ベクトル値関数による点の像
始集合が実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるようなベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が与えられているものとします。始集合の要素である実数\(x\in X\)を選ぶと、\(\boldsymbol{f}\)はそれに対してベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を1つずつ定めます。このベクトルを\(\boldsymbol{f}\)による\(x\)の値(value)や像(image)などと呼びます。ただし、\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( 2\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
2^{2}-2 \\
2+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2 \\
3\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1^{2}-1 \\
1+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
2\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0^{2}-0 \\
0+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( -1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left( -1\right) ^{2}-\left( -1\right) \\
-1+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
2 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( -2\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left( -2\right) ^{2}-\left( -2\right) \\
-2+1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
6 \\
-1\end{array}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right) \\
z\left( t\right)\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(x\left( t\right) \)は時点\(t\)における惑星の位置の\(x\)座標、\(y\left( t\right) \)は\(y\)座標、\(z\left( t\right) \)は\(z\)座標です。以上のように定義される\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}はベクトル値関数です。繰り返しになりますが、この関数\(\boldsymbol{f}\)が実数\(t\)に対して定める像\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)は時点\(t\)における惑星の位置を特定するベクトルです。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( w\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( w\right)\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めるベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が定義可能です。繰り返しになりますが、この関数\(\boldsymbol{f}\)が非負の実数\(w\)に対して定める像\(\boldsymbol{f}\left( w\right) \)は消費者の消費水準が\(w\)である場合の各商品の消費量を特定するベクトルです。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)のグラフは、\begin{eqnarray*}G\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \left( x,\boldsymbol{y}\right) \in
X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
y_{1} \\
\vdots \\
y_{m}\end{array}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\ |\ \left(
\begin{array}{c}
y_{1} \\
\vdots \\
y_{m}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m+1}\ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}という\(X\times \mathbb{R} ^{m}\)の部分集合として定義されるため、ベクトル\(\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in X\times \mathbb{R} ^{m}\)を任意に選ぶと、以下の関係\begin{equation*}\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G\left( \boldsymbol{f}\right)
\Leftrightarrow \boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル\(\left( x,\boldsymbol{y}\right) \)がベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)のグラフの要素であることと、\(\boldsymbol{f}\)が実数\(x\)に対して定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が\(\boldsymbol{y}\)と一致することは必要十分です。
ベクトル値関数による集合の像と値域
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、始集合の部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。\(\boldsymbol{f}\)は\(A\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその像\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( A\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\}
\end{eqnarray*}で表記し、これを\(\boldsymbol{f}\)による集合\(A\)の像(image)と呼びます。明らかに、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) \subset \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}が成り立ちます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の始集合\(X\)は\(X\)自身の部分集合であるため、\(\boldsymbol{f}\)による\(X\)の像\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}もまた定義可能です。これを関数\(\boldsymbol{f}\)の値域(range)と呼び、\begin{equation*}R\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}で表記します。つまり、\begin{eqnarray*}
R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( X\right) \quad
\because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\}
\end{eqnarray*}です。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義}
\end{eqnarray*}であり、これを図示したものが下図です。
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right) \\
z\left( t\right)\end{array}\right)
\end{equation*}を特定するものとします。時点\(0\)から時点\(1 \)までの間に惑星が通過する軌跡は、関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(t\)が閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上を移動する場合の\(\boldsymbol{f}\left( t\right) \)の値からなる集合として表現されるため、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right) \\
z\left( t\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \left[ 0,1\right] \right\}
\end{eqnarray*}となります。また、\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x\left( t\right) \\
y\left( t\right) \\
z\left( t\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは惑星の軌道に相当します。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( w\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( w\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を特定するものとします。所得水準が\(0\)から\(100\)まで変化する場合の消費ベクトルの変遷は、関数\(\boldsymbol{f}\)の変数\(w\)が閉区間\(\left[ 0,100\right] \)上を移動する場合の\(\boldsymbol{f}\left( w\right) \)の値からなる集合として表現されるため、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \left[ 0,100\right] \right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \left[ 0,100\right] \right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( w\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \left[ 0,100\right] \right\}
