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VECTOR VALUED FUNCTION

点列を用いたベクトル値関数の片側収束判定

目次

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ベクトル値関数の片側極限と点列の極限の関係

ベクトル値関数の極限が点列の極限を用いて表現できるのと同様、片側極限もまた点列の極限を用いて表現でき、そちらの定義を用いた方がベクトル値関数が片側収束することを容易に示すことができる場合があります。順を追って説明します。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。この数列\(\left\{x_{v}\right\} \)の任意の項\(x_{v}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left(x_{v}\right) \)を定めます。\(f\left(x_{v}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点であるため、これを項とする\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成できます。このとき、この点列\(\left\{f\left( x_{v}\right) \right\} \)が点\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(ベクトル値関数の右側極限と点列の極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このとき、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、先のように定義された任意の点列\(\left\{ f\left(x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が点\(b\)へ収束する場合には、\(x\rightarrow a+\)のときに関数\(f\)が点\(b\)へ右側収束することが保証されます。

命題(ベクトル値関数の右側極限と点列の極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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この命題について注意しなければならないのは、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が\(b\)へ収束することを前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、ベクトル値関数の右側極限という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(ベクトル値関数の右側極限と点列の極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

同様の議論により、ベクトル値関数の左側極限という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられます(演習問題)。

命題(ベクトル値関数の左側極限と点列の極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

以上の命題より、ベクトル値関数の片側収束に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。加えて、点列の収束に関する議論は座標数列の収束に関する議論に置き換えられるため、結局、ベクトル値関数の片側収束に関する議論は数列の収束に関する議論へ置き換え可能です。

例(ベクトル値関数の片側極限と点列の極限の関係)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 0,0\right) & \left( if\ x<0\right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\)は右側収束するでしょうか。点\(0\)よりも大きい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\begin{eqnarray*}\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right)
,f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( 1,1\right) \right\} \quad \because x_{v}>0
\end{eqnarray*}を作ると、座標数列である\(\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right) \right\} \)と\(\left\{ f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \)はそれぞれ、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f_{1}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }1=1 \\
\lim_{v\rightarrow \infty }f_{2}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }1=1
\end{eqnarray*}となり、もとの点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v}\right) &=&\left(
\lim_{v\rightarrow \infty }f_{1}\left( x_{v}\right) ,\lim_{v\rightarrow
\infty }f_{2}\left( x_{v}\right) \right) \\
&=&\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の命題より、関数\(f\)に関して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) =\left( 1,1\right)
\end{equation*}が成り立ちます。\(x\rightarrow 0-\)のときに\(f\)は左側収束するでしょうか。点\(0\)よりも小さい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列\(\left\{x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\begin{eqnarray*}\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right)
,f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \quad \because x_{v}<0
\end{eqnarray*}を作ると、座標数列である\(\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right) \right\} \)と\(\left\{ f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \)はそれぞれ、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f_{1}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }0=0 \\
\lim_{v\rightarrow \infty }f_{2}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }0=0
\end{eqnarray*}となり、もとの点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v}\right) &=&\left(
\lim_{v\rightarrow \infty }f_{1}\left( x_{v}\right) ,\lim_{v\rightarrow
\infty }f_{2}\left( x_{v}\right) \right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。したがって、先の命題より、関数\(f\)に関して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

 

ベクトル値関数が片側収束しないことの証明

先の諸命題は、ベクトル値関数が片側収束しないことを示す際にも有用です。関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を適当に選びます。このとき、点列\(\left\{ f\left(x_{v}\right) \right\} \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しません。同様に、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を適当に選んだ場合、点列\(\left\{ f\left(x_{v}\right) \right\} \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しません。

例(ベクトル値関数が片側収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\)は右側収束するでしょうか。一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\frac{1}{v}
\end{equation*}として与えられる数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)に注目します。この数列は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0
\end{eqnarray*}をともに満たします。この数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(f\)から\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\begin{eqnarray*}\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right)
,f_{2}\left( x_{v}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{\frac{1}{v}},\frac{1}{\left( \frac{1}{v}\right) ^{2}}\right\}
\end{eqnarray*}を作ると、座標数列\(\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f_{1}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\frac{1}{\frac{1}{v}} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }v \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり有限な実数へ収束しないため、点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)もまた\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束しません。したがって、先の命題より\(x\rightarrow 0+\)のときに\(f\)は右側収束しません。\(x\rightarrow 0-\)のときに\(f\)が左側収束しないことも同様にして示されます(演習問題)。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する2つの数列\(\left\{x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)を適当に選びます。このとき、点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} ,\left\{f\left( y_{v}\right) \right\} \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の異なる点へ収束するのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しません。同様に、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する2つの数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)を適当に選んだ場合、点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の異なる点へ収束するのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しません。

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