ノルム関数の極限

ノルム関数の極限

ノルム関数\begin{equation*}
\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}について考えます。\(\left\Vert x \right\Vert \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するとともに、そこでの極限は、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert x\right\Vert =\left\Vert a\right\Vert
\end{equation*}となります。

ベクトル値関数とノルム関数の合成関数の極限

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その値域はノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合であるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\left\Vert f\left( x\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right\Vert
\\
&=&\sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +\left[ f_{n}\left(
x\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{i}\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を定める合成関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)はベクトル値関数\(f\)の成分関数です。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに有限な点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つということです。\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)ゆえにノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(b\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、ノルム関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}\left\Vert x\right\Vert =\left\Vert b\right\Vert
\end{equation*}を得ます。すると、ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の極限より、合成関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left\Vert
f\left( x\right) \right\Vert \quad \because g\text{の定義}
\\
&=&\left\Vert \lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\Vert \quad
\because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left\Vert b\right\Vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

無限大における極限についても同様の議論が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が限りなく大きい任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow +\infty \)のときに有限な点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =b\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つということです。\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)ゆえにノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は点\(b\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、ノルム関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}\left\Vert x\right\Vert =\left\Vert b\right\Vert
\end{equation*}を得ます。すると、ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の極限より、合成関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow +\infty
}\left\Vert f\left( x\right) \right\Vert \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left\Vert \lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) \right\Vert \quad
\because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left\Vert b\right\Vert
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(x\rightarrow -\infty \)の場合の極限についても同様です。

演習問題