\end{eqnarray*}となります。また、\(\boldsymbol{f}\)の値域は、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} _{+}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \mathbb{R} _{+}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( w\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( w\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ t\in \mathbb{R} _{+}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは所得が変化する中で消費者が選択し得るすべての消費ベクトルからなる集合です。
\end{equation*}によって表現されているものとします。ただし、\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{n}\)は直線上にある点の位置ベクトルであり、\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)は直線の方向ベクトルであり、\(t\in \mathbb{R} \)は媒介変数です。この場合、直線上のすべての点の位置ベクトルからなる集合、すなわち直線は、\begin{equation*}L\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+t\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}と定まります。このとき、媒介変数のそれぞれの値\(t\in \mathbb{R} \)に対して、その値に対応する直線上の点の位置ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\boldsymbol{p}+t\boldsymbol{v}
\end{equation*}を特定する1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。すると、任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}\in L\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v}\right)
&\Leftrightarrow &\exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+t\boldsymbol{v}\quad \because L\left( p,\boldsymbol{v}\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left( t\right) \quad \because \boldsymbol{f}\left( t\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、直線を、\begin{equation*}
L\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left(
t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}と表現できます。つまり、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v}\right) \)を上のように定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の値域として表現できるということです。\(n=2\)の場合、これは平面上の直線を表します。また、\(n=3\)の場合、これは空間上の直線を表します。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( t\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を特定する1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、このベクトル値関数の値域\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( t\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\}
\end{equation*}を曲線(curve)や媒介変数曲線(parametrized curve)またはパラメータ付き曲線などと呼びます。その上で、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線を、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\}
\end{equation*}で表記するものと定めます。\(n=2\)の場合、これは平面上の曲線を表します。また、\(n=3\)の場合、これは空間上の曲線を表します。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これを円(circle)と呼びます。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これを螺旋(spiral)と呼びます。
&=&\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と表されるものとします。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{p}+t\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+t\boldsymbol{v}\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは直線に他なりません。つまり、直線は曲線の具体例の1つです。
\begin{array}{c}
x \\
f\left( x\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in I\right\}
\end{equation*}と定義される平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線であることが推察されますが、これをどのようなベクトル値関数によって表現できるでしょうか。ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(t\in I\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{g}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
t \\
f\left( t\right)\end{array}\right)
\end{equation*}を値として定めるものとします。このベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( \boldsymbol{g}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{g}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I\right\} \quad \because \text{曲線の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
f\left( t\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I\right\} \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{g}\right) =G\left( f\right)
\end{equation*}が成り立ちます。1変数関数のグラフは平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線であることが明らかになりました。
\begin{array}{c}
x \\
\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n+1}\ |\ x\in I\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x \\
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n+1}\ |\ x\in I\right\}
\end{eqnarray*}と定義される空間\(\mathbb{R} ^{n+1}\)上の曲線であることが推察されますが、これをどのようなベクトル値関数によって表現できるでしょうか。ベクトル値関数\(\boldsymbol{g}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n+1}\)はそれぞれの\(t\in I\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{g}\left( t\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
t \\
\boldsymbol{f}\left( t\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
t \\
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( t\right)
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を値として定めるものとします。このベクトル値関数\(\boldsymbol{g}\)から定義される曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( \boldsymbol{g}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{g}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n+1}\ |\ t\in I\right\} \quad \because \text{曲線の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
\boldsymbol{f}\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n+1}\ |\ t\in I\right\} \quad \because \boldsymbol{g}\text{の定義} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
t \\
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( t\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n+1}\ |\ t\in I\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{g}\right) =G\left( \boldsymbol{f}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ベクトル値関数のグラフは平面\(\mathbb{R} ^{n+1}\)上の曲線であることが明らかになりました。
