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SCALAR FIELD

連続関数を利用したスカラー場の収束判定

スカラー場と連続関数の合成写像の極限

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の間に、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation}
\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \cdots (1)
\end{equation}を定める合成写像\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} \)を選んだとき、スカラー場\(f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\in \mathbb{R} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つということです。さらに、この点\(b\)が関数\(g\)の定義域上の点であるとともに、\(g\)は点\(b\)において連続であるとします。つまり、\(b\in Y\)であるとともに、\begin{equation}
\lim_{f\left( x\right) \rightarrow b}g\left( f\left( x\right) \right)
=g\left( b\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立つということです。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right)
&=&\lim_{x\rightarrow a}g\left( f\left( x\right) \right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\lim_{f\left( x\right) \rightarrow b}g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \left( 2\right) \\
&=&g\left( b\right) \quad \because \left( 3\right) \\
&=&g\left( \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right) \quad \because
\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(x\rightarrow a\)のときの\(g\circ f\)の極限を求める際、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)へ収束するとともに、\(g\)が点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であることが分かっている場合には、\(g\)の変数に\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)を代入すれば問題としている極限が求められるということです。

例(スカラー場と正弦関数の合成)
正弦関数\(\sin \)は実数空間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数です。したがって、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\sin \left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定める新たなスカラー場\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} \)を選んだとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}に収束するものとします。正弦関数\(\sin \)はこの点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \sin
\left( f\left( x\right) \right) \right] \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\sin \left( \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。
例(スカラー場と余弦関数の合成)
余弦関数\(\cos \)は実数空間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数です。したがって、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\cos \left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定める新たなスカラー場\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} \)を選んだとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}に収束するものとします。余弦関数\(\cos \)はこの点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[ \cos
\left( f\left( x\right) \right) \right] \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\cos \left( \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。
例(スカラー場と絶対値関数の合成)
絶対値関数\(\left\vert \ \right\vert \)は実数空間\(\mathbb{R} \)上に定義された連続関数です。したがって、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\left\vert f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}を定める新たなスカラー場\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} \)を選んだとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}に収束するものとします。絶対値関数\(\left\vert \ \right\vert \)はこの点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\vert
f\left( x\right) \right\vert \quad \because g\text{の定義}
\\
&=&\left\vert \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\vert
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。
例(スカラー場と平方根関数の合成)
平方根関数\(\sqrt{}\)は非負の実数空間\(\mathbb{R} _{+}\)上に定義された連続関数です。したがって、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
Y=\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \geq 0\right\}
\end{equation*}という集合を定義すれば、それぞれの\(x\in Y\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\sqrt{f\left( x\right) }
\end{equation*}を定める新たなスカラー場\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} \)を選んだとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) >0
\end{equation*}が成り立つのであれば、平方根関数\(\sqrt{}\)はこの点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\sqrt{f\left(
x\right) }\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。
例(スカラー場と自然対数関数の合成)
自然対数関数\(\ln \)は正の実数空間\(\mathbb{R} _{++}\)上に定義された連続関数です。したがって、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
Y=\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) >0\right\}
\end{equation*}という集合を定義すれば、それぞれの\(x\in Y\)に対して、\begin{equation*}
g\left( x\right) =\ln f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たなスカラー場\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} \)を選んだとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) >0
\end{equation*}が成り立つのであれば、自然対数関数\(\ln \)はこの点\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \)において連続であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\ln f\left(
x\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\ln \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

 

演習問題

問題(正弦関数)
変数\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に関するスカラー場\(xy\)に関して、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }xy=1
\end{equation*}が成り立つことが分かっているものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\ln \left( xy\right)
=0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(平方根関数)
変数\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に関するスカラー場\(\frac{x}{2}+3y+1\)に関して、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left( \frac{x}{2}+3y+1\right) =\frac{9}{2}
\end{equation*}が成り立つことが分かっているものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\sqrt{\frac{x}{2}+3y+1}=\frac{3}{\sqrt{2}}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(正弦関数)
変数\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に関するスカラー場\(\frac{x}{2}+y\)に関して、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2\pi ,\pi \right) }\left( \frac{x}{2}+y\right) =2\pi
\end{equation*}が成り立つことが分かっているものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2\pi ,\pi \right) }\sin \left(
\frac{x}{2}+y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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次回はスカラー場が有限な実数へ収束しないことを示す方法について解説します。

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