多変数関数に関する中間値の定理
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。この関数は以下の3つの条件を満たすものとします。
1つ目の条件は、\(f\)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の連結集合であるということです。
2つ目の条件は、\(f\)が定義域\(X\)上で連続であるということです。
3つ目の条件は、定義域上の異なる2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)について、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}\right) \not=f\left( \boldsymbol{b}\right)
\end{equation*}が成り立つ状況を想定するということです。
以上の状況において、\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)と\(f\left( \boldsymbol{b}\right) \)の間にある実数を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} <z<\max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす実数\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。先の条件が満たされる場合には、そのような\(z\)に対して、以下の条件\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{c}\)が定義域\(X\)上に存在することが保証されます。これが多変数関数に関する中間値の定理（intermediate value theorem）です。
命題（多変数関数に関する中間値の定理）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の連結集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとする。さらに、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}\right) \not=f\left( \boldsymbol{b}\right)
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選ぶ。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} <z<\max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選ぶ。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} <z<\max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立つ。
自明なケースを取り込む形で、先の命題を以下のように表現することもできます。
命題（多変数関数に関する中間値の定理）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の連結集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとする。さらに、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}\right) \not=f\left( \boldsymbol{b}\right)
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選ぶ。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} \leq z\leq \max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left(
\boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選ぶ。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} \leq z\leq \max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left(
\boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立つ。
例（1変数に関する中間値の定理）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上で連続であり、なおかつ\(f\left( a\right)\not=f\left( b\right) \)が成り立つものとします。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right\} \leq z\leq \max
\left\{ f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(\mathbb{R} \)上において区間と連結集合は概念として一致するため、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の連結集合です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in \left[ a,b\right] :f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立ちますが、これは1変数関数に関する中間値の定理の主張に他なりません。したがって、多変数関数に関する先の命題は、1変数関数に関する中間値の定理の一般化であることが明らかになりました。このような事情を踏まえた上で、多変数関数に関する先の命題を中間値の定理と呼びました。
\left\{ f\left( a\right) ,f\left( b\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(\mathbb{R} \)上において区間と連結集合は概念として一致するため、\(\left[ a,b\right] \)は\(\mathbb{R} \)上の連結集合です。したがって先の命題より、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in \left[ a,b\right] :f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立ちますが、これは1変数関数に関する中間値の定理の主張に他なりません。したがって、多変数関数に関する先の命題は、1変数関数に関する中間値の定理の一般化であることが明らかになりました。このような事情を踏まえた上で、多変数関数に関する先の命題を中間値の定理と呼びました。
例（中間値の定理の一般化）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の弧状連結集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとします。さらに、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}\right) \not=f\left( \boldsymbol{b}\right)
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選びます。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} <z<\max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。弧状連結集合は連結集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、先の命題において「連結集合」を「弧状連結集合」に入れ替えることにより得られる主張もまた成り立ちます。
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選びます。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} <z<\max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。弧状連結集合は連結集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、先の命題において「連結集合」を「弧状連結集合」に入れ替えることにより得られる主張もまた成り立ちます。
例（多変数関数に関する中間値の定理）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( x^{2}+y^{2}\right) +2xy
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 4\right\}
\end{equation*}です。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}は\(X\)上に解を持つでしょうか。つまり、\begin{equation*}\exists \left( x,y\right) \in X:f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}は成り立つでしょうか。\(X\)は原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(2\)の円盤であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合です。また\(f\)は\(X\)上の連続関数です。点\(\left( 0,0\right) \in X\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =\cos \left( 0\right) +0=1
\end{equation*}が成り立ち、点\(\left( \sqrt{2},0\right) \in X\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( \sqrt{2},0\right) =\cos \left( 2\right) \approx -0.416
\end{equation*}が成り立つため、\(f\left(0,0\right) \not=f\left( \sqrt{2},0\right) \)であるとともに、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) \leq 1\leq f\left( \sqrt{2},0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって先の命題より、\begin{equation*}
\exists \left( x,y\right) \in X:f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 4\right\}
\end{equation*}です。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}は\(X\)上に解を持つでしょうか。つまり、\begin{equation*}\exists \left( x,y\right) \in X:f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}は成り立つでしょうか。\(X\)は原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(2\)の円盤であるため\(\mathbb{R} ^{2}\)上の連結集合です。また\(f\)は\(X\)上の連続関数です。点\(\left( 0,0\right) \in X\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =\cos \left( 0\right) +0=1
