多変数関数の極限
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を議論の対象とします。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。\(f\)はこの点\(a\)において定義されている必要はありませんが、点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。このような点を議論の対象とする理由については後述します。
関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されているのであれば、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b \)へ収束する（converge）と言い、そのことを、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のとき }f\left( x\right) \rightarrow
b
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限（limit）と呼びます。
多変数関数の収束に関して厳密な議論を行うためには、1変数関数の収束の場合と同様、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。
まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入します。その上で、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のユークリッド距離\(d\)のもとで、\begin{equation*}0<d\left( x,a\right) <\delta
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0<\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\delta
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right)\rightarrow b\)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)の値が\(b\)に限りなく近づいていく様子を表現するためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入します。その上で、\begin{equation*}\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つのであれば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right)\rightarrow b\)であることは、以上のような2つの実数\(\varepsilon ,\delta \)の関係として表現することになります。
具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す値\(\varepsilon \)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つのであれば、点\(a\)に十分近くなおかつ\(a\)とは異なる任意の点\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。つまり、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<d\left( x,a\right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(
x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)となる場合には、最初に設定する\(\varepsilon \)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つ限りにおいて、点\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert
f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。以上の論理式によって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義とします。
以上の論理式中の条件\(0<d\left( x,a\right) <\delta \)を満たすそれぞれの\(x\in X\)は点\(a\)を中心とする近傍に属する点であり、その近傍内での\(x\)の位置は指定されていません。\(\delta \)が小さくなるにつれて近傍は小さくなっていきますが、それぞれの近傍内での\(x\)の位置は指定されていないため、上の論理式は、\(x\)が\(a\)に限りなく近づいていく際にあらゆる経路を通り得ることを認めた表現になっています。
結論をまとめましょう。多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味しますが、そのことを厳密に定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}になるということです。実際の運用では、変数\(x\)を近づける先の点\(a\)が与えられたとき、\(f\left( x\right) \)の極限の候補となる何らかの実数\(b\)を具体的に設定した上で、それに対して上の論理式が成り立つことを示すことが目標になります。極限の候補\(b\)を特定する方法については後述します。
}f\left( x_{1},x_{2}\right) =b
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow \left( a_{1},a_{2}\right) \text{のときに}f\left( x_{1},x_{2}\right) \rightarrow b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left(
x_{1},x_{2}\right) \in X:\left( 0<\sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right)
^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert f\left(
x_{1},x_{2}\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left( 0<\sqrt{\left( x-0\right) ^{2}+\left( y-0\right) ^{2}}<\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x,y\right) -0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left( 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert
xy-0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left( 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert xy\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\sqrt{\varepsilon }>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}
0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert xy\right\vert &=&\left\vert x\right\vert \left\vert y\right\vert
\\
&=&\sqrt{x^{2}}\sqrt{y^{2}} \\
&\leq &\sqrt{x^{2}+y^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
&<&\delta \cdot \delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\sqrt{\varepsilon }\cdot \sqrt{\varepsilon }\quad \because \left( 1\right)
\\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。これを厳密に表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} :\left( 0<d\left( \left(
x,y\right) ,\left( 0,0\right) \right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left(
x,y\right) -0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} :\left( 0<\sqrt{\left(
x-0\right) ^{2}+\left( y-0\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}-0\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} :\left( 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。これを示すことが目標です。実際、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation}\delta =\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を選ぶことができ、その上で、\begin{equation}
0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす任意の\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right\vert &=&\left\vert x\right\vert
\left\vert \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right\vert \\
&\leq &\left\vert x\right\vert \cdot 1 \\
&=&\left\vert x\right\vert \\
&=&\sqrt{x^{2}} \\
&\leq &\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
