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1変数のベクトル値関数

点列を用いたベクトル値関数の片側収束判定

目次

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ベクトル値関数の片側極限と点列の極限の関係

定義域が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(\boldsymbol{f}\)は定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下のベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を値として定めます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \) \(\left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。

その上で、点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。ただし、この点は以下の集合\begin{equation*}\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\}
\end{equation*}の集積点であるものとします。この場合、関数\(\boldsymbol{f}\)は点\(a\)において定義されているとは限りませんが、\(a\)より大きく、なおかつ\(a\)からいくらでも近い場所に\(a\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。このようなベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a+\)の場合にベクトルへ右側収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}:\lim\limits_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}(x)=\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[
0<x-a<\delta \Rightarrow d\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) ,\boldsymbol{b}\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right)
-b_{i}\right] ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいてベクトル値関数がベクトルへ右側収束することを証明するのは面倒です。ベクトル値関数の右側極限は点列の極限を用いて表現できます。順番に解説します。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。点\(a\)は集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点であるため、このような数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は必ず存在することに注意してください。

さて、この数列\(\left\{x_{v}\right\} \)の任意の項\(x_{v}\)はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の要素であるため、それに対してベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)はベクトル\(\boldsymbol{f}\left(x_{v}\right) \)を定めます。\(\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点であるため、これを項とする\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\begin{equation*}\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\}
\end{equation*}を構成できます。このとき、この点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)がベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束することが保証されます。

命題(ベクトル値関数の右側極限と点列の極限の関係)
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)およびベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つものとする。\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left(x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left(x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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先の命題の逆もまた成立します。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)および点\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)がベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束する場合には、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

命題(ベクトル値関数の右側極限と点列の極限の関係)
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)およびベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとする。\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left(x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left(x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つならば、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の2つの命題により、ベクトル値関数の右側極限という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(ベクトル値関数の右側極限と点列の極限の関係)
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)およびベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとする。\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left(x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left(x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことは、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

この命題が要求していることは、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」数列\(\left\{x_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される点列\(\{\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \}\)がベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が\(x\rightarrow a+\)の場合にベクトル\(\boldsymbol{b}\)へ右側収束することを示したことにはなりません。

左側極限についても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

命題(ベクトル値関数の左側極限と点列の極限の関係)
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)およびベクトル\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられているものとする。\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left(x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left(x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つことは、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{b}
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

 

ベクトル値関数が片側収束することの判定

先の命題より、ベクトル値関数の片側収束に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。加えて、点列の収束に関する議論は座標数列の収束に関する議論に置き換えられるため、結局、ベクトル値関数の片側収束に関する議論は数列の収束に関する議論へ置き換え可能です。

例(ベクトル値関数の片側極限と点列の極限の関係)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) & \left( if\ x\geq 0\right) \\
\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が右側収束するか判定します。そこで、点\(0\)よりも大きい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=0
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、点列\begin{eqnarray*}\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{v}\right) \\
f_{2}\left( x_{v}\right)
\end{array}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \right\} \quad \because \left( a\right) \text{および}\boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}の極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }1 \\
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。続いて、\(x\rightarrow 0-\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)が左側収束するか判定します。そこで、点\(0\)よりも小さい実数を項とするとともに\(0\)へ収束する数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}<0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=0
\end{eqnarray*}をともに満たす数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、点列\begin{eqnarray*}\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{v}\right) \\
f_{2}\left( x_{v}\right)
\end{array}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \right\} \quad \because \left( a\right) \text{および}\boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}の極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{f}\left( x_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }0 \\
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{eqnarray*}となるため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

 

ベクトル値関数が片側収束しないことの証明

先の命題はベクトル値関数が片側収束するための必要十分条件を与えているため、ベクトル値関数が片側収束しないことを判定する上でも有用です。

つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられた状況において、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を選んだとき、点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束しません。

また、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられた状況において、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を選んだとき、点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束しません。

例(収束しないベクトル値関数)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{x} \\
x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は右側収束するでしょうか。一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\frac{1}{v}
\end{equation*}である数列\(\left\{ x_{v}\right\} \)に注目します。この数列は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}>0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0
\end{eqnarray*}をともに満たします。点列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} &=&\left\{
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{v}\right) \\
f_{2}\left( x_{v}\right)
\end{array}\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{c}
\frac{1}{\frac{1}{v}} \\
\frac{1}{v}\end{array}\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{c}
v \\
\frac{1}{v}\end{array}\right\}
\end{eqnarray*}であるため、座標数列\(\left\{ f_{1}\left( x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }f_{1}\left( x_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }v \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right)\right\} \)もまたベクトルへ収束しないため、先の命題より\(x\rightarrow 0+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)は右側収束しません。\(x\rightarrow 0-\)のときに\(\boldsymbol{f}\)が左側収束しないことの証明も同様です(演習問題)。

ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x>a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられた状況において、\(a\)より大きい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する2つの数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)を選んだとき、数列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} ,\left\{ \boldsymbol{f}\left(
y_{v}\right) \right\} \)が異なるベクトルへ収束するのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a+\)のときに\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ右側収束しません。

また、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(\left\{ x\in X\ |\ x<a\right\} \)の集積点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられた状況において、\(a\)より小さい\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する2つの数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)を選んだとき、数列\(\left\{ \boldsymbol{f}\left( x_{v}\right) \right\} ,\left\{ \boldsymbol{f}\left(
y_{v}\right) \right\} \)が異なるベクトルへ収束するのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a-\)のときに\(\boldsymbol{f}\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ左側収束しません。

例(収束しないベクトル値関数)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)はベクトルへ右側収束しないことを証明します。具体的には、一般項が、\begin{eqnarray*}x_{v} &=&\frac{1}{v\pi } \\
y_{v} &=&\frac{1}{2v\pi +\frac{\pi }{2}}
\end{eqnarray*}である数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{y_{v}\right\} \)に注目することにより証明可能です(演習問題)。

 

演習問題

問題(収束しないベクトル値関数)
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( \frac{1}{x}\right) \\
x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)の場合に\(\boldsymbol{f}\)はベクトルへ右側収束しないことを点列を用いて証明してください。
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