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MULTIVARIABLE FUNCTION

多変数関数による逆像と定義域

目次

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多変数関数による要素の逆像(等位集合)

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、これに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合の要素\(x\in X\)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。そこで、\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たすような\(x\in X\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(y\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)、もしくは等位集合(level set)などと呼びます。

2次元ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義域とする関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関しては、終集合の要素\(z\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( z\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\ |\ z=f\left(
x,y\right) \right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合になりますが、これを特に\(z\)の等位線(level curve)と呼びます。

3次元ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義域とする関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関しては、終集合の要素\(c\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( c\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in X\ |\ c=f\left(
x,y,z\right) \right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合になりますが、これを特に\(z\)の等位曲面(level surface)と呼びます。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は始集合\(X\)のそれぞれの要素に対して実数を1つずつ定めます。したがって、それぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} \)の「要素」です。一方、終集合のそれぞれの要素\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合の要素\(x\in X\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)は\(X\)の「部分集合」であることに注意が必要です。

例(関数による要素の逆像)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+5y+1
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。

図:関数のグラフ
図:関数のグラフ

\(f\)による値\(5\in \mathbb{R} \)の逆像すなわち等位線は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 5\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+1=5\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y-4=0\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による値\(0\in \mathbb{R} \)の逆像すなわち等位線は、\begin{equation*}f^{-1}\left( 0\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+1=0\right\}
\end{equation*}です。また、\(f\)による値\(-5\in \mathbb{R} \)の逆像すなわち等位線は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( -5\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+1=-5\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+6=0\right\}
\end{eqnarray*}です。これらを以下に描きました。

図:等位線
図:等位線
例(関数による要素の逆像)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。

図:関数のグラフ
図:関数のグラフ

\(f\)による値\(10\in \mathbb{R} \)の逆像すなわち等位線は、\begin{equation*}f^{-1}\left( 10\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}=10\right\}
\end{equation*}です。\(f\)による値\(5\in \mathbb{R} \)の逆像すなわち等位線は、\begin{equation*}f^{-1}\left( 5\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}=5\right\}
\end{equation*}です。また、\(f\)による値\(1\in \mathbb{R} \)の逆像すなわち等位線は、\begin{equation*}f^{-1}\left( 1\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}=1\right\}
\end{equation*}です。これらを以下に描きました。

図:等位線
図:等位線
例(関数による要素の逆像)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は緯度と経度の組\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\text{地点}\left( x,y\right) \text{の標高}
\end{equation*}を定めるものとします。標高\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による\(z\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ z=f\left( x,y\right) \right\}
\end{equation*}となりますが、これは標高\(z\)の等高線に他なりません。
例(関数による要素の逆像)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は緯度と経度の組\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\text{地点}\left( x,y\right) \text{の平均気温の値を海面の値に修正した値}
\end{equation*}を定めるものとします。温度\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による\(z\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ z=f\left( x,y\right) \right\}
\end{equation*}となりますが、これは気温が\(z\)であるような地点からなる集合です。これを気温\(z\)の等温線と呼びます。
例(関数による要素の逆像)
企業がある製品を生産するために3種類の材料を投入する状況を想定します。関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)は材料の投入量の組み合わせ\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} _{+}^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\text{投入量}\left( x,y,z\right)
\text{から生産される製品の数量}
\end{equation*}を定めるものとします。製品の数量\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による\(c\)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( c\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ c=f\left( x,y,z\right) \right\}
\end{equation*}となりますが、これは製品を\(c\)だけ生産するような投入量の組み合わせからなる集合です。これを生産量\(c\)の等量曲線と呼びます。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f\)による\(y\)の逆像の要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは必要十分です。さらに、\(f\)のグラフは、\begin{equation}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されるため、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\left( y\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) =y\quad
\because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \quad \because
\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \in G\left(
f\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f\)による\(y\)の逆像の要素であることと、\(\left( x,y\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。

 

多変数関数による集合の逆像・写像の定義域

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその値\(f\left( x\right)\in \mathbb{R} \)を定めますが、これは\(B\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(f\left( x\right) \)が\(B\)の要素になるような\(x\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(B\)の逆像(inverse image)や原像(preimage)などと呼びます。\(f^{-1}\left(B\right) \)は\(f\)の始集合\(X\)の部分集合です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の終集合\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(\mathbb{R} \)の逆像\(f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の定義域(domain)と呼び、\(D\left( f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{関数による逆像の定義}
\end{eqnarray*}です。つまり、関数\(f\)の定義域とは、\(f\left( x\right) \)がとり得るすべての値からなる集合です。

例(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+5y+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+1\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}
\end{eqnarray*}です。

例(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{x+y}
\end{equation*}を定めるものします。\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{x+y}\in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\geq 0\right\} \quad \because \text{有理関数の定義}
\end{eqnarray*}です。

例(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( 9-x^{2}-9y^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \ln \left( 9-x^{2}-9y^{2}\right) \in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 9-x^{2}-9y^{2}>0>0\right\} \quad \because \text{対数関数の定義}
\end{eqnarray*}です。

例(関数による集合の逆像)
空集合は任意の部分集合であるため、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による空集合\(\phi \subset \mathbb{R} \)の逆像を考えることもできます。関数による集合の逆像の定義より、これは、\begin{equation*}f^{-1}(\phi )=\{x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \phi \}
\end{equation*}となりますが、\(f\left( x\right)\in \phi \)は恒偽式であるため、\begin{equation*}f^{-1}\left( \phi \right) =\phi
\end{equation*}となります。つまり、関数による空集合の逆像は空集合です。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\left( B\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) \in B\quad
\because \text{関数による逆像の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:y=f\left( x\right) \quad \because \text{関数の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because \text{関数のグラフの定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(B\subset \mathbb{R} \)の逆像を、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in B:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in B:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}など様々な形で表現できます。特に、\(B=\mathbb{R} \)の場合には、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} :y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の定義域\(D\left(f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

 

演習問題

問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( 3x-7y+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\frac{1}{x^{2}+2y^{2}+3z}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\frac{1}{x-2}+\sqrt{y-1}+\ln z^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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問題(関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+\left( y-1\right) ^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+\left( y+1\right) ^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(X\)を特定してください。
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次回は多変数関数との合成関数について解説します。

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