教材一覧
SCALAR FIELD

スカラー場が収束しないことの証明

スカラー場が収束しないことの証明

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺にある任意の点において定義されているとき、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記しました。

\(n=1\)の場合、スカラー場\(f\)は1変数関数であるため、その変数\(x\)は数直線上を移動します。したがって、\(x\)が\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく際には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( b\right) \ x\text{が}a\text{より小さい値だけをとりながら}a\text{に限りなく近づく} \\
&&\left( c\right) \ x\text{が}a\text{より大きい値と小さい値の両方をとりながら}a\text{に限りなく近づく}
\end{eqnarray*}などの経路が可能性として起こり得ます。いずれにせよ、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)が必ず\(b\)に限りなく近づくのであれば、そのことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記するということです。ちなみに、\(x\)が\(a\)より大きい値をとりながら\(a\)に限りなく近づく場合の極限は右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)であり、\(x\)が\(a\)より小さい値をとりながら\(a\)に限りなく近づく場合の極限は左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)です。さらに、点\(a\)において右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \)と左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \)がともに存在し(有限な実数として定まる)、なおかつそれらが一致することは、点\(a\)において通常の極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \)が存在する(有限な実数として定まる)ための必要十分条件であり、しかもその場合、それらの極限はすべて一致します。つまり、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow a+}\left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow a-}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つということです。以上を踏まえると、\(x\rightarrow a\)のときに関数\(f\)が有限な実数へ収束することを示すためには、そこでの右側極限と左側極限がともに有限な実数として定まるとともに、それらの値が一致することを示せばよいということになります。逆に、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束しないことを示すためには以下を示せばよいということになります。

  1. 点\(a\)における右側極限や左側極限の少なくとも一方が存在しない(有限な実数として定まらない)ことを示す。
  2. 点\(a\)における右側極限と左側極限がともに存在する(有限な実数として定まる)場合には、両者の値が異なることを示す。

\(n=2\)の場合、スカラー場\(f\)の変数\(x\)は平面上を移動するため、\(x\)が\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく際の経路のパターンは無数に存在します。\(n\geq 2\)の場合にも同様です。いずれにせよ、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)が必ず\(b\)に限りなく近づくのであれば、そのことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記するということです。ただ、繰り返しになりますが、関数の場合とは異なり、一般のスカラー場では変数\(x\)が点\(a\)に近づいていく際の経路のパターンは無数に存在するため、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束することを示すために、関数の場合の右側極限や左側極限などのように、それぞれの経路ごとに異なる極限概念を定義し、それらの値がすべて一致することを確認するのは困難です。その一方で、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束しないことを示すためには以下を示せばよく、その手続きは比較的容易です。

  1. 変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づいていく少なくとも1つの経路について、\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ収束しないことを示す。
  2. 変数\(x\)が点\(a\)に限りなく近づいていく2つの経路について、いずれの場合も\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ収束するが、それらの値が異なることを示す。

以下は、\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ収束しないような経路を特定するケースの具体例です。

例(スカラー場が収束しないことの証明)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{1}{xy}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=0\wedge y\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、変数\(\left( x,y\right) \)が以下の集合\begin{equation*}
\left\{ \left( x,y\right) \in X\ |\ x=y\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)に限りなく近づくとき、\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束しないことを示します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) &\Leftrightarrow &\left(
x,x\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \quad \because x=y \\
&\Leftrightarrow &x\rightarrow 0
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{1}{xy} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{xx}\quad \because x=y \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{x^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり、これは有限な実数ではありません。したがって、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。

以下は、\(f\left( x\right) \)が異なる有限な実数へ収束するような2つの経路を特定するケースの具体例です。

例(スカラー場が収束しないことの証明)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+3y^{4}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明します。まず、変数\(\left( x,y\right) \)が以下の集合\begin{equation*}
\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \ |\ x=y\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)に限りなく近づく場合の\(f\left( x,y\right) \)の極限について考えます。具体的には、\begin{eqnarray*}
\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) &\Leftrightarrow &\left(
x,x\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \quad \because x=y \\
&\Leftrightarrow &x\rightarrow 0
\end{eqnarray*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( \frac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+3y^{4}}\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{x^{2}x^{2}}{x^{4}+3x^{4}}\right) \quad
\because x=y \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{1}{4}\right) \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。続いて、変数\(\left( x,y\right) \)が以下の集合\begin{equation*}
\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \ |\ x=0\wedge
y\not=0\right\}
\end{equation*}上の点をとりながら\(\left( 0,0\right) \)に限りなく近づく場合の\(f\left( x,y\right) \)の極限について考えます。具体的には、\begin{equation*}
\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \Leftrightarrow y\rightarrow
0\quad \because x=0
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( \frac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+3y^{4}}\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}0\quad \because x=0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。2つの極限の値が異なるため、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。

 

点列を用いた方法

復習になりますが、スカラー場が有限な実数へ収束することは点列を用いて表現できます。具体的には、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)をつくります。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、スカラー場\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件です。この命題は、スカラー場が有限な実数へ収束しないことを示す際にも有用です。

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を適当に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。

