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SCALAR FIELD

スカラー場の連続性

点におけるスカラー場の連続性

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束するかどうかを検討する際には\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていればよく、\(f\)は必ずしも点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合でも\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)に相当する有限な実数が存在する可能性があります。また、スカラー場\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束する場合、そこでの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)は\(f\left(a\right) \)と一致するとは限りません。一方、スカラー場\(f\)が点\(a\)において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束し、なおかつそこでの極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left(x\right) \)が\(f\left( a\right) \)と一致する場合には、\(f\)は点\(a\)において連続である(continuous at \(a\))であると言います。つまり、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点において連続であることとは以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left(
a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。

上の3つの条件の中でも\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合、\(f\)は点\(a\)において不連続である(discontinuous at \(a\))であると言います。また、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合、つまりスカラー場\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は\(a\)において連続でも不連続でもありません。スカラー場が点\(f\)において連続もしくは不連続であるためには、その点がスカラー場の定義域に含まれている必要があるということです。

例(点において連続なスカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において連続でしょうか。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }xy\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0\cdot 0\quad \because \text{単項式関数の極限} \\
&=&f\left( 0,0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続です。
例(点において不連続なスカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において連続でしょうか。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)を含めその周辺の任意の点において定義されています。以下の点列\begin{equation*}\left\{ \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right\}
\end{equation*}に注目すると、この点列の任意の項は\(\left(0,0\right) \)ではなく、さらに、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) =\left(
0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、数列\(f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) \)の極限に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{\left( \frac{1}{v}\right) ^{2}+\left(
\frac{1}{v}\right) ^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{v^{2}}{2}\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり有限な実数へ収束しないため、\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において不連続です。
例(点において不連続なスカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
1 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において連続でしょうか。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)を含めその周辺の任意の点において定義されています。\(\left( 0,0\right) \)とは異なる点を項とするとともに\(\left( 0,0\right) \)へ収束する点列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 0,0\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選ぶということです。\(\left(b\right) \)が成り立つことは、数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}&&\left( b_{1}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0 \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=0
\end{eqnarray*}ともに成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\frac{x_{v}^{3}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}} \\
&=&x_{v}\left( \frac{x_{v}^{2}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}}\right) \\
&\leq &x_{v}\cdot 1 \\
&=&x_{v}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
-\left\vert x_{v}\right\vert \leq f\left( x_{v},y_{v}\right) \leq \left\vert
x_{v}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。このとき、\(\left( b_{1}\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left\vert x_{v}\right\vert =\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( -\left\vert x_{v}\right\vert \right) =0
\end{equation*}が成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation*}
f\left( 0,0\right) =1
\end{equation*}であるため、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において不連続です。
例(点において連続でも不連続でもないスカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{xy}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=0\wedge y\not=0\right\}
\end{equation*}です。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において連続でしょうか。\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続でも不連続でもありません。

 

イプシロン・デルタ論法によるスカラー場の連続性の定義

復習になりますが、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert
f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。では、スカラー場\(f\)が点\(a\)において連続であることはどのように表現できるのでしょうか。今、このスカラー場\(f\)が点\(a\)において連続であるならば、\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限\(b\)は\(f\left(a\right) \)と一致するため、上の論理式中の\(b\)を\(f\left(a\right) \)に置き換えることができます。さらに、\(f\)が点\(a\)において連続であるためには\(f\)は点\(a\)において定義されている必要があるため、上の論理式において\(d\left( x,a\right) =0\)の場合を除外する必要はありません。言い換えると、上の論理式中の\(0<d\left( x,a\right) \)の部分は不要です。以上を踏まえると、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert
f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義できます。スカラー場が点において連続であることの意味をイプシロン・デルタ論法を用いて定義したものが上の論理式です。

例(点において連続なスカラー場)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。先ほど、このスカラー場\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において連続であることを示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明します。\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left( \sqrt{\left( x-0\right) ^{2}+\left( y-0\right) ^{2}}<\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) \right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left( \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert xy\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これを証明します。具体的には、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{equation*}\delta =\sqrt{\varepsilon }>0
\end{equation*}をとることができます。すると、\begin{equation*}
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\sqrt{\varepsilon } \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす任意の\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert xy\right\vert &=&\left\vert x\right\vert \left\vert y\right\vert
\\
&=&\sqrt{x^{2}}\sqrt{y^{2}} \\
&\leq &\sqrt{x^{2}+y^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
&<&\sqrt{\varepsilon }\sqrt{\varepsilon }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

定義域上で連続なスカラー場

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上の任意の点において連続であるとき、\(f\)は\(X\)上で連続である(continuous on \(X\))とか、\(f\)は連続である(continuous)などと言います。また、スカラー場\(f\)が定義域の部分集合\(Y\subset X\)上の任意の点において連続であるとき、\(f\)は\(Y\)上で連続である(continuous on \(Y\))と言います。

例(開集合上に定義されたスカラー場の連続性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合である場合、定義域上の点\(a\in X\)を任意に選ぶと、開集合の定義より、点\(a\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(X\)の部分集合であるようなものが必ず存在します。したがって、\(f\)は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)上の任意の点において定義されているため、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。以上を踏まえると、開集合\(X\)上に定義されたスカラー場\(f\)が連続であることとは、\(X\)上の任意の点において\(f\)が連続であることを意味します。
例(ユークリッド空間上に定義されたスカラー場の連続性)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義されたスカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が連続であることとは、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の点において\(f\)が連続であることを意味します。
例(境界点を含む集合上に定義された関数の連続性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)が\(X\)の境界点を含む場合、境界点\(a\in X^{f}\)を任意に選ぶと、境界点の定義より、点\(a\)を中心とする任意の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(X\)の部分集合になりません。したがって、\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されてはいないため、\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限を考えることができず、したがって\(f\)は点\(a\)において連続ではありません。つまり、このようなスカラー場\(f\)は定義域上で連続ではありません。ただ、定義域上の境界点におけるスカラー場の極限や連続性を定義することもできます。

 

演習問題

問題(スカラー場の連続性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{3x+2y}{x+y+1}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 5,-3\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において連続であることを証明してください。
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問題(スカラー場の連続性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{26-2x^{2}-y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。このスカラー場\(f\)は点\(\left( 2,-3\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において連続であることを証明してください。
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問題(スカラー場の連続性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x^{2}+y^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。このスカラー場\(f\)が連続であるような定義域上の点をすべて明らかにしてください。
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問題(スカラー場の連続性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。このスカラー場\(f\)が連続であるような定義域上の点をすべて明らかにしてください。
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次回は点列を用いてスカラー場が連続であることを示す方法について解説します。

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