\end{equation*}が成り立ち、点\(\left( \sqrt{2},0\right) \in X\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( \sqrt{2},0\right) =\cos \left( 2\right) \approx -0.416
\end{equation*}が成り立つため、\(f\left(0,0\right) \not=f\left( \sqrt{2},0\right) \)であるとともに、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) \leq 1\leq f\left( \sqrt{2},0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって先の命題より、\begin{equation*}
\exists \left( x,y\right) \in X:f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。
中間値の定理が要求する条件の吟味
多変数関数に関する中間値の定理は、関数の定義域が連結集合であることを要求しています。定義域が連結集合ではない場合には何らかの問題が生じるのでしょうか。
例（定義域が連結集合ではない場合）
以下の2つの集合\begin{eqnarray*}
X_{1} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x+3\right) ^{2}+y^{2}<1\right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-3\right) ^{2}+y^{2}<1\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。\(X_{1}\)は点\(\left( -3,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の開円盤であり、\(X_{2}\)は点\(\left( 3,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の開円盤であるため、\(X_{1}\)と\(X_{2}\)は互いに素です。したがって、これらの和集合\begin{equation*}X=X_{1}\cup X_{2}
\end{equation*}は連結集合ではありません。その上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in X_{1}\right) \\
1 & \left( if\ \left( x,y\right) \in X_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)は\(X_{1}\)上および\(X_{2}\)上で連続ですが、\(X_{1}\)と\(X_{2}\)は互いに素であるため\(f\)は\(X\)上で連続です。その一方で、\(X\)は連結集合ではないため、中間値の定理が要求する条件は満たされません。点\(\left( -3,0\right) \in X_{1}\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( -3,0\right) =0
\end{equation*}が成り立ち、点\(\left( 3,0\right)\in X_{2}\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( 3,0\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。\(f\left(-3,0\right) \not=f\left( 3,0\right) \)です。さらに、\begin{equation*}f\left( -3,0\right) \leq \frac{1}{2}\leq f\left( 3,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\(f\)は\(0\)または\(1\)だけを値としてとり得るため、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in X:f\left( x,y\right) \not=\frac{1}{2}
\end{equation*}であり、ゆえに中間値の定理の主張は成り立ちません。
X_{1} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x+3\right) ^{2}+y^{2}<1\right\} \\
X_{2} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-3\right) ^{2}+y^{2}<1\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。\(X_{1}\)は点\(\left( -3,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の開円盤であり、\(X_{2}\)は点\(\left( 3,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の開円盤であるため、\(X_{1}\)と\(X_{2}\)は互いに素です。したがって、これらの和集合\begin{equation*}X=X_{1}\cup X_{2}
\end{equation*}は連結集合ではありません。その上で、それぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \in X_{1}\right) \\
1 & \left( if\ \left( x,y\right) \in X_{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)は\(X_{1}\)上および\(X_{2}\)上で連続ですが、\(X_{1}\)と\(X_{2}\)は互いに素であるため\(f\)は\(X\)上で連続です。その一方で、\(X\)は連結集合ではないため、中間値の定理が要求する条件は満たされません。点\(\left( -3,0\right) \in X_{1}\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( -3,0\right) =0
\end{equation*}が成り立ち、点\(\left( 3,0\right)\in X_{2}\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( 3,0\right) =1
\end{equation*}が成り立ちます。\(f\left(-3,0\right) \not=f\left( 3,0\right) \)です。さらに、\begin{equation*}f\left( -3,0\right) \leq \frac{1}{2}\leq f\left( 3,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\(f\)は\(0\)または\(1\)だけを値としてとり得るため、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in X:f\left( x,y\right) \not=\frac{1}{2}
\end{equation*}であり、ゆえに中間値の定理の主張は成り立ちません。
多変数関数に関する中間値の定理は、関数が連続であることを要求しています。関数が連続ではない場合には何らかの問題が生じるのでしょうか。
例（関数が連続ではない場合）
以下の集合\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}を定義します。これは原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の円盤であるため連結集合です。関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
2 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right) \\
x^{2}+y^{2} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( 0,0\right) \in X\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left(
x^{2}+y^{2}\right) \quad \because \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\\
&=&0+0 \\
&=&0 \\
&\not=&2 \\
&=&f\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。点\(\left( \frac{1}{2},0\right) \in X\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( \frac{1}{2},0\right) =\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}
\end{equation*}が成り立ち、点\(\left( 0,0\right)\in X\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =2
\end{equation*}が成り立ちます。\(f\left( \frac{1}{2},0\right) \not=f\left( 0,0\right) \)です。さらに、\begin{equation*}f\left( \frac{1}{2},0\right) \leq \frac{3}{2}\leq f\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ 2\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x^{2}+y^{2}\leq 1\wedge \left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\right\} \cup \left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x^{2}+y^{2}\leq 1\wedge \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right\} \\
&=&\left\{ 2\right\} \cup (0,1] \end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in X:f\left( x,y\right) \not=\frac{3}{2}
\end{equation*}であり、ゆえに中間値の定理の主張は成り立ちません。
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}を定義します。これは原点\(\left( 0,0\right) \)を中心とする半径\(1\)の円盤であるため連結集合です。関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
2 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right) \\