&=&\phi \quad \because x\in \phi \text{は恒偽式}
\end{eqnarray*}となります。つまり、ベクトル値関数による空集合の像は空集合です。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)による始集合の部分集合\(A\subset X\)の像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されるため、終集合の要素である任意のベクトル\(\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\)について、以下の関係\begin{eqnarray*}\boldsymbol{y}\in \boldsymbol{f}\left( A\right) &\Leftrightarrow &\exists
x\in A:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \quad \because
\boldsymbol{f}\left( A\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in A:\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G\left(
\boldsymbol{f}\right) \quad \because G\left( \boldsymbol{f}\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上を踏まえると、関数\(\boldsymbol{f}\)による集合\(A\subset X\)の像を、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( A\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in A:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in A:\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G\left(
\boldsymbol{f}\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(A=X\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( X\right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in X:\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}\left( x\right) \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{m}\ |\ \exists x\in X:\left( x,\boldsymbol{y}\right) \in G\left(
\boldsymbol{f}\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、関数\(\boldsymbol{f}\)の値域\(R\left( \boldsymbol{f}\right) \)を上のように様々な形で表現できます。
ベクトル値関数による像と成分関数による像の関係
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が始集合の要素である実数\(x\in X\)に対して定める像は\(m\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}です。ただし、\(\boldsymbol{f}_{i}\left( x\right) \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)はベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の第\(i\)成分に相当する実数です。したがって、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、\(m\)個の実数値関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}が得られます。つまり、関数\(f_{i}\)はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトルの第\(i\)成分を特定する実数値関数です。この関数\(f_{i}\)をベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数と呼びます。
集合\(A\subset X\)を任意に選んだとき、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)による集合\(A\)の像は、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義される一方で、それぞれの成分関数\(f_{i}\)による集合\(A\)の像は、\begin{equation*}f_{i}\left( A\right) =\left\{ f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( A\right) \subset f_{1}\left( A\right) \times \cdots
\times f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル値関数による集合の像は、それぞれの成分関数による集合の像の直積の部分集合です。
値域についても同様に、以下の関係\begin{equation*}
R\left( \boldsymbol{f}\right) \subset R\left( f_{1}\right) \times \cdots
\times R\left( f_{m}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル値関数の値域は、それぞれの成分関数の値域の直積の部分集合です。
\times f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。したがって、\begin{equation*}
R\left( \boldsymbol{f}\right) \subset R\left( f_{1}\right) \times \cdots
\times R\left( f_{m}\right)
\end{equation*}もまた成り立つ。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数である。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と集合\(A\subset X\)について以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( A\right) \subset f_{1}\left( A\right) \times \cdots
\times f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりましたが、以下の関係\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( A\right) =f_{1}\left( A\right) \times \cdots \times
f_{m}\left( A\right)
\end{equation*}は成り立つとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( \left[ -1,1\right] \right) =f_{1}\left( \left[ -1,1\right] \right) \times f_{2}\left( \left[ -1,1\right] \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
R\left( \boldsymbol{f}\right) =R\left( f_{1}\right) \times R\left(
f_{2}\right)
\end{equation*}は成り立ちません(演習問題)。
曲線としてのベクトル値関数の値域
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\boldsymbol{f}\left( X\right) \quad
\because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}\ |\ x\in A\right\}
\end{eqnarray*}と定義されますが、これは曲線(curve)とも呼ばれます。理由は以下の通りです。
直線上にある点の位置ベクトル\(\boldsymbol{p}\in \mathbb{R} ^{n}\)と直線の方向ベクトル\(\boldsymbol{v}\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられれば、直線のベクトル方程式は、媒介変数\(t\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}x=\boldsymbol{p}+t\boldsymbol{v}
\end{equation*}と表現されるため、直線上のすべての点の位置ベクトルからなる集合、すなわち直線は、\begin{equation*}
L\left( \boldsymbol{p},\boldsymbol{v}\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=\boldsymbol{p}+t\boldsymbol{v}\right\}
\end{equation*}と定まります。以上がベクトル方程式を用いた直線の定義です。
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\left( p,v\right) \)がベクトル方程式\begin{equation*}x=p+tv
\end{equation*}によって表現されているものとします。このとき、媒介変数のそれぞれの値\(t\in \mathbb{R} \)に対して、その値に対応する直線上の点の位置ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =p+tv
\end{equation*}を特定する1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が定義可能です。すると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in L\left( p,v\right) &\Leftrightarrow &\exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\quad \because L\left( p,v\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists t\in \mathbb{R} :x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \quad \because \boldsymbol{f}\left(
t\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立つため、直線を、\begin{equation*}
