点における多変数関数の連続性
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な極限へ収束するかを検討する際に、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていればよく、点\(a\)において定義されている必要はありません。したがって、\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合においても、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な極限へ収束する状況は起こり得ます。また、関数\(f\)が点\(a\)において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な極限へ収束する場合、この極限は点\(a\)における\(f\)の値である\(f\left( a\right) \)と一致するとは限りません。
一方、関数\(f\)が点\(a\)およびその周辺の任意の点において定義されており、なおかつ\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限へ収束し、さらにこの極限が\(f\left( a\right) \)と一致する場合、\(f\)は点\(a\)において連続である（continuous at \(a\)）であると言います。つまり、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)において連続であることとは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ a\in X \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことを意味します。関数の極限の定義より、条件\(\left( b\right) \)が成り立つためには\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている必要があります。これと条件\(\left( a\right) \)を踏まえると、点\(a\)において連続な関数\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されていることになります。
上の3つの条件の中でも\(\left( a\right) \)が成り立つ一方で\(\left( b\right) \)と\(\left( c\right) \)の少なくとも一方が成り立たない場合、\(f\)は点\(a\)において不連続である（discontinuous at \(a\)）と言います。また、そもそも\(\left( a\right) \)が成り立たない場合、つまり関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、\(f\)は点\(a\)において連続でも不連続でもありません。関数が点において連続もしくは不連続であるためには、その点が関数の定義域に含まれている必要があるということです。
以下は連続な関数の例です。
例（点において連続な関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)を含めその周辺の任意の点において定義されています。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }xy\quad \because f\text{の定義} \\
&=&ab\quad \because \text{多変数の単項式関数の極限} \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)を含めその周辺の任意の点において定義されています。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }xy\quad \because f\text{の定義} \\
&=&ab\quad \because \text{多変数の単項式関数の極限} \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続であることが明らかになりました。
例（点において連続な関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)は開集合であるため、点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)を含めその周辺の任意の点において定義されています。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}\quad \because \text{多変数の有理関数の極限} \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続であることが明らかになりました。
\end{equation*}\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)は開集合であるため、点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)を含めその周辺の任意の点において定義されています。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}\quad \because \text{多変数の有理関数の極限} \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続であることが明らかになりました。
以下は有限な実数へ収束せず、ゆえに連続ではない関数の例です。
例（点において連続ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)を含めその周辺の任意の点において定義されています。さらに、以下の点列\begin{equation*}\left\{ \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right\}
\end{equation*}に注目すると、この点列の任意の項は\(\left(0,0\right) \)ではなく、さらに、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) =\left(
0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、数列\(\left\{ f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) \right\} \)の極限に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{\left( \frac{1}{v}\right) ^{2}+\left(
\frac{1}{v}\right) ^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{v^{2}}{2}\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり有限な実数へ収束しません。このような点列\(\left\{ \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに有限な実数へ収束しないことを意味します。したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)を含めその周辺の任意の点において定義されています。さらに、以下の点列\begin{equation*}\left\{ \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right\}
\end{equation*}に注目すると、この点列の任意の項は\(\left(0,0\right) \)ではなく、さらに、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) =\left(
0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、数列\(\left\{ f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) \right\} \)の極限に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{\left( \frac{1}{v}\right) ^{2}+\left(
\frac{1}{v}\right) ^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{v^{2}}{2}\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり有限な実数へ収束しません。このような点列\(\left\{ \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに有限な実数へ収束しないことを意味します。したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。
例（点において連続ではない関数）
有界な閉区間の直積上に定義された関数\(f:\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+xy+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の境界点\(\left( 0,0\right) \)に注目します。\(x<0\)かつ\(y<0\)を満たす任意の点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において\(f\)は定義されていないため、\(x\)と\(y\)がともに\(0\)より小さい値をとりながら\(\left( x,y\right) \)が\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づく場合の挙動を調べられません。したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の境界点\(\left( 0,0\right) \)に注目します。\(x<0\)かつ\(y<0\)を満たす任意の点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)において\(f\)は定義されていないため、\(x\)と\(y\)がともに\(0\)より小さい値をとりながら\(\left( x,y\right) \)が\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づく場合の挙動を調べられません。したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において有限な実数へ収束しないため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。
以下は有限な実数へ収束する一方で連続ではない関数の例です。
例（点において連続ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
1 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、\(f\)は定義域上の点\(\left(0,0\right) \)およびその周辺の任意の点において定義されています。\(\left(0,0\right) \)とは異なる点を項とするとともに\(\left( 0,0\right) \)へ収束する点列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 0,0\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選ぶということです。\(\left(b\right) \)が成り立つことは、数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}&&\left( b_{1}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0 \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=0
\end{eqnarray*}が成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\frac{x_{v}^{3}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}}\quad
\because \left( a\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&x_{v}\left( \frac{x_{v}^{2}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}}\right) \\