x^{2}+y^{2} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( 0,0\right) \in X\)について、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left(
x^{2}+y^{2}\right) \quad \because \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\\
&=&0+0 \\
&=&0 \\
&\not=&2 \\
&=&f\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではありません。点\(\left( \frac{1}{2},0\right) \in X\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( \frac{1}{2},0\right) =\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}
\end{equation*}が成り立ち、点\(\left( 0,0\right)\in X\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =2
\end{equation*}が成り立ちます。\(f\left( \frac{1}{2},0\right) \not=f\left( 0,0\right) \)です。さらに、\begin{equation*}f\left( \frac{1}{2},0\right) \leq \frac{3}{2}\leq f\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{eqnarray*}
f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x,y\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ 2\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x^{2}+y^{2}\leq 1\wedge \left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\right\} \cup \left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x^{2}+y^{2}\leq 1\wedge \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right\} \\
&=&\left\{ 2\right\} \cup (0,1] \end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\forall \left( x,y\right) \in X:f\left( x,y\right) \not=\frac{3}{2}
\end{equation*}であり、ゆえに中間値の定理の主張は成り立ちません。
多変数関数に関するボルツァーノの定理
連結集合上に定義された連続な多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況において、2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)について、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot f\left( \boldsymbol{b}\right) <0
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、\(f\left( \boldsymbol{a}\right) \)と\(f\left( \boldsymbol{b}\right) \)はともに非ゼロであるとともに、両者の符号が異なるということです。\(f\left( \boldsymbol{a}\right) <0<f\left( \boldsymbol{b}\right) \)の場合には中間値の定理より、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立ち、\(f\left( \boldsymbol{b}\right) <0<f\left( \boldsymbol{a}\right) \)の場合にも中間値の定理より、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。以上が多変数関数に関するボルツァーノの定理（Bolzano theorem）です。
命題（多変数関数に関するボルツァーノの定理）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の連結集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとする。さらに、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot f\left( \boldsymbol{b}\right) <0
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
例（ボルツァーノの定理の一般化）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の弧状連結集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとします。さらに、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot f\left( \boldsymbol{b}\right) <0
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選びます。弧状連結集合は連結集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、先の命題において「連結集合」を「弧状連結集合」に入れ替えることにより得られる主張もまた成り立ちます。
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選びます。弧状連結集合は連結集合であるため、先の命題より、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、先の命題において「連結集合」を「弧状連結集合」に入れ替えることにより得られる主張もまた成り立ちます。
例（多変数関数に関するボルツァーノの定理）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x-y
\end{equation*}を定めるものとします。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)上に解を持つでしょうか。つまり、\begin{equation*}\exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}は成り立つでしょうか。\(\mathbb{R} ^{2}\)は連結集合であるとともに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。点\(\left(1,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( 1,0\right) =1-0=1
\end{equation*}が成り立ち、点\(\left( 0,1\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( 0,1\right) =0-1=-1
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
f\left( 1,0\right) \cdot f\left( 0,1\right) =-1<0
\end{equation*}を得ます。したがって、先の命題より、\begin{equation*}
\exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\(x=y\)を満たす任意の点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)は方程式\(f\left( x,y\right) =0\)の解です。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{2}\)上に解を持つでしょうか。つまり、\begin{equation*}\exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}は成り立つでしょうか。\(\mathbb{R} ^{2}\)は連結集合であるとともに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。点\(\left(1,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( 1,0\right) =1-0=1
\end{equation*}が成り立ち、点\(\left( 0,1\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に注目すると、\begin{equation*}f\left( 0,1\right) =0-1=-1
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
f\left( 1,0\right) \cdot f\left( 0,1\right) =-1<0
\end{equation*}を得ます。したがって、先の命題より、\begin{equation*}
\exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\(x=y\)を満たす任意の点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)は方程式\(f\left( x,y\right) =0\)の解です。
中間値の定理やボルツァーノの定理を用いて方程式に解が存在するか判定する
先に例を通じて確認したように、中間値の定理やボルツァーノの定理を使えば方程式に解が存在することを検討できます。
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定数\(z\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation}f\left( \boldsymbol{x}\right) =z \quad \cdots (1)
\end{equation}に解が存在するかを判定しようとしている状況を想定します。以下の条件\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{a}\right) \leq z\leq f\left( \boldsymbol{b}\right)
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を適当に選んだ上で、さらに\(X\)が連結かつ\(f\)が連続であることを示せば、中間値の定理より、方程式\(\left( 1\right) \)は\(X\)上に解を持つことが保証されます。ただ、中間値の定理は方程式に解が存在することを保証してくれる一方で、解を具体的に特定してくれるわけではありません。
ボルツァーノの定理についても同様です。つまり、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation}f\left( \boldsymbol{x}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}に解が存在するかを判定しようとしている状況を想定します。以下の条件\begin{equation*}
