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スカラー場(多変数関数)の極限

目次

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スカラー場の極限

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺にある任意の点において定義されているものとします。その一方で、\(f\)は点\(a\)において定義されていてもいなくても、どちらでも構いません。このような点\(a\)を議論の対象とする理由については後述します。いずれにせよ、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に限りなく近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のとき }f\left( x\right) \rightarrow
b
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限(limit)と呼びます。

スカラー場の収束に関して厳密な議論を行うためには、関数の収束の場合と同様、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくと言うためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入したとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のユークリッド距離\(d\)のもとで、\begin{equation*}0<d\left( x,a\right) <\delta
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0<\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right)\rightarrow b\)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づくと言うためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つならば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)であることは、以上のような2つの実数\(\varepsilon ,\delta \)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す値\(\varepsilon \)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つのであれば、点\(a\)に十分近くなおかつ\(a\)とは異なる任意の点\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。つまり、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<d\left( x,a\right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(
x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)となる場合には、最初に設定する\(\varepsilon \)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つ限りにおいて、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert
f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。そこで、以上の論理式によって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義とします。つまり、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)において実数\(b\in \mathbb{R} \)に収束することの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

以上の定義を踏まえた上で、スカラー場が収束することを示してみましょう。

例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left( 0<d\left( \left( x,y\right) ,\left( 0,0\right) \right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x,y\right) -0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left( 0<\sqrt{\left( x-0\right) ^{2}+\left( y-0\right) ^{2}}<\delta
\Rightarrow \left\vert xy-0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left( 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert xy\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\sqrt{\varepsilon }>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}
0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert xy\right\vert &=&\left\vert x\right\vert \left\vert y\right\vert
\\
&=&\sqrt{x^{2}}\sqrt{y^{2}} \\
&\leq &\sqrt{x^{2}+y^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
&<&\delta \cdot \delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\sqrt{\varepsilon }\cdot \sqrt{\varepsilon }\quad \because \left(
1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} :\left( 0<d\left( \left(
x,y\right) ,\left( 0,0\right) \right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left(
x,y\right) -0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} :\left( 0<\sqrt{\left(
x-0\right) ^{2}+\left( y-0\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}-0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} :\left( 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}
0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right\vert &=&\left\vert x\right\vert
\left\vert \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right\vert \\
&\leq &\left\vert x\right\vert \cdot 1 \\
&=&\left\vert x\right\vert \\
&=&\sqrt{x^{2}} \\
&\leq &\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
&<&\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

例(スカラー場の極限)
1変数のスカラー場\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は実変数関数に他なりません。点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、このスカラー場\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに\(b\)へ収束することの定義に他なりません。したがって、スカラー場の極限は関数の極限の一般化です。

 

変数が限りなく近づく点に関する注意

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ収束するかどうかを検討するためには、そもそも\(f\)は点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されている必要があります。なぜなら、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することとは、\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left(x\right) \)の値がある有限な実数\(b\)に限りなく近づくことを意味するのであり、仮に\(f\)が点\(a\)の周辺の点において定義されていない場合、「\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づく」という状況を作ることさえできないからです。

もう少し厳密に議論をしましょう。\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない状況の具体例として、\(a\)が\(f\)の定義域\(X\)の孤立点であるような場合が考えられます。\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\begin{equation}\exists \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X=\left\{ a\right\}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( a\right) \)は点\(a\)を中心とする半径\(\delta \)の近傍であり、\begin{equation*}N_{\delta }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\delta \right\}
\end{equation*}と定義されます。つまり\(\left( 1\right) \)は、点\(a\)を中心とする近傍の中に点\(a\)以外の\(X\)の点を要素として持たないものが存在することを意味します。この場合、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するでしょうか。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)を選ぶと、そもそも\(d\left( x,a\right) <\delta \)を満たす\(X\)の要素\(x\)は存在しないため、\begin{equation}d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \quad \cdots (2)
\end{equation}という主張の前提\(d\left(x,a\right) <\delta \)は常に偽になり、したがって\(\left( 2\right) \)全体は真になってしまいます。これは\(b\)としてどのような実数を選んだ場合にも同様です。つまり、イプシロン・デルタ論法によるスカラー場の極限の定義を踏まえたとき、\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)は任意の実数に限りなく近づくことになってしまいます。これではスカラー場の極限の定義として破綻しています。したがって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限の実数へ収束するかどうかを検討する際には、\(a\)が\(f\)の定義域の孤立点である状況をあらかじめ排除しておく必要があります。

「スカラー場\(f\)が点\(a\)の周辺にある任意の点において定義されている」という表現が曖昧で気に入らなければ、これを「点\(a\)はスカラー場\(f\)の定義域の集積点である」と言い換えることもできます。スカラー場\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(X\)の集積点であることとは、点\(a\)の任意の近傍が点\(a\)とは異なる\(X\)の要素を持つこと、すなわち、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap \left( X\backslash \left\{
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。点\(a\)に限りなく近い点\(x\)を任意に選ぶと、これは\(x\in N_{\delta}\left( a\right) \)を満たします。上の定義より任意の\(\delta \)について\(N_{\delta }\left( a\right) \)と\(X\backslash \left\{ a\right\} \)は交わるため、十分小さい\(\delta \)を選べば\(x\in X\)となり、したがって\(f\)が点\(x\)において定義されていることが保証されます。ちなみに、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(a\not\in X\)が成り立つ場合には\(X\backslash \left\{ a\right\} =X\)となるため、上の定義を、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X\not=\phi
\end{equation*}と言い換えることができます。これは点\(a\)が\(X\)の触点であることの定義に他なりません。この場合にも、点\(a\)に限りなく近い点\(x\)を任意に選ぶと、先と同様の理由により、\(x\in X\)となることが保証されます。

 

スカラー場の極限の一意性

スカラー場が有限な実数へ収束するとき、その極限は常に一意的です。

命題(スカラー場の極限の一意性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)に関して極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)が存在する場合、それは一意的である。
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演習問題

問題(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

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問題(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =2x-y+5z
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,2,3\right) }f\left(
x,y,z\right) =15
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

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イプシロン・デルタ論法を用いてスカラー場が収束することを証明するのは大変です。そこで次回は点列を用いてスカラー場が収束することを示す方法について解説します。

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