ユークリッド空間上の有界区間
実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界区間とは、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}\left( a,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\} \\
\left[ a,b\right] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\} \\
\lbrack a,b) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\} \\
(a,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の有界区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\subset \mathbb{R} \)の直積\begin{equation*}I=I_{1}\times \cdots \times I_{n}
\end{equation*}として表される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間（bounded interval）と呼ぶこととします。
例（ユークリッド空間上の有界開区間）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開区間とは、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left( a,b\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の有界開区間\(\left(a_{i},b_{i}\right) \subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&\left( a_{1},b_{1}\right) \times \cdots \times \left(
a_{n},b_{n}\right) \\
&=&\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right)
\end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開区間（open interval）と呼びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の二項関係\(\ll \)が、任意の点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x\ll y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\}
:x_{i}<y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして定義されている場合、2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\ll \boldsymbol{x}\ll \boldsymbol{b}\right\} \quad
\because \ll \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開区間を、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) =\prod_{i=1}^{n}\left(
a_{i},b_{i}\right)
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の有界開区間\(\left(a_{i},b_{i}\right) \subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&\left( a_{1},b_{1}\right) \times \cdots \times \left(
a_{n},b_{n}\right) \\
&=&\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right)
\end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開区間（open interval）と呼びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の二項関係\(\ll \)が、任意の点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x\ll y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\}
:x_{i}<y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして定義されている場合、2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\ll \boldsymbol{x}\ll \boldsymbol{b}\right\} \quad
\because \ll \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開区間を、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) =\prod_{i=1}^{n}\left(
a_{i},b_{i}\right)
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
例（ユークリッド空間上の閉区間）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の閉区間とは、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\left[ a,b\right] =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の閉区間\(\left[ a_{i},b_{i}\right] \subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \\
&=&\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉区間（closed interval）と呼びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されている状況を想定します。つまり、任意の点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして\(\leq \)は定義されているということです。この場合、2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{b}\right\} \quad
\because \leq \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉区間を、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] =\prod_{i=1}^{n}\left[
a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}と表記できるものと定めます。
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の閉区間\(\left[ a_{i},b_{i}\right] \subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \\
&=&\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉区間（closed interval）と呼びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)上に標準的順序\(\leq \)が定義されている状況を想定します。つまり、任意の点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \forall i\in \left\{
1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\leq y_{i}
\end{equation*}を満たすものとして\(\leq \)は定義されているということです。この場合、2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{b}\right\} \quad
\because \leq \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉区間を、\begin{equation*}\left[ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right] =\prod_{i=1}^{n}\left[
a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}と表記できるものと定めます。
例（ユークリッド空間上の右半開区間）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の右半開区間とは、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lbrack a,b)=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の右半開区間\([a_{i},b_{i})\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&[a_{1},b_{1})\times \cdots \times \lbrack a_{n},b_{n}) \\
&=&\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i})
\end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の右半開区間（right hand open interval）と呼びます。2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}\leq
x_{i}<b_{i}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{x}\ll \boldsymbol{b}\right\} \quad
\because \leq ,\ll \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の右半開区間を、\begin{equation*}\lbrack \boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i})
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の右半開区間\([a_{i},b_{i})\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&[a_{1},b_{1})\times \cdots \times \lbrack a_{n},b_{n}) \\
&=&\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i})