&\leq &x_{v}\cdot 1 \\
&=&x_{v}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
-\left\vert x_{v}\right\vert \leq f\left( x_{v},y_{v}\right) \leq \left\vert
x_{v}\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、\(\left( b_{1}\right) \)より、\begin{equation}\lim_{v\rightarrow \infty }\left\vert x_{v}\right\vert =\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( -\left\vert x_{v}\right\vert \right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)およびはさみうちの定理より、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation*}
f\left( 0,0\right) =1
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
\not=f\left( 0,0\right)
\end{equation*}であり、したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではないことが明らかになりました。
\begin{array}{ll}
\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
1 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、\(f\)は定義域上の点\(\left(0,0\right) \)およびその周辺の任意の点において定義されています。\(\left(0,0\right) \)とは異なる点を項とするとともに\(\left( 0,0\right) \)へ収束する点列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 0,0\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選ぶということです。\(\left(b\right) \)が成り立つことは、数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}&&\left( b_{1}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0 \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=0
\end{eqnarray*}が成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\frac{x_{v}^{3}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}}\quad
\because \left( a\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&x_{v}\left( \frac{x_{v}^{2}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}}\right) \\
&\leq &x_{v}\cdot 1 \\
&=&x_{v}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
-\left\vert x_{v}\right\vert \leq f\left( x_{v},y_{v}\right) \leq \left\vert
x_{v}\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。また、\(\left( b_{1}\right) \)より、\begin{equation}\lim_{v\rightarrow \infty }\left\vert x_{v}\right\vert =\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( -\left\vert x_{v}\right\vert \right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)およびはさみうちの定理より、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation*}
f\left( 0,0\right) =1
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
\not=f\left( 0,0\right)
\end{equation*}であり、したがって\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではないことが明らかになりました。
以下は連続でも不連続でもない関数の例です。
例（点において連続でも不連続でもない関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{xy}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=0\wedge y\not=0\right\}
\end{equation*}です。この関数は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、点\(\left( 0,0\right) \)において連続でも不連続でもありません。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=0\wedge y\not=0\right\}
\end{equation*}です。この関数は点\(\left( 0,0\right) \)において定義されていないため、点\(\left( 0,0\right) \)において連続でも不連続でもありません。
集合上で連続な多変数関数
繰り返しになりますが、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)において連続であることとは、\(f\)が点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ収束し、なおかつ、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。先に例を通じて確認したように、一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において連続であるとは限りません。そこで、\(f\)が連続な点からなる集合が\(Y\subset X\)であるとき、\(f\)は\(Y\)上で連続である（continuous on \(Y\)）と言います。特に、\(Y=X\)である場合、すなわち関数\(f\)が定義域上\(X\)の任意の点において連続である場合、\(f\)は連続である（continuous）と言います。
例（集合上で連続な関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、先に示したように、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、先に示したように、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続であることが明らかになりました。
例（点において連続ではない関数）
有界な閉区間の直積上に定義された関数\(f:\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+xy+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は定義域の境界点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。他の任意の境界点についても同様です。その一方で、定義域の内点\(\left( a,b\right) \in \left( 0,1\right) \times \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
x^{2}+xy+y^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&a^{2}+ab+b^{2}\quad \because \text{多変数の多項式関数の極限} \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)上では連続ではないものの、その内部\(\left(0,1\right) \times \left( 0,1\right) \)において連続であることが明らかになりました（ただし、後に導入する「片側連続性」を一般化した連続性の概念を踏まえると、\(f\)は定義域上で連続とみなされます。詳細は後述します）。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)は定義域の境界点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。他の任意の境界点についても同様です。その一方で、定義域の内点\(\left( a,b\right) \in \left( 0,1\right) \times \left(0,1\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)を含め周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
x^{2}+xy+y^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&a^{2}+ab+b^{2}\quad \because \text{多変数の多項式関数の極限} \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。したがって、\(f\)は定義域\(\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)上では連続ではないものの、その内部\(\left(0,1\right) \times \left( 0,1\right) \)において連続であることが明らかになりました（ただし、後に導入する「片側連続性」を一般化した連続性の概念を踏まえると、\(f\)は定義域上で連続とみなされます。詳細は後述します）。
演習問題
問題（関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{3x+2y}{x+y+1}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。この関数\(f\)は点\(\left( 5,-3\right) \)において連続であることを証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。この関数\(f\)は点\(\left( 5,-3\right) \)において連続であることを証明してください。
問題（関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{26-2x^{2}-y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。この関数\(f\)は点\(\left( 2,-3\right) \)において連続であることを証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。この関数\(f\)は点\(\left( 2,-3\right) \)において連続であることを証明してください。
問題（関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x^{2}+y^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。この関数\(f\)が連続であるような定義域上の点をすべて明らかにしてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。この関数\(f\)が連続であるような定義域上の点をすべて明らかにしてください。
問題（関数の連続性）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。この関数\(f\)が連続であるような定義域上の点をすべて明らかにしてください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。この関数\(f\)が連続であるような定義域上の点をすべて明らかにしてください。