ノルム関数の連続性

ノルム関数の連続性

ノルム関数\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されている場合、点\(a\)において連続であることが保証されます。

ベクトル値関数とノルム関数の合成関数の連続性

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その値域はノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合であるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\left\Vert f\left( x\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right\Vert
\\
&=&\sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +\left[ f_{n}\left(
x\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{i}\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を定める合成関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)はベクトル値関数\(f\)の成分関数です。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているとともに点\(a\)において連続であるものとします。\(f\left( a\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)ゆえにノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(f\left( a\right) \)の周辺の任意の点において定義されているため点\(f\left(a\right) \)において連続です。すると、ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の連続性より、合成関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)もまた点\(a\)において連続であることが保証されます。

演習問題