\end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の右半開区間（right hand open interval）と呼びます。2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}\leq
x_{i}<b_{i}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{x}\ll \boldsymbol{b}\right\} \quad
\because \leq ,\ll \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の右半開区間を、\begin{equation*}\lbrack \boldsymbol{a},\boldsymbol{b})=\prod_{i=1}^{n}[a_{i},b_{i})
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
例（ユークリッド空間上の左半開区間）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の左半開区間とは、\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}(a,b]=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x\leq b\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の左半開区間\((a_{i},b_{i}]\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&(a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}] \\
&=&\prod_{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}] \end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の左半開区間（left hand open interval）と呼びます。2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}] &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<x_{i}\leq
b_{i}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\ll \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{b}\right\} \quad
\because \leq ,\ll \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の左半開区間を、\begin{equation*}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]=\prod_{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}] \end{equation*}と表記できるものと定めます。
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の左半開区間\((a_{i},b_{i}]\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&(a_{1},b_{1}]\times \cdots \times (a_{n},b_{n}] \\
&=&\prod_{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}] \end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の左半開区間（left hand open interval）と呼びます。2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}] &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<x_{i}\leq
b_{i}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\ll \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{b}\right\} \quad
\because \leq ,\ll \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の左半開区間を、\begin{equation*}(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}]=\prod_{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}] \end{equation*}と表記できるものと定めます。
例（ユークリッド空間上の有界区間）
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(I\subset \mathbb{R} ^{2}\)が、\(a<b\)かつ\(c<d\)を満たす実数\(a,b,c,d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}I=\left( a,b\right) \times \left[ c,d\right]
\end{equation*}と表されるものとします。\(\left( a,b\right) \)と\(\left[ c,d\right] \)はともに\(\mathbb{R} \)上の有界区間であるため\(I\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の有界区間です。
ユークリッド空間上の無限区間
実数空間\(\mathbb{R} \)上の無限区間とは、実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}\lbrack a,+\infty ) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\} \\
(-\infty ,b] &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\} \\
\left( a,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\} \\
\left( -\infty ,b\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\} \\
\left( -\infty ,+\infty \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<+\infty \right\} =\mathbb{R} \end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\subset \mathbb{R} \)の直積\begin{equation*}I=I_{1}\times \cdots \times I_{n}
\end{equation*}として表されるとともに、\(I_{1},\cdots ,I_{n}\)の中の少なくとも1つが無限区間である場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の無限区間（infinite interval）や非有界区間（unbounded interval）などと呼ぶこととします。
例（ユークリッド空間上の右無限閉区間）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の右無限閉区間とは、実数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lbrack a,+\infty )=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<+\infty \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の右無限閉区間\([a_{i},+\infty )\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&[a_{1},+\infty )\times \cdots \times \lbrack a_{n},+\infty ) \\
&=&\prod_{i=1}^{n}[a_{i},+\infty )
\end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の右無限閉区間（right infinite closed interval）と呼びます。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}[a_{i},+\infty ) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}\leq x_{i}<+\infty
\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{x}\right\} \quad \because \leq \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の右無限閉区間を、\begin{equation*}\lbrack \boldsymbol{a},+\infty )=\prod_{i=1}^{n}[a_{i},+\infty )
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の右無限閉区間\([a_{i},+\infty )\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&[a_{1},+\infty )\times \cdots \times \lbrack a_{n},+\infty ) \\
&=&\prod_{i=1}^{n}[a_{i},+\infty )
\end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の右無限閉区間（right infinite closed interval）と呼びます。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}[a_{i},+\infty ) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}\leq x_{i}<+\infty
\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\leq \boldsymbol{x}\right\} \quad \because \leq \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の右無限閉区間を、\begin{equation*}\lbrack \boldsymbol{a},+\infty )=\prod_{i=1}^{n}[a_{i},+\infty )
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
