ベクトル値関数の片側連続性（右側連続性・左側連続性）

ベクトル値関数の右側連続性

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ベクトルを値としてとるベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、\(f\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より大きく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)より大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値が必ず何らかのベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことを意味しますが、そのことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{m}\times \mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。

集積点の定義より、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)より大きい周辺の点において定義されている一方で、点\(a\)自身において定義されているとは限りません。ただ、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が右側収束するかを検討する際には、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)より大きい周辺の点において定義されていればよく、点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が右側収束する状況は起こり得ます。また、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束する場合、その右側極限は点\(a\)における\(\boldsymbol{f}\)の値である\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)と一致するとは限りません。

一方、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が右側収束し、さらにその右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)と一致する場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側連続である（right-hand continuous at \(a\)）であると言います。逆に、以上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側不連続である（right-hand discontinuous at \(a\)）と言います。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \not=\phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:X\cap \left( a,a+\varepsilon \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。したがって、点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点ではないことは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:X\cap \left( a,a+\varepsilon \right) =\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。この場合、\(a\)は\(X\)の右側孤立点であると言うこととします。点\(a\in X\)が\(X\)の右側孤立点である場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側連続であるものと定めます。

ベクトル値関数の右側連続性と成分関数の右側連続性の間には以下の関係が成り立ちます。

以上の命題により、ベクトル値関数の右側連続性に関する議論を1変数関数である成分関数の右側連続性に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

ベクトル値関数の左側連続性

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、ベクトルを値としてとるベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より小さく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a-\)の場合に右側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)より小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合に\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の値が必ず何らかのベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ限りなく近づくことを意味しますが、そのことをイプシロン・デルタ論法を用いて厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{m}\times \mathbb{R} ^{m}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。

集積点の定義より、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)より小さい周辺の点において定義されている一方で、点\(a\)自身において定義されているとは限りません。ただ、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が左側収束するかを検討する際には、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)より小さい周辺の点において定義されていればよく、点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が左側収束する状況は起こり得ます。また、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a-\)の場合に左側収束する場合、その左側極限は点\(a\)における\(\boldsymbol{f}\)の値である\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)と一致するとは限りません。

一方、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が左側収束し、さらにその左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(\boldsymbol{f}\left( a\right) \)と一致する場合には、すなわち、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{f}\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側連続である（left-hand continuous at \(a\)）であると言います。逆に、以上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側不連続である（left-hand discontinuous at \(a\)）と言います。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点ではない場合、\(a\)は\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の孤立点になります。この場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側連続であるものと定めます。その根拠は後ほど解説します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域上の点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \cap
\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \not=\phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:X\cap \left( a-\varepsilon ,a\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。したがって、点\(a\in X\)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点ではないことは、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:X\cap \left( a-\varepsilon ,a\right) =\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。この場合、\(a\)は\(X\)の左側孤立点であると言うこととします。点\(a\in X\)が\(X\)の左側孤立点である場合、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において左側連続であるものと定めます。

ベクトル値関数の左側連続性と成分関数の左側連続性の間には以下の関係が成り立ちます。

以上の命題により、ベクトル値関数の左側連続性に関する議論を1変数関数である成分関数の左側連続性に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

ベクトル値関数は片側連続であるとは限らない

右側連続性と左側連続性を総称して片側連続性（one-sided continuity）と呼びます。

ベクトル値関数は点において片側連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。

集合上で片側連続なベクトル値関数

先に例を通じて確認したように、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)は定義域\(X\)上のすべての点において片側連続であるとは限りません。

そこで、\(\boldsymbol{f}\)が右側連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(Y\)上で右側連続である（right-hand continuous on \(Y\)）と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上の任意の点において右側連続である場合、\(\boldsymbol{f}\)は右側連続である（right-hand continuous）と言います。

また、\(\boldsymbol{f}\)が左側連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)である場合、\(\boldsymbol{f}\)は\(Y\)上で左側連続である（left-hand continuous on \(Y\)）と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち関数\(\boldsymbol{f}\)が定義域\(X\)上の任意の点において左側連続である場合、\(\boldsymbol{f}\)は左側連続である（left-hand continuous）と言います。

先に例を通じて確認したように、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において右側連続である一方で左側連続ではない状況は起こり得ます。その逆も真です。したがって、\(\boldsymbol{f}\)が右側連続であるような点集合と左側連続であるような点集合は一致するとは限りません。

演習問題