L\left( p,v\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線\(L\left( p,v\right) \)を上のように定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の値域として表現できるということです。
以上を念頭においた上で、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線に限定されない曲線についても、それをベクトル値関数の値域として定義します。つまり、媒介変数\(t\)が区間\(I\subset \mathbb{R} \)上の値をとり得る状況を想定した上で、媒介変数のそれぞれの値\(t\in I\)に対して、その値に対応する点の位置ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( t\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( t\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を特定する1変数のベクトル値関数\begin{equation*}
\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が与えられたとき、このベクトル値関数の値域\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\} =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( t\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\}
\end{equation*}を曲線(curve)や媒介変数曲線(parametrized curve)またはパラメータ付き曲線などと呼びます。その上で、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線を、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\}
\end{equation*}で表記するものと定めます。ベクトル値関数の値域を曲線と呼ぶ理由は以上の通りです。
\end{equation*}の値域\begin{eqnarray*}
C\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
f_{2}\left( t\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in I\right\}
\end{eqnarray*}として定義されます。
\end{equation*}の値域\begin{eqnarray*}
C\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in I\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
f_{2}\left( t\right) \\
f_{3}\left( t\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in I\right\}
\end{eqnarray*}として定義されます。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上の曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これを円(circle)と呼びます。
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これを螺旋(spiral)と呼びます。
&=&\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}と表されるものとします。このベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ p+tv\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは直線に他なりません。つまり、直線は曲線の具体例の1つです。
曲線のベクトル方程式
繰り返しになりますが、区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられれば、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の曲線が、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ \boldsymbol{f}\left( t\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ t\in I\right\}
\end{equation*}と定義されます。この曲線上に存在するそれぞれの点\(X\)の位置ベクトル\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は何らかのスカラー\(t\in I\)を用いて、\begin{equation*}x=\boldsymbol{f}\left( t\right)
\end{equation*}という形で表すことができます。そのことを、\begin{equation*}
x=\boldsymbol{f}\left( x\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}で表記し、これを曲線のベクトル方程式(vector equation of a curve)と呼びます。ちなみに、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(I\)が全区間\(\mathbb{R} \)である場合には、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)のベクトル方程式を、\begin{equation*}x=\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{equation*}と簡略的に表記することもできます。
改めて整理すると、区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)のベクトル方程式は、\begin{equation*}x=\boldsymbol{f}\left( x\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}と表現されるため、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上のすべての位置ベクトルからなる集合は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in I:x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \right\}
\end{equation*}となるため、これをベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)から定義される曲線の定義とすることもできます。
曲線の定義を踏まえると、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の関係\begin{equation*}x\in C\left( \boldsymbol{f}\right) \Leftrightarrow \exists t\in I:x=\boldsymbol{f}\left( t\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、点\(x\)が曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点であることとベクトル方程式\(x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \)の解\(t\in I\)が存在することは必要十分です。逆に、以下の関係\begin{equation*}x\not\in C\left( \boldsymbol{f}\right) \Leftrightarrow \forall t\in \mathbb{R} :x\not=\boldsymbol{f}\left( t\right)
\end{equation*}もまた成り立ちます。つまり、点\(x\)が曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)上の点ではないこととベクトル値関数\(x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \)の解\(t\in I\)が存在しないことは必要十分です。
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
f_{2}\left( t\right)\end{array}\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}と定義されるため、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in I:x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in I:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
f_{2}\left( t\right)\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
f_{2}\left( t\right) \\
f_{3}\left( t\right)\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する曲線は、\begin{eqnarray*}C\left( \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists t\in I:x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists t\in I:\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
f_{2}\left( t\right) \\
f_{3}\left( t\right)\end{array}\right) \right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、円は、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。点\(\left( 1,0\right) \)は円上の点でしょうか。以下の方程式\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
1=\cos \left( t\right) \\
0=\sin \left( t\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を解くと、以下の解\begin{equation*}
t=0
\end{equation*}が得られるため、点\(\left( 1,0\right) \)は円上の点です。点\(\left( 1,1\right) \)は円上の点でしょうか。以下の方程式\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
1=\cos \left( t\right) \\
1=\sin \left( t\right)\end{array}\right.