例（ユークリッド空間上の左無限閉区間）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の左無限閉区間とは、実数\(b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}(-\infty ,b]=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x\leq b\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の左無限閉区間\((-\infty,b_{i}]\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}] \\
&=&\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}] \end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の左無限閉区間（left infinite closed interval）と呼びます。点\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}] &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :-\infty <x_{i}\leq
b_{i}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{b}\right\} \quad \because \leq \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の左無限閉区間を、\begin{equation*}(-\infty ,\boldsymbol{b}]=\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}] \end{equation*}と表記できるものと定めます。
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の左無限閉区間\((-\infty,b_{i}]\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&(-\infty ,b_{1}]\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}] \\
&=&\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}] \end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の左無限閉区間（left infinite closed interval）と呼びます。点\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}] &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :-\infty <x_{i}\leq
b_{i}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\leq \boldsymbol{b}\right\} \quad \because \leq \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の左無限閉区間を、\begin{equation*}(-\infty ,\boldsymbol{b}]=\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}] \end{equation*}と表記できるものと定めます。
例（ユークリッド空間上の右無限開区間）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の右無限開区間とは、実数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}(a,+\infty )=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<+\infty \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の右無開区間\((a_{i},+\infty)\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&(a_{1},+\infty )\times \cdots \times (a_{n},+\infty ) \\
&=&\prod_{i=1}^{n}(a_{i},+\infty )
\end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の右無限開区間（right infinite open interval）と呼びます。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}(a_{i},+\infty ) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<x_{i}<+\infty
\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\ll \boldsymbol{x}\right\} \quad \because \ll \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の右無限開区間を、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{a},+\infty \right) =\prod_{i=1}^{n}(a_{i},+\infty )
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の右無開区間\((a_{i},+\infty)\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&(a_{1},+\infty )\times \cdots \times (a_{n},+\infty ) \\
&=&\prod_{i=1}^{n}(a_{i},+\infty )
\end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の右無限開区間（right infinite open interval）と呼びます。点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}(a_{i},+\infty ) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<x_{i}<+\infty
\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{a}\ll \boldsymbol{x}\right\} \quad \because \ll \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の右無限開区間を、\begin{equation*}\left( \boldsymbol{a},+\infty \right) =\prod_{i=1}^{n}(a_{i},+\infty )
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
例（ユークリッド空間上の左無限開区間）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の左無限開区間とは、実数\(b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}(-\infty ,b)=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<b\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の左無限開区間\((-\infty,b_{i})\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&(-\infty ,b_{1})\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}) \\
&=&\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i})
\end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の左無限開区間（left infinite open interval）と呼びます。点\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :-\infty
<x_{i}<b_{i}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\ll \boldsymbol{b}\right\} \quad \because \ll \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の左無限開区間を、\begin{equation*}(-\infty ,\boldsymbol{b})=\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i})
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の左無限開区間\((-\infty,b_{i})\subset \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&(-\infty ,b_{1})\times \cdots \times (-\infty ,b_{n}) \\
&=&\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i})
\end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の左無限開区間（left infinite open interval）と呼びます。点\(\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i}) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :-\infty
<x_{i}<b_{i}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \boldsymbol{x}\ll \boldsymbol{b}\right\} \quad \because \ll \text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の左無限開区間を、\begin{equation*}(-\infty ,\boldsymbol{b})=\prod_{i=1}^{n}(-\infty ,b_{i})
\end{equation*}と表記できるものと定めます。
例（ユークリッド空間上の全区間）
実数空間\(\mathbb{R} \)上の全区間とは、\begin{equation*}\left( -\infty ,+\infty \right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\infty <x<+\infty \right\} =\mathbb{R} \end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の全区間\(\left( -\infty ,+\infty \right)\subset \mathbb{R} \)の直積\begin{eqnarray*}I &=&\left( -\infty ,+\infty \right) \times \cdots \times \left( -\infty
