多変数関数による逆像と定義域

多変数関数による要素の逆像（等位集合）

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、これに対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合の要素\(x\in X\)は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的であるとは限りません。そこで、\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たすような\(x\in X\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(y\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）、もしくは等位集合（level set）などと呼びます。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は始集合\(X\)のそれぞれの要素に対して実数を1つずつ定めます。したがって、それぞれの\(x\in X\)に対して\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} \)の「要素」です。一方、終集合のそれぞれの要素\(y\in \mathbb{R} \)に対して\(y=f\left( x\right) \)を満たす始集合の要素\(x\in X\)は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的であるとは限らないため、逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)は\(X\)の「部分集合」であることに注意が必要です。

例（等位線）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+5y+1
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。

\(f\)による値\(5\in \mathbb{R} \)の逆像すなわち等位線は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( 5\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+1=5\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y-4=0\right\}
\end{eqnarray*}です。また、\(f\)による値\(0\in \mathbb{R} \)の逆像すなわち等位線は、\begin{equation*}f^{-1}\left( 0\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+1=0\right\}
\end{equation*}です。また、\(f\)による値\(-5\in \mathbb{R} \)の逆像すなわち等位線は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( -5\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+1=-5\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 2x+5y+6=0\right\}
\end{eqnarray*}です。これらを以下に描きました。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( y\right) =\left\{ x\in X\ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f \)による\(y\)の逆像の要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは必要十分です。さらに、\(f\)のグラフは、\begin{equation}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}と定義されるため、任意の\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\left( y\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) =y\quad
\because \left( 1\right) \\
&\Leftrightarrow &\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \quad \because
\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x\in f^{-1}\left( y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \in G\left(
f\right)
\end{equation*}という関係もまた成り立ちます。つまり、\(x\)が\(f\)による\(y\)の逆像の要素であることと、\(\left( x,y\right) \)が\(f\)のグラフの要素であることは必要十分です。

多変数関数による集合の逆像・写像の定義域

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対して値\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を定めますが、これは\(B\)の要素であるか否かのどちらか一方です。そこで、\(f\left( x\right) \)が\(B\)の要素になるような\(x\)からなる集合を、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(B\)の逆像（inverse image）や原像（preimage）などと呼びます。\(f^{-1}\left(B\right) \)は\(f\)の始集合\(X\)の部分集合です。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の終集合\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(\mathbb{R} \)の逆像\(f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \)をとることもできます。これを\(f\)の定義域（domain）と呼び、\(D\left( f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \quad \because \text{定義域の定義} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \quad \because \text{関数による逆像の定義}
\end{eqnarray*}です。つまり、関数\(f\)の定義域とは、\(f\left( x\right) \)がとり得るすべての値からなる集合です。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による終集合の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}x\in f^{-1}\left( B\right) &\Leftrightarrow &f\left( x\right) \in B\quad
\because \text{関数による逆像の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:y=f\left( x\right) \quad \because \text{関数の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists y\in B:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because \text{関数のグラフの定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(B\subset \mathbb{R} \)の逆像を、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( B\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in B:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in B:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\right\}
\end{eqnarray*}など様々な形で表現できます。特に、\(B=\mathbb{R} \)の場合には、\begin{eqnarray*}D\left( f\right) &=&f^{-1}\left( \mathbb{R} \right) \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} :y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \exists y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の定義域\(D\left(f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

演習問題

問題（多変数関数による要素の逆像）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。

以下の逆像\begin{equation*}
f^{-1}\left( 10\right) ,\ f^{-1}\left( 5\right) ,\ f^{-1}\left( 1\right)
\end{equation*}を特定するとともに、それらを図示してください。