片側収束曲線と収束列の関係

曲線(ベクトル値関数)が点において片側収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明するのは面倒です。そこで、曲線が片側収束することを、ユークリッド空間における収束点列や、収束する実数列などを用いて表現する方法を解説します。

曲線の片側極限  曲線の右側極限  曲線の左側極限

片側収束曲線と収束点列の関係

収束曲線の概念を収束列を用いて特徴づけたように、片側収束曲線もまた収束列を用いて特徴づけることができます。具体的には、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\{x_{v}\}\)を任意に選びます。つまり、\(a\)よりも大きい\(X\)の点を項とし、\(a\)へ収束する数列\(\{x_{v}\}\)を任意に選ぶということです。このような数列\(\{x_{v}\}\)が与えられたとき、その任意の項\(x_{v}\)は\(X\)の要素であることから\(f\)による\(x_{v}\)の像\(f\left( x_{v}\right) \)が定まるため、これを第\(v\)項とする\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)を構成できます。

上の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)を満たすどのような収束列\(\{x_{v}\}\)に対しても、それと曲線\(f\)から構成される点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束することは、すなわち\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b\)が成り立つことは、曲線\(f\)について\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b\)が成り立つための必要十分条件です。

命題(右側収束曲線と収束列の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)、そして点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)よりも大きい\(X\)の点をとりながら\(a\)へ収束する数列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)について\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b\)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b\)が成り立つための必要十分条件である。
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左側極限に関しても同様の命題が成立します。つまり、曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v} &&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\{x_{v}\}\)を任意に選びます。つまり、\(a\)よりも小さい\(X\)の点を項とし、\(a\)へ収束する数列\(\{x_{v}\}\)を任意に選ぶということです。このような数列\(\{x_{v}\}\)が与えられたとき、その任意の項\(x_{v}\)は\(X\)の要素であることから\(f\)による\(x_{v}\)の像\(f\left( x_{v}\right) \)が定まるため、これを第\(v\)項とする\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)を構成できます。

上の条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)を満たすどのような収束列\(\{x_{v}\}\)に対しても、それと曲線\(f\)から構成される点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)へ収束することは、すなわち\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b\)が成り立つことは、曲線\(f\)について\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b\)が成り立つための必要十分条件です。

命題(左側収束曲線と収束列の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と実数\(a\in \mathbb{R} \)、そして点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)よりも小さい\(X\)の点をとりながら\(a\)へ収束する数列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)をつくる。このような任意の\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)について\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b\)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b\)が成り立つための必要十分条件である。
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以上の2つの命題は、曲線の片側極限に関する問題が、ユークリッド空間における点列の極限に関する問題に帰着させられることを示唆しています。点列の極限について学んだ知識は、曲線の片側極限を考える上でも利用できるというわけです。ただ、ユークリッド空間における点列が収束することを示すのはやや面倒です。

 

片側収束曲線と収束数列の関係

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の座標関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)で表します。片側収束曲線に関する先の命題中の点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)の一般項は、\begin{equation*}
f\left( x_{v}\right) =\left( f_{1}\left( x_{v}\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x_{v}\right) \right)
\end{equation*}と表せるため、点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)から\(m\)個の数列\(\{f_{1}\left( x_{v}\right) \},\cdots ,\{f_{m}\left( x_{v}\right) \}\)を得られます。これらの数列がすべて収束することは、点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が収束するための必要十分条件であり、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =\left(
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x_{v}\right) ,\cdots
,\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f_{m}\left( x_{v}\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実を踏まえると、先の命題を以下のように言い換えることができます。

命題(右側収束曲線と収束数列の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の座標関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)で表す。実数\(a\in \mathbb{R} \)と点\(b=\left( b_{1},\cdots ,b_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)よりも大きい\(X\)の点をとりながら\(a\)へ収束する数列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たに\(m\)個の数列\(\{f_{i}\left( x_{v}\right) \}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)をつくる。このとき、任意の\(i\)について\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b_{i}\)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b\)が成り立つための必要十分条件である。
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同様に考えると、左側収束に関する命題も得られます。

命題(左側収束曲線と収束数列の関係)
曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の座標関数を\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X_{i}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)で表す。実数\(a\in \mathbb{R} \)と点\(b=\left( b_{1},\cdots ,b_{m}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)よりも小さい\(X\)の点をとりながら\(a\)へ収束する数列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たに\(m\)個の数列\(\{f_{i}\left( x_{v}\right) \}\ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)をつくる。このとき、任意の\(i\)について\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b_{i}\)が成り立つことは、\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b\)が成り立つための必要十分条件である。
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以上の2つの命題は、曲線の片側極限に関する問題が、数列の極限に関する問題に帰着させられることを示唆しています。数列の極限について学んだ知識は、曲線の極限を考える上でも利用できるというわけです。

例(片側収束曲線と収束列の関係)
それぞれの実数\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、2次元ベクトル\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left( \cos x,\ \sin x\right) \in
\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を定める曲線\(f\)について考えます。座標関数は、\begin{eqnarray}
f_{1}\left( x\right) &=&\cos x \tag{1} \\
f_{2}\left( x\right) &=&\sin x \tag{2}
\end{eqnarray}です。\(\pi \)よりも小さい実数を値としてとりながら\(\pi \)へ収束する数列\(\{x_{v}\}\)を任意に選びます。このとき、数列\(\{f_{1}\left( x_{v}\right) \}\)については、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\cos x_{v}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\cos x\quad \because \{x_{v}\}\text{の定義} \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となり、数列\(\{f_{2}\left( x_{v}\right) \}\)については、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }f_{2}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\sin x_{v}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow \pi -}\sin x\quad \because \{x_{v}\}\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、曲線\(f\)の点\(\pi \)における左側極限は\(\left( -1,0\right) \)です。

次回は曲線の極限と片側極限の関係を解説します。

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