,+\infty \right) \\
&=&\prod_{i=1}^{n}\left( -\infty ,+\infty \right) \\
&=&\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の全区間（total interval）と呼びます。
,+\infty \right) \\
&=&\prod_{i=1}^{n}\left( -\infty ,+\infty \right) \\
&=&\mathbb{R} ^{n}
\end{eqnarray*}として表現される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の全区間（total interval）と呼びます。
例（ユークリッド空間上の無限区間）
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\(I\subset \mathbb{R} ^{2}\)が、\(a<b\)を満たす実数\(a,b,c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}I=\left( a,b\right) \times \lbrack c,+\infty )
\end{equation*}と表されるものとします。\([c,+\infty )\)は\(\mathbb{R} \)上の無限区間であるため\(I\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の無限区間です。
\end{equation*}と表されるものとします。\([c,+\infty )\)は\(\mathbb{R} \)上の無限区間であるため\(I\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の無限区間です。
ユークリッド空間上の区間
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(I\subset \mathbb{R} ^{n}\)が\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\subset \mathbb{R} \)の直積\begin{equation*}I=I_{1}\times \cdots \times I_{n}
\end{equation*}として表される場合には、\(I\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間（interval）と呼ぶこととします。\(I_{1},\cdots ,I_{n}\)がいずれも\(\mathbb{R} \)上の有界区間であれば\(I\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界区間であり、\(I_{1},\cdots ,I_{n}\)の中の少なくとも1つが\(\mathbb{R} \)上の無限区間であれば\(I\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の無限区間です。
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)が区間であることは、\begin{equation*}\forall a,b\in I:\left[ a<b\Rightarrow \forall x\in \left( a,b\right) :x\in I\right]
\end{equation*}が成り立つこととして特徴づけられますが、さらにこれは、\begin{equation*}
\forall a\in I,\ \forall b\in I,\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right]
:\lambda a+\left( 1-\lambda \right) b\in I
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合が区間であることと、その集合が\(\mathbb{R} \)上の凸集合であることは必要十分です。
以上の意味において区間であるような\(n\)個の\(\mathbb{R} \)上の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\subset \mathbb{R} \)が与えられたとき、それらの直積集合として定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)上の区間\begin{equation*}I=I_{1}\times \cdots \times I_{n}
\end{equation*}もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合であること、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{a}\in I,\ \forall \boldsymbol{a}\in I,\ \forall \lambda
\in \left[ 0,1\right] :\lambda \boldsymbol{a}+\left( 1-\lambda \right)
\boldsymbol{a}\in I
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
命題（区間は凸集合）
実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I_{1},\cdots ,I_{n}\subset \mathbb{R} \)がいずれも\(\mathbb{R} \)上の区間であるものとする。つまり、任意の\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\begin{equation*}\forall a\in I_{i},\ \forall b\in I_{i},\ \forall \lambda \in \left[ 0,1\right] :\lambda a+\left( 1-\lambda \right) b\in I_{i}
\end{equation*}が成り立つものとする。以下の\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\begin{equation*}I=I_{1}\times \cdots \times I_{n}
\end{equation*}を定義したとき、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{a}\in I,\ \forall \boldsymbol{b}\in I,\ \forall \lambda
\in \left[ 0,1\right] :\lambda \boldsymbol{a}+\left( 1-\lambda \right)
\boldsymbol{b}\in I
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つものとする。以下の\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\begin{equation*}I=I_{1}\times \cdots \times I_{n}
\end{equation*}を定義したとき、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{a}\in I,\ \forall \boldsymbol{b}\in I,\ \forall \lambda
\in \left[ 0,1\right] :\lambda \boldsymbol{a}+\left( 1-\lambda \right)
\boldsymbol{b}\in I
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の凸集合は\(\mathbb{R} \)上の区間の直積として表されるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（区間ではない凸集合）
2次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合が、\begin{equation*}A=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}として与えられているものとします。これは原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の円盤であるため、\(A\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の凸集合です。その一方で、これは\(\mathbb{R} \)上の2つの区間の直積ではないため、\(\mathbb{R} ^{2}\)上の区間ではありません。
\end{equation*}として与えられているものとします。これは原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の円盤であるため、\(A\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の凸集合です。その一方で、これは\(\mathbb{R} \)上の2つの区間の直積ではないため、\(\mathbb{R} ^{2}\)上の区間ではありません。
演習問題
問題（区間の直径と辺の長さの関係）
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉区間が、\(a_{i}<b_{i}\ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}I=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right]
\end{equation*}と表されるものとします。\(I\)を構成する\(\mathbb{R} \)上の区間\(\left[ a_{i},b_{i}\right] \)の長さを、\begin{equation*}L_{i}=b_{i}-a_{i}
\end{equation*}で定義します。以下の問いに答えてください。
\end{equation*}で定義します。以下の問いに答えてください。
- \(I\)の直径が\(0\)へ収束する場合には\(\left[ a_{1},b_{1}\right] ,\cdots ,\left[ a_{n},b_{n}\right] \)の長さがいずれも\(0\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}d\left( I\right) \rightarrow 0\Rightarrow \forall i\in \left\{ 1,\cdots,n\right\} :L_{i}\rightarrow 0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。 - 上の主張の逆が成立すること、すなわち、\begin{equation*}\left( \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :L_{i}\rightarrow 0\right)
\Rightarrow d\left( I\right) \rightarrow 0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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