例(スカラー場が収束しないことの証明)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{1}{xy}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=0\wedge y\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、以下の点列\begin{equation*}
\left\{ \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right\}
\end{equation*}に注目すると、この点列の任意の項は\(\left( 0,0\right) \)ではなく、さらに、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) =\left(
0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、数列\(f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) \)の極限に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{\frac{1}{v}\cdot \frac{1}{v}}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }v^{2} \\
&=&\infty
\end{eqnarray*}となり有限な実数へ収束しないため、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\left( x\right) \)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する2つの点列\(\{x_{v}\},\left\{ y_{v}\right\} \)を適当に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{v}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束するのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しません。

例(スカラー場が収束しないことの証明)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+3y^{4}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、以下の2つの点列\begin{eqnarray*}
&&\left\{ 0,\frac{1}{v}\right\} \\
&&\left\{ \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらの点列の任意の項は\(\left( 0,0\right) \)とは異なるとともに、極限に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 0,\frac{1}{v}\right) &=&\left( 0,0\right)
\\
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) &=&\left(
0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、数列\(\left\{ f\left( 0,\frac{1}{v}\right) \right\} \)の極限に関しては、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( 0,\frac{1}{v}\right) =\lim_{v\rightarrow
\infty }\frac{0^{2}\cdot \left( \frac{1}{v}\right) ^{2}}{0^{4}+3\cdot \left(
\frac{1}{v}\right) ^{4}}=\lim_{v\rightarrow \infty }0=0
\end{equation*}である一方で、数列\(\left\{ f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) \right\} \)の極限に関しては、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right)
=\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{\left( \frac{1}{v}\right) ^{2}\cdot \left(
\frac{1}{v}\right) ^{2}}{\left( \frac{1}{v}\right) ^{4}+3\cdot \left( \frac{1}{v}\right) ^{4}}=\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{\left( \frac{1}{v}\right)
^{4}}{4\left( \frac{1}{v}\right) ^{4}}=\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{4}=\frac{1}{4}
\end{equation*}となります。\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)と\(\left\{ f\left( y_{v}\right) \right\} \)は異なる極限へ収束することが示されたため、\(x\rightarrow 0\)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことが示されました。

 

極座標を用いた方法

復習になりますが、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数を\(r>0\)と\(0\leq \theta <2\pi \)を満たす\(\left( r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{equation*}
\left( x,y\right) =\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right)
\end{equation*}という形で極座標で表現したとき、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)が有限な実数へ収束することと、\(\theta \)の値に関係なく\(r\rightarrow 0\)のときに\(f\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) \)が有限な実数へ収束することは必要十分です。逆に言えば、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)が有限な実数へ収束しないことを示すためには以下を示せばよいということになります。

  1. ある\(\theta \)の値のもとでは、\(r\rightarrow 0\)のときに\(f\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) \)が有限な実数へ収束しないことを示す。
  2. 2つの\(\theta \)の値について、いずれの場合も\(r\rightarrow 0\)のときに\(f\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) \)が有限な実数へ収束するが、それらの値が異なることを示す。

以下は、\(f\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) \)が有限な実数へ収束しないような\(\theta \)の値を特定するケースの具体例です。

例(スカラー場が収束しないことの証明)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{1}{xy}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=0\wedge y\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、\(\theta =\frac{\pi }{4}\)の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{r\rightarrow 0}f\left( r\cos \left( \frac{\pi }{4}\right) ,r\sin
\left( \frac{\pi }{4}\right) \right) &=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{r\cos
\left( \frac{\pi }{4}\right) r\sin \left( \frac{\pi }{4}\right) }\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{2}{r^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり、これは有限な実数ではありません。したがって、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。

以下は、\(f\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) \)が異なる有限な実数へ収束するような\(\theta \)の2つの値を特定するケースの具体例です。

例(スカラー場が収束しないことの証明)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+3y^{4}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明します。まず、\(\theta =\frac{\pi }{4}\)の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{r\rightarrow 0}f\left( r\cos \left( \frac{\pi }{4}\right) ,r\sin
\left( \frac{\pi }{4}\right) \right) &=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^{2}\cos ^{2}\left( \frac{\pi }{4}\right) r^{2}\sin ^{2}\left( \frac{\pi }{4}\right) }{r^{4}\cos ^{4}\left( \frac{\pi }{4}\right) +3r^{4}\sin ^{4}\left(
\frac{\pi }{4}\right) }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{4} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}である一方、\(\theta =0\)の場合には、\begin{eqnarray*}
\lim_{r\rightarrow 0}f\left( r\cos \left( 0\right) ,r\sin \left( 0\right)
\right) &=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^{2}\cos ^{2}\left( 0\right)
r^{2}\sin ^{2}\left( 0\right) }{r^{4}\cos ^{4}\left( 0\right) +3r^{4}\sin
^{4}\left( 0\right) }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、2つの極限の値が異なるため、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことを証明してください。
解答を見る
プレミアム会員専用コンテンツです。下にあるフォームからログインすると内容が表示されます。

次回は定義域上の境界点など、スカラー場がその点の周辺の任意の点において定義されていない状況での極限を定義します。

質問・コメント(プレミアム会員限定) 次へ進む
Share on facebook
Share on twitter
Share on email

プレミアム会員だけが質問やコメントを投稿・閲覧できます。