\end{equation*}には解\(t\)が存在しないため、点\(\left( 1,1\right) \)は円上の点ではありません。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、螺旋は、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。点\(\left( 1,0,0\right) \)は螺旋上の点でしょうか。以下の方程式\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
1=\cos \left( t\right) \\
0=\sin \left( t\right) \\
0=t\end{array}\right.
\end{equation*}を解くと、以下の解\begin{equation*}
t=0
\end{equation*}が得られるため、点\(\left( 1,0,0\right) \)は螺旋上の点です。点\(\left( 1,1,1\right) \)は螺旋上の点でしょうか。以下の方程式\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
1\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
1=\cos \left( t\right) \\
1=\sin \left( t\right) \\
1=t\end{array}\right.
\end{equation*}には解\(t\)が存在しないため、点\(\left( 1,1,1\right) \)は螺旋上の点ではありません。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線は、\begin{equation*}\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :x=p+tv\right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と定義されます。
曲線の媒介変数表示
繰り返しになりますが、区間上に定義されたベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)から定義される空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)のベクトル方程式は、\begin{equation*}x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}と定義されます。このベクトル方程式を成分ごとに分解して表現すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( t\right) \\
\vdots \\
x_{n}=f_{n}\left( t\right)\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}を得ます。ただし、\(x_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)はベクトル\(x\)の第\(i\)成分であり、\(f_{i}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数です。これを曲線の媒介変数表示(parametric equations of acurve)と呼びます。
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
f_{2}\left( t\right)\end{array}\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}と定義されるため、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する曲線の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( t\right) \\
x_{2}=f_{2}\left( t\right)\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}となります。
\end{equation*}を用いて、\begin{equation*}
x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( t\right) \\
f_{2}\left( t\right) \\
f_{3}\left( t\right)\end{array}\right) \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}と定義されるため、空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上に存在する曲線の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left( t\right) \\
x_{2}=f_{2}\left( t\right) \\
x_{3}=f_{3}\left( t\right)\end{array}\right. \quad \left( t\in I\right)
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、円の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=\cos \left( t\right) \\
x_{2}=\sin \left( t\right)\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right) \\
t\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、螺旋の媒介変数表示は、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{l}
x_{1}=\cos \left( t\right) \\
x_{2}=\sin \left( t\right) \\
x_{3}=t\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
\vdots \\
p_{n}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
\vdots \\
v_{n}\end{array}\right)
\end{equation*}と定義されるため、空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する直線の媒介変数表示は、\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=p_{1}+tv_{1} \\
\vdots \\
x_{n}=p_{n}+tv_{n}\end{array}\right.
