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多変数関数のグラフ

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多変数関数のグラフ

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(y=f\left( x\right) \)が真になるような\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)からなる集合を、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)のグラフ(graph)と呼びます。\(G\left( f\right) \)は\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、組\(\left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、グラフ\(G\left( f\right) \)の定義より、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、組\(\left( x,y\right) \)が関数\(f\)のグラフの要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは必要十分です。

例(多変数関数のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+5y+1
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z=2x+5y+1\right\}
\end{equation*}であり、これは下図の点集合として描かれます。

図:多変数関数のグラフ
図:多変数関数のグラフ
例(多変数関数のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z=x^{2}+y^{2}\right\}
\end{equation*}であり、これは下図の点集合として描かれます。

図:多変数関数のグラフ
図:多変数関数のグラフ
例(多変数関数のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}-y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ z=x^{2}-y^{2}\right\}
\end{equation*}であり、これは下図の点集合として描かれます。

図:多変数関数のグラフ
図:多変数関数のグラフ

 

直積の部分集合としての多変数関数

繰り返しになりますが、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}と定義される\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合ですが、これはどのような性質を満たす集合でしょうか。関数\(f\)は始集合のそれぞれの要素\(x\in X\)に対してその像\(f\left(x\right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定めますが、\(G\left( f\right) \)の定義より、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して\(\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \)を満たす\(y\in \mathbb{R} \)が1つずつ存在することを意味します。

命題(多変数関数のグラフの性質)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)与えられたとき、そのグラフ\(G\left( f\right) \subset X\times \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\end{equation*}を満たす。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号である。
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逆に、直積\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}という性質を満たすものとします。つまり、集合\(X\)の要素\(x\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \in G\)を満たすような\(y\in \mathbb{R} \)が1つずつ存在するということです。したがってこの場合、それぞれの\(x\in X\)に対して\(\left( x,y\right) \in G\)を満たすような\(y\)を\(f\left( x\right) \)として定める関数\(f:X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、なおかつ\(f\)のグラフは\(G \)と一致します。

命題(多変数関数のグラフであるための条件)
集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、集合\(G\subset X\times \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}を満たす場合には、\(G=G\left( f\right) \)を満たす関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する。
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上の2つの命題より、以下を得ます。

命題(直積の部分集合としての多変数関数)
集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、集合\(G\subset X\times \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}を満たすことは、\(G=G\left(f\right) \)を満たす関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在するための必要十分条件である。ただし、\(\exists !\)は「一意的に存在する」ことを表す記号である。

上の命題より、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}\forall x\in X,\ \exists !y\in \mathbb{R} :\left( x,y\right) \in G
\end{equation*}という条件を満たす直積\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合\(G\)と同一視することができます。

例(多変数関数のグラフ)
直積\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(G\)が下図のような厚みを持たない面として与えられているものとします。面は厚みを持たないため、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して\(\left( x,y,z\right) \in G\)を満たす\(z\in \mathbb{R} \)は1つずつ存在するため、上の命題より、これは何らかの関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフです。

図:多変数関数のグラフ
図:多変数関数のグラフ

逆に、\(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\(G\)が厚みを持つ点集合である場合には、それぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して\(\left( x,y,z\right) \in G\)を満たす\(z\in \mathbb{R} \)は一意的に定まらないため、上の命題より、そのような\(G\)をグラフとして持つ関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は存在しません。

 

演習問題

問題(多変数関数のグラフ)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =1-x^{2}-y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)のグラフを\(G\left( f\right) \)で表記するとき、以下がそれぞれ成り立つか検証してください。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left( 1,1,1\right) \in G\left( f\right) \\
&&\left( b\right) \ \left( 1,1,-1\right) \in G\left( f\right) \\
&&\left( c\right) \ \left( -1,-1,-1\right) \in G\left( f\right) \\
&&\left( d\right) \ \left( 1,-1,0\right) \in G\left( f\right) \\
&&\left( e\right) \ \left( -1,0,1\right) \in G\left( f\right)
\end{eqnarray*}
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問題(多変数関数のグラフ)
集合\(G\subset \mathbb{R} ^{3}\)が、\begin{equation*}\left\{ \left( -7,3,1\right) ,\left( 5,1,2\right) ,\left( 1,5,4\right)
,\left( -2,1,3\right) ,\left( 5,-2,7\right) ,\left( 5,1,5\right) \right\}
\subset G
\end{equation*}を満たすものとします。この\(G\)をグラフとして持つような関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在しないことを示してください。
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次回は多変数関数による像や値域などについて解説します。

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