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特定の変数に関する恒等関数の極限

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特定の変数に関する恒等関数

関数\(f:\mathbb{R}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が恒等関数であることとは、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めることを意味します。つまり、恒等関数とは入力した値をそのまま返す関数です。一方、スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)は変数\(x\)が\(n\)次元ベクトルである一方で値\(f\left( x\right) \)は実数であるため、入力した値をそのまま返すようなスカラー場というものを定義することはできません。ただ、特定の変数\(x_{k}\)に注目した上で、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を返すようなスカラー場を考えることができます。便宜上、このようなスカラー場\(f\)を変数\(x_{k}\)に関する恒等関数と呼ぶこととします。

例(特定の変数に関する恒等関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるのであれば、これは変数\(x\)に関する恒等関数です。また、スカラー場\(g:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =y
\end{equation*}を定めるのであれば、これは変数\(y\)に関する恒等関数です。

 

特定の変数に関する恒等関数の極限

スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が変数\(x_{k}\)に関する恒等関数であるものとします。つまり、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるということです。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R}^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するかどうかを検討できますが、\(f\)は入力した値\(x\)に対して\(x_{k}\)を返すことを踏まえると、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときには\(a_{k}\)へ収束しそうです。実際、これは正しい主張です。

命題(特定の変数に関する恒等関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R}\)の周辺にある任意の点において定義されているとき、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a_{k}
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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例(特定の変数に関する恒等関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =y
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }y=0 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,1\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,1\right) }y=1 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,0\right) }y=0 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }y=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

応用例

先の命題と連続関数の性質を利用すると、より広範なスカラー場の極限を容易に求められます。

例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation}
f\left( x,y\right) =\cos x \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するでしょうか。先の命題より、スカラー場\(x\)に関しては、\begin{equation}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x=a \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ここで重要なことは余弦関数\(\cos \)が定義域\(\mathbb{R}\)で連続であるという事実です。したがって、余弦関数\(\cos \)は上の点\(a\)においても連続であるため、連続性の定義より、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}\left( \cos x\right) =\cos a \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{x\rightarrow a}\cos x\quad \because \left( 1\right) ,\left(
2\right) \\
&=&\cos a\quad \because \left( 2\right) \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}という関係を得ます。つまり、問題としているスカラー場\(f\left( x,y\right) \)の変数\(\left( x,y\right) \)に\(\left( a,b\right) \)を代入して値\(f\left( a,b\right) \)を求めれば、それが\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときの\(f\)の極限と一致することが保証されます。
例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation}
f\left( x,y\right) =\sqrt{y} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束するでしょうか。スカラー場\(y\)に関しては、\begin{equation}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }y=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つとともに、平方根関数は点\(1\)において連続であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right)
&=&f\left( 1,1\right) \\
&=&\sqrt{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(特定の変数に関する恒等関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)について、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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問題(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}_{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\ln x
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,3\right) \)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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次回は収束するスカラー場の定数倍として定義されるスカラー場もまた収束することを示します。

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