\end{equation*}となります。
曲線の方程式
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線のベクトル方程式は、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
p_{1} \\
p_{2}\end{array}\right) +t\left(
\begin{array}{c}
v_{1} \\
v_{2}\end{array}\right)
\end{equation*}ですが、その一方で、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線は方程式\begin{equation*}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+b=0
\end{equation*}を用いて表現することもできます。ただし、\(a_{1},a_{2},b\in \mathbb{R} \)であるとともに\(a_{1}\)と\(a_{2}\)の少なくとも一方は非ゼロです。いずれにせよ、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上に存在する直線については、媒介変数\(t\)を利用せずに方程式を用いて表現できるということです。
空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する曲線についても、媒介変数を使わずに方程式を用いてそれを表現できるのでしょうか。まずは具体例を挙げます。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と表現されます。円の媒介変数表示は、\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=\cos \left( t\right) \\
x_{2}=\sin \left( t\right)\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}ですが、これを変形すると、\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}^{2}=\cos ^{2}\left( t\right) \\
x_{2}^{2}=\sin ^{2}\left( t\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を得ます。さらに、任意の\(t\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\sin ^{2}\left( t\right) +\cos ^{2}\left( t\right) =1
\end{equation*}が成り立つことを踏まえた上で、先の連立方程式から\(t\)を消去すると以下の方程式\begin{equation}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。以上より、ベクトル方程式\(\left(1\right) \)を満たす任意のベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)、すなわち円\(C\)上の任意の点の位置ベクトル\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)は方程式\(\left( 2\right) \)を満たすことが明らかになりました。逆に、\(\left( 2\right) \)を満たす\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、任意の値\(t\)が\(\left( 1\right) \)の解になるため、この\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)は円\(C\)上の点の位置ベクトルです。したがって、方程式\(\left( 2\right) \)を用いて円を、\begin{equation*}C=\left\{ \left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1\right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
改めて整理すると、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)から定義される曲線は、\begin{equation*}C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists t\in I:x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \right\}
\end{equation*}ですが、この曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)を念頭においたとき、何らかの多変数関数\(F:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のもとで、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、以下の関係\begin{equation*}\exists t\in I:x=\boldsymbol{f}\left( t\right) \Leftrightarrow F\left(
x\right) =0
\end{equation*}が成り立つのであれば、先の曲線を、\begin{equation*}
C\left( \boldsymbol{f}\right) =\left\{ x\in X\ |\ F\left( x\right) =0\right\}
\end{equation*}と表現できます。つまり、曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)に対して以上の条件を満たす多変数関数\(F\)が存在する場合、方程式\begin{equation*}F\left( x\right) =0
\end{equation*}によって曲線\(C\left( \boldsymbol{f}\right) \)を表現できるということです。この方程式を曲線の方程式(equation of a curve)と呼びます。
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \exists t\in \mathbb{R} :\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( t\right) \\
\sin \left( t\right)\end{array}\right) \right\}
\end{equation*}と表現されます。それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}F\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1
\end{equation*}を定める多変数関数\(F:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、先の議論より、任意の\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2}\end{array}\right) \in C\Leftrightarrow F\left( x_{1},x_{2}\right) =0
\end{equation*}という関係が成り立つため、\begin{equation*}
F\left( x_{1},x_{2}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1
\end{equation*}は円の方程式です。
演習問題
\begin{array}{c}
2+x \\
3+2x \\
1-3x\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下のベクトル\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( 2\right) ,\ \boldsymbol{f}\left( 1\right) ,\
\boldsymbol{f}\left( 0\right) ,\ \boldsymbol{f}\left( -1\right) ,\
\boldsymbol{f}\left( -2\right)
\end{equation*}をそれぞれ求めてください。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
f_{2}\left( x\right)\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
x \\
x^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
R\left( \boldsymbol{f}\right) =R\left( f_{1}\right) \times R\left(
f_{2}\right)
\end{equation*}は成り立たないことを示してください。
\begin{array}{l}
x=t \\
y=t^{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この曲線の方程式を求めた上で、その方程式を用いて曲線\(C\)を集合として表現してください。
\begin{array}{l}
x=t \\
y=t^{2}\end{array}\right. \quad \left( 0\leq t\leq 1\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この曲線の方程式を求めた上で、その方程式を用いて曲線\(C\)を集合として表現してください。
\begin{array}{l}
x=e^{t} \\
y=t^{2}\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この曲線の方程式を求めた上で、その方程式を用いて曲線\(C\)を集合として表現してください。
\begin{array}{l}
x=\cos ^{3}\left( t\right) \\
y=\sin ^{3}\left( t\right)\end{array}\right. \quad \left( t\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}で与えられているものとします。このような曲線をアステロイド(astroid)と呼びます。アステロイドの方程式を求めた上で、その方程式を用いてアステロイド\(C\)を集合として表現してください。
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