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ノルム関数の極限

ノルム関数\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について考えます。\(\left\Vert x \right\Vert \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、そこでの極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert x\right\Vert =\left\Vert a\right\Vert
\end{equation*}となります。

命題(ノルム関数の極限)
ノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert x\right\Vert =\left\Vert a\right\Vert
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(ノルム関数の極限)
ノルム関数は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義可能であるため、関数\(\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(\mathbb{R} ^{n}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(\left\Vert x\right\Vert \)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているため、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert x\right\Vert =\left\Vert a\right\Vert
\end{equation*}が成り立ちます。

 

ベクトル値関数とノルム関数の合成関数の極限

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その値域はノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合であるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\left\Vert f\left( x\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right\Vert
\\
&=&\sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +\left[ f_{n}\left(
x\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{i}\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を定める合成関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)はベクトル値関数\(f\)の成分関数です。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに有限な点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つということです。\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)ゆえにノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(b\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、ノルム関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}\left\Vert x\right\Vert =\left\Vert b\right\Vert
\end{equation*}を得ます。すると、ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の極限より、合成関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert
f\left( x\right) \right\Vert \quad \because g\text{の定義}
\\
&=&\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\Vert \quad
\because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left\Vert b\right\Vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(ベクトル値関数とノルム関数の合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert \left( x+1,x^{2}+1\right) \right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数\(\left( x+1,x^{2}+1\right) \)とノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert \)の合成関数です。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(\left(x+1,x^{2}+1\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点に収束するため、合成関数の極限より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert
\left( x+1,x^{2}+1\right) \right\Vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}\left( x+1,x^{2}+1\right) \right\Vert
\quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left\Vert \left( \lim_{x\rightarrow a}\left( x+1\right)
,\lim_{x\rightarrow a}\left( x^{2}+1\right) \right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( a+1,a^{2}+1\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{\left( a+1\right) ^{2}+\left( a^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because
\text{ノルムの定義}
\end{eqnarray*}を得ます。

無限大における極限についても同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つということです。\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)ゆえにノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(b\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、ノルム関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}\left\Vert x\right\Vert =\left\Vert b\right\Vert
\end{equation*}を得ます。すると、ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の極限より、合成関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left\Vert f\left( x\right) \right\Vert \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left\Vert \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \right\Vert \quad
\because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left\Vert b\right\Vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(x\rightarrow -\infty \)の場合の極限についても同様です。

例(ベクトル値関数とノルム関数の合成関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert \left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right)
\right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数\(\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \)とノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert \)の合成関数です。\(x\rightarrow +\infty \)のときに\(\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点に収束するため、合成関数の極限より、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left\Vert \left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \right\Vert \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left\Vert \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x^{2}}\right) \right\Vert \quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left\Vert \left( \lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x}\right)
,\lim_{x\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{x^{2}}\right) \right)
\right\Vert \\
&=&\left\Vert \left( 0,0\right) \right\Vert \\
&=&\sqrt{0^{2}+0^{2}}\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得ます。

 

演習問題

問題(ノルム関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert \left( \frac{x-1}{x+1},\frac{e^{x}-1}{x},2x^{2}-\pi \right) \right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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問題(ノルム関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert \left( \sin \left( \frac{1}{x}\right) ,\cos
\left( \frac{1}{x}\right) \right) \right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow +\infty \)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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