ベクトル値関数の片側無限極限

ベクトル値関数の右側無限極限

定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\begin{equation*}
f_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より大きく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)より大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合にベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)のノルム\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の値が限りなく大きくなることが保証されているのであれば、\(x\)を右側から\(a\)に限りなく近づけるときに\(\boldsymbol{f}\)は無限大\(\infty \)へ発散する（diverge to infinity）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a+\text{のとき}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\rightarrow \infty
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(\infty \)を右側無限極限（right-hand infinite limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つことは以下の命題\begin{equation*}
\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert x-a\right\vert
<\delta \Rightarrow \left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
>M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a+\)の場合には\(x>a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、\(x\)が満たすべき前提条件を、\begin{equation*}0<x-a<\delta
\end{equation*}に置き換えれば、それはそのまま右側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta \Rightarrow
\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}で表記するということです。

結論をまとめましょう。関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点である場合、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より大きい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left(x\right) \right\Vert \)の値が限りなく大きくなることが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta \Rightarrow
\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right) \right] ^{2}}>M\right)
\end{equation*}になるということです。

ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta
\Rightarrow \left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M\right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right)\right\Vert \)の大きさを表す実数\(M\)として正の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。

ベクトル値関数の左側無限極限

定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より小さく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(x\)を点\(a\)より小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合にベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)のノルム\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert \)の値が限りなく大きくなることが保証されているのであれば、\(x\)を左側から\(a\)に限りなく近づけるときに\(\boldsymbol{f}\)は無限大\(\infty \)へ発散する（diverge to infinity）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a-\text{のとき}\boldsymbol{f}\left( x\right)
\rightarrow \infty
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(\infty \)を左側無限極限（left-hand infinite limit）と呼びます。では、これをどのような形で厳密に定式化できるでしょうか。

関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と定義域\(X\)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つことは以下の命題\begin{equation*}
\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\left\vert x-a\right\vert
<\delta \Rightarrow \left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
>M\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(x\rightarrow a\)の場合、\(x<a\)を満たす\(x\)と\(x>a\)を満たす\(x\)の双方が考察対象になっているため、上の定義では、\begin{equation*}0<\left\vert x-a\right\vert <\delta
\end{equation*}という条件が採用されています。一方、\(x\rightarrow a-\)の場合には\(x<a\)を満たす\(x\)だけが考察対象になるため、\(x\)が満たすべき前提条件を、\begin{equation*}0<-\left( x-a\right) <\delta
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\delta <x-a<0
\end{equation*}に置き換えれば、それはそのまま左側無限極限の定義になります。つまり、以下の命題\begin{equation*}
\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta <x-a<0\Rightarrow
\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M\right)
\end{equation*}が成り立つ場合、そのことを、\begin{equation*}
\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}で表記するということです。

結論をまとめましょう。関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} \)が集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点である場合、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\infty
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)より小さい\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left(x\right) \right\Vert \)の値が限りなく大きくなることが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall M\in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta <x-a<0\Rightarrow
\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert >M\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right) \right] ^{2}}>M\right)
\end{equation*}になるということです。

ちなみに、先の命題は以下の命題\begin{equation*}
\forall M>0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow \left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right) \right\Vert
>M\right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(\left\Vert \boldsymbol{f}\left( x\right)\right\Vert \)の大きさを表す実数\(M\)として正の実数だけを議論の対象としても一般性は失われません。

ベクトル値関数の片側無限極限

ベクトル値関数の右側無限極限と左側無限極限を総称して片側無限極限（one-sided infinite limit）と呼びます。

ベクトル値関数の無限極限と片側無限極限の関係

ベクトル値関数が点において左右の極限を持つとともにそれらの値が一致することは、その関数がその点において極限を持つための必要十分条件ですが、ベクトル値関数の片側無限極限と無限極限の間にも同様の関係が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

演習問題