&<&\delta \quad \because \left( 2\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
x\rightarrow x\text{のときに}f\left( x\right)
\rightarrow b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されますが、これは1変数関数の極限の定義に他なりません。つまり、多変数関数の極限は1変数関数の極限の一般化です。
変数の近づき方に関する注意
繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)について\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つこととは、\(f\)の変数\(x \)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことが保証されていることを意味し、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。点\(a\)は\(f\)の定義域\(X\)の要素でもそうでなくてもどちらでも構いません。また、変数\(x\)が点\(a\)に近づいていく経路は問いませんが、\(x\)が点\(a \)へ近づいていく過程において任意の\(x\)は\(f\)の定義域\(X\)に属してなければならず、なおかつ\(x\)は\(a\)とは異なる点でなければなりません。上の論理式中の\(0<d\left( x,a\right) \)は\(x\)が\(a\)とは異なる点であることを踏まえた条件になっています。では、上の定義において\(0<d\left(x,a\right) \)という条件を外すと何が起こるでしょうか。すなわち、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義として、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}を採用すると何らかの問題が発生するのでしょうか。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=a\right) \\
1 & \left( if\ x\not=a\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)は有限な実数へ収束するでしょうか。収束関数の本来の定義\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( 0<d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left(
x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を採用した場合、\begin{equation}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}であることが示されます（演習問題）。その一方で、収束関数の定義として、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left(
x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を採用した場合には\(\left( 1\right) \)は成り立ちません。つまり、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left(
x\right) -1\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}は成り立ちません。実際、この場合には、\(x\)が\(a\)へ限りなく近づく際に\(x=a\)となる可能性が排除されておらず、さらに\begin{equation*}\left\vert f\left( a\right) -1\right\vert =\left\vert 0-1\right\vert =1>0
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left\vert f\left( a\right) -1\right\vert >\varepsilon >0
\end{equation*}を満たす\(\varepsilon \)をとることができ、それに対して、\begin{equation*}\forall \delta >0,\ \exists a\in \mathbb{R} ^{n}:\left( |a-a|<\delta \wedge \left\vert f\left( a\right) -1\right\vert
>\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つため\(\left( 1\right) \)は偽になります。このような例を踏まえると、収束関数の定義において\(0<d\left( x,a\right) \)という条件を外すことはできません。
変数が限りなく近づく点に関する注意
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)が有限な実数へ収束するか検討するためには、そもそも\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている必要があります。なぜなら、\(f\left( x\right) \)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することとは、変数\(x\)を点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づける場合、\(x\)がどのような経路をたどって点\(a\)へ近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)の値が必ず有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことを意味するのであり、仮に\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない場合、\(x\)を点\(a\)へ限りなく近づけることができなかったり、\(x\)が点\(a\)へ近づいていく際の経路が限定されてしまうからです。
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( a\right) \)は点\(a\)を中心とする半径\(\delta \)の近傍であり、\begin{equation*}N_{\delta }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\delta \right\}
\end{equation*}と定義されます。つまり\(\left( 1\right) \)は、点\(a\)を中心とする近傍の中に点\(a\)以外の\(X\)の点を要素として持たないものが存在することを意味します。この場合、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するでしょうか。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)を選ぶと、そもそも\(0<d\left( x,a\right) <\delta \)を満たす\(X\)の点\(x\)は存在しないため、\begin{equation}0<d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \quad \cdots (2)
\end{equation}という主張の前提\(0<d\left(x,a\right) <\delta \)は常に偽になり、したがって\(\left( 2\right) \)全体は真になってしまいます。これは\(b\)としてどのような実数を選んだ場合にも同様です。つまり、イプシロン・デルタ論法による関数の極限を踏まえたとき、\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)は任意の実数に限りなく近づくことになってしまいます。これでは関数の極限の定義として破綻しています。したがって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限の実数へ収束するかどうかを検討する際には、\(a\)が\(f\)の定義域の孤立点である状況をあらかじめ排除しておく必要があります。
a\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。点\(a\)の周辺の点\(x\)を任意に選ぶと、十分小さい\(\delta \)のもとで\(x\in N_{\delta }\left( a\right) \)が成り立ちます。すると、上の定義より\(N_{\delta }\left( a\right) \)と\(\left( X\backslash \left\{ a\right\} \right) \)は交わるため\(x\in X\backslash \left\{ a\right\} \)となり、\(f\)は点\(x\)において定義されていることが保証されます。ちなみに、関数\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合、すなわち\(a\not\in N\)が成り立つ場合には\(X\backslash \left\{ a\right\} =X\)となるため、上の定義を、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X\not=\phi
\end{equation*}と言い換えることができます。これは点\(a\)が\(X\)の触点であることの定義に他なりません。この場合にも、点\(a\)の周辺の点\(x\)を任意に選ぶと、先と同様の理由により\(x\in X\)となることが保証されます。
多変数関数の極限の一意性
多変数関数が有限な実数へ収束する場合、その極限は必ず1つの実数として定まります。
演習問題
a_{1},a_{2},a_{3}\right) }f\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことはどのような形で定義されるでしょうか。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,2,3\right) }f\left(
x,y,z\right) =15
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=a\right) \\
1 & \left( if\ x\not=a\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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