f\left( \boldsymbol{a}\right) \cdot f\left( \boldsymbol{b}\right) <0
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を適当に選んだ上で、さらに\(X\)が連結かつ\(f\)が連続であることを示せば、ボルツァーノの定理より、方程式\(\left( 2\right) \)は\(X\)上に解を持つことが保証されます。ただ、ボルツァーノの定理は方程式に解が存在することを保証してくれる一方で、解を具体的に特定してくれるわけではありません。
中間値の定理の代替的な表現
連続な多変数関数による連結集合の像は連結集合になることを以前に示しましたが、実は、この命題は先に示した中間値の定理から導出可能です。
命題（中間値の定理の代替的な表現）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の連結集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとする。さらに、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}\right) \not=f\left( \boldsymbol{b}\right)
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選ぶ。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} <z<\max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立つ。以上を踏まえたとき、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上の連結集合であることが導かれる。
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選ぶ。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} <z<\max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立つ。以上を踏まえたとき、\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上の連結集合であることが導かれる。
実は、逆の主張もまた成り立ちます。つまり、連続な多変数関数による連結集合の像が連結集合であるという命題から中間値の定理が導出可能です。
命題（中間値の定理の代替的な表現）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の連結集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとする。さらに、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}\right) \not=f\left( \boldsymbol{b}\right)
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選ぶ。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} <z<\max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の連結集合であることを踏まえると、このとき、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立つことが導かれる。
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選ぶ。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} <z<\max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。\(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の連結集合であることを踏まえると、このとき、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立つことが導かれる。
以上の2つの命題より、連続な多変数関数による連結集合の像は連結集合であるという命題と中間値の定理が必要十分であることが明らかになりました。
命題（中間値の定理の代替的な表現）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の連結集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとする。このとき、以下の2つの命題は必要十分である。
- \(f\)による\(X\)の像\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{x}\in X\right\} \end{equation*}は\(\mathbb{R} \)上の連結集合である。
- 以下の条件\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}\right) \not=f\left( \boldsymbol{b}\right)
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選ぶ。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} <z<\max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
問題（方程式の解の存在証明）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =e^{x}-y^{2}-2
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}の解は\(X\)上に存在するでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}
\end{equation*}です。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}の解は\(X\)上に存在するでしょうか。議論してください。
問題（方程式の解の存在証明）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( \pi x\right) \cos \left( \pi y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}です。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}の解は\(X\)上に存在するでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}です。以下の方程式\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}の解は\(X\)上に存在するでしょうか。議論してください。
問題（中間値の定理が要求する条件）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}<1\right\} \cup \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-4\right) ^{2}+y^{2}<1\right\}
\end{equation*}です。点\(\left( 0,0\right) ,\left( 4,0\right) \in X\)について、\begin{eqnarray*}f\left( 0,0\right) &=&0 \\
f\left( 4,0\right) &=&4
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
f\left( 0,0\right) \leq 2\leq f\left( 4,0\right)
\end{equation*}を得ます。その上で、方程式\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =2
\end{equation*}の解が\(X\)上に存在することを保証できるか考察し、中間値の定理が適用できない理由を説明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}<1\right\} \cup \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-4\right) ^{2}+y^{2}<1\right\}
\end{equation*}です。点\(\left( 0,0\right) ,\left( 4,0\right) \in X\)について、\begin{eqnarray*}f\left( 0,0\right) &=&0 \\
f\left( 4,0\right) &=&4
\end{eqnarray*}が成り立つため、\begin{equation*}
f\left( 0,0\right) \leq 2\leq f\left( 4,0\right)
\end{equation*}を得ます。その上で、方程式\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =2
\end{equation*}の解が\(X\)上に存在することを保証できるか考察し、中間値の定理が適用できない理由を説明してください。
問題（中間値の定理）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の連結集合であり、\(f\)は\(X\)上で連続であるものとします。さらに、\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{a}\right) \not=f\left( \boldsymbol{b}\right)
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選びます。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} <z<\max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立つことは先に示した通りです。弧状連結集合は連結集合であるため、\(X\)が弧状連結集合である場合にも同様の主張が成り立ちますが、そのことを弧状連結集合の定義にもとづいて証明してください。
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in X\)を任意に選びます。その上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right)
\right\} <z<\max \left\{ f\left( \boldsymbol{a}\right) ,f\left( \boldsymbol{b}\right) \right\}
\end{equation*}を満たす\(z\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\exists \boldsymbol{c}\in X:f\left( \boldsymbol{c}\right) =z
\end{equation*}が成り立つことは先に示した通りです。弧状連結集合は連結集合であるため、\(X\)が弧状連結集合である場合にも同様の主張が成り立ちますが、そのことを弧状連結集合の定義にもとづいて証明してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】