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VECTOR VALUED FUNCTION

成分関数を用いたベクトル値関数の片側収束判定

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ベクトル値関数の片側極限と成分関数の片側極限の関係

ベクトル値関数片側収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明するのは面倒です。また、証明を行う際に片側極限の候補が必要になるという問題もあります。ただ、これらの問題は解決可能です。順を追って説明します。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ右側収束する場合、もとのベクトル値関数もまた右側収束することが保証されるとともにそれらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
a+}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow a+}f_{m}\left( x\right)
\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。

また、左側極限についても同様の主張が成り立ちます。

命題(ベクトル値関数の片側極限と成分関数の片側極限の関係)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ右側収束するならば、\(f\)もまた\(x\rightarrow a+\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束するとともに、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a+}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{m}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}\)が\(x\rightarrow a-\)のときに有限な実数へ左側収束するならば、\(f\)もまた\(x\rightarrow a-\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するとともに、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
a-}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow a-}f_{m}\left( x\right)
\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、ベクトル値関数\(f\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が右側収束する場合、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}\ \left(i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ右側収束することが保証されるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left( \lim\limits_{x\rightarrow
a+}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim\limits_{x\rightarrow a+}f_{m}\left(
x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。

また、左側極限についても同様の主張が成り立ちます。

命題(ベクトル値関数の片側極限と成分関数の片側極限の関係)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束するならば、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ右側収束するとともに、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
a+}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow a+}f_{m}\left( x\right)
\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束するならば、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}\)が\(x\rightarrow a-\)のときに有限な実数へ左側収束するとともに、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
a-}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow a-}f_{m}\left( x\right)
\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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以上の2つの命題により、ベクトル値関数の片側収束という概念は1変数関数である成分関数の片側収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(ベクトル値関数の片側極限と成分関数の片側極限の関係)
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束することと、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が\(x\rightarrow a+\)のときに有限な実数へ右側収束することは必要十分であるとともに、それらの右側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
a+}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow a+}f_{m}\left( x\right)
\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。また、\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束することと、\(f\)のすべての成分関数\(f_{i}\)が\(x\rightarrow a-\)のときに有限な実数へ左側収束することは必要十分であるとともに、それらの左側極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =\left( \lim_{x\rightarrow
a-}f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,\lim_{x\rightarrow a-}f_{m}\left( x\right)
\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

上の命題より、ベクトル値関数の片側収束に関する議論を成分関数の片側収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

例(成分関数を用いたベクトル値関数の片側収束判定)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\pi \right] \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\)が右側収束するか判定します。成分関数\(f_{1}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f_{1}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\cos
\left( x\right) \\
&=&\cos \left( 0\right) \quad \because \text{余弦関数の右側極限} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ち、成分関数\(f_{2}\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f_{2}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\sin
\left( x\right) \\
&=&\sin \left( 0\right) \quad \because \text{制限関数の右側極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、もとの関数\(f\)に関して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\left( 1,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(x\rightarrow \pi -\)のときの\(f\)の左側極限に関しても同様に考えると、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow \pi -}f\left( x\right) &=&\left( \lim_{x\rightarrow \pi
-}f_{1}\left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow \pi -}f_{2}\left( x\right)
\right) \\
&=&\left( \lim_{x\rightarrow \pi -}\cos \left( x\right) ,\lim_{x\rightarrow
\pi -}\sin \left( x\right) \right) \\
&=&\left( \cos \left( \pi \right) ,\sin \left( \pi \right) \right) \quad
\because \text{正弦関数および余弦関数の右側極限} \\
&=&\left( -1,0\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

ベクトル値関数が片側収束しないことの証明

先の命題は、ベクトル値関数が片側収束しないことを示す際にも有用です。つまり、少なくとも1つの成分関数が有限な実数へ右側収束しない場合、もとのベクトル値関数もまた右側収束しません。また、少なくとも1つの成分関数が有限な実数へ左側収束しない場合、もとのベクトル値関数もまた左側収束しません。

例(ベクトル値関数が片側収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\)は右側収束するでしょうか。成分関数\(f_{1}\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f_{1}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
\frac{1}{x}\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\)は右側収束しません。\(x\rightarrow 0-\)のときに\(f\)は左側収束するでしょうか。成分関数\(f_{2}\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f_{1}\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0-}\left(
\frac{1}{x}\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より、\(x\rightarrow 0-\)のときに\(f\)は左側収束しません。
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