確認しておく必要があります。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と\(X\)の左側孤立点\(a\in X\)が与えられた状況を想定します。つまり、\begin{equation}\exists \delta >0:X\cap \left( a-\delta ,a\right) =\phi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つということです。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。その上で、\(\left( 2\right) \)において存在が保証される\(\delta >0\)に注目します。さらに、\(-\delta <x-a\leq 0\)を満たす\(x\in X\)を任意に選びます。\(\left(2\right) \)より、そのような条件を満たす点\(x\)は\(a\)だけであるため、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right)
&=&d\left( \boldsymbol{f}\left( a\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right)
\right) \\
&=&0 \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ます。以上より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことの証明が完了しました。
\end{equation*}に注目すれば、\(-\delta <x-0\leq 0\)を満たす任意の\(x\in \left[ -2,-1\right] \cup \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}x=0
\end{equation*}であることが確定するため、\begin{eqnarray*}
d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( 0\right) \right)
&=&d\left( \boldsymbol{f}\left( 0\right) ,\boldsymbol{f}\left( 0\right)
\right) \quad \because x=0 \\
&=&0 \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-0\leq 0\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( 0\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。
イプシロン・デルタ論法を用いたベクトル値関数の片側連続性の定義
これまでの議論から明らかになったように、イプシロン・デルタ論法を用いたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の右側連続性の定義は、点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x > a\right\} \)の集積点である場合だけでなく、\(a\in X\)が\(X\)の右側孤立点である場合にも有効です。\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)を任意に選んだとき、\(a\)は集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であるか\(X\)の右側孤立点であるかのどちらか一方です。したがって、イプシロン・デルタ論法を用いた右側連続性の定義は、ベクトル値関数の定義域上に存在するすべての点に対して有効です。
x-a<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことと、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において右側連続であることは必要十分である。
左側連続性についても同様の主張が成り立ちます。
<x-a\leq 0\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことと、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において左側連続であることは必要十分である。
ベクトル値関数が片側連続でないことの証明
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において右側連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であり、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\in X\)において左側連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことと必要十分であることが明らかになりました。
一方、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)がそもそも点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(a\not\in X\)である場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側連続ではなく、左側連続でもありません。また、\(a\in X\)である場合においても、上の命題が成り立たない場合には、すなわち、上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in X:\left( 0\leq
x-a<\delta \wedge d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( a\right) \right) \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側連続ではなく、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in X:\left( -\delta
<x-a\leq 0\wedge d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left(
a\right) \right) \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側連続ではありません。
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x\leq 0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
0+}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&\not=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( 0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\boldsymbol{f}\)は点\(0\)において右側連続ではありません。同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in \mathbb{R} :\left( 0\leq x-0<\delta \wedge d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{f}\left( 0\right) \right) \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in \mathbb{R} :\left( 0\leq x<\delta \wedge \left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right)
\right\Vert \geq \varepsilon \right)
\end{equation*}を示すことが目標です。そこで、\begin{equation}
0<\varepsilon \leq \sqrt{2} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(\varepsilon >0\)に注目します。\(\delta >0\)を任意に選んだ上で、\begin{equation}0<x<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(x\in \mathbb{R} \)に注目すると、\begin{equation*}0\leq x<\delta
\end{equation*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert &=&\left\Vert \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\Vert \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\sqrt{2} \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
演習問題
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)が点\(0\)において左側連続ではないことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
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