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スカラー場の極限

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スカラー場の極限

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺において定義されているものとします。つまり、点\(a\)の周辺にある任意の点がスカラー場\(f\)の定義域\(X\)の要素であるということです。点\(a\)自身は\(X\)の要素であってもそうでなくてもどちらでもかまいません。このとき、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\)に限りなく近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束する(converge)と言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}もしくは、\begin{equation*}
x\rightarrow a\ \text{のとき }f\left( x\right) \rightarrow
b
\end{equation*}などで表記します。その上で、このような\(b\)を\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限(limit)と呼びます。

スカラー場の収束に関して厳密な議論を行うためには、関数の収束の場合と同様、イプシロン・デルタ論法を用いて「限りなく近づく」という曖昧な表現を厳密に定義する必要があります。まず、\(x\rightarrow a\)が成り立つこと、すなわち、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくと言うためには、\(x\)と\(a\)の近さを表す指標が必要です。そこで、\(x\)と\(a\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\delta >0\)を導入したとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のユークリッド距離\(d\)のもとで、\begin{equation*}
0<d\left( x,a\right) <\delta
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0<\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\delta
\end{equation*}が成り立つならば、「\(x\)は\(a\)とは異なる点であるともに、\(x\)と\(a\)の間の距離は\(\delta \)よりも小さい」と言えます。また、\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つこと、すなわち、\(f\left( x\right) \)が点\(b\)に限りなく近づくと言うためには、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の近さを表す指標も必要です。そこで、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す指標として正の実数\(\varepsilon >0\)を導入したとき、\begin{equation*}
\left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つならば、「\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)よりも小さい」と言えます。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)であることは、以上のような2つの実数\(\varepsilon ,\delta \)の関係として表現することになります。

具体的には、まず、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離を表す値\(\varepsilon \)を任意に選びます。今、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つのであれば、\(a\)に十分近くなおかつ\(a\)とは異なる任意の\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。つまり、\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}
\exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<d\left( x,a\right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)となる場合には、最初に設定する\(\varepsilon \)をどれほど小さくしても同様の議論が成立するはずです。つまり、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つ限りにおいて、\(a\)との距離がある値\(\delta \)以下の場所にある\(a\)以外の任意の点\(x\in X\)について、\(f\left( x\right) \)と\(b\)の間の距離は\(\varepsilon \)以下になるはずです。これを定式化すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert
f\left( x\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。そこで、これまでの考察を逆手に取る形で、上の論理式によって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \rightarrow b\)が成り立つことの定義とします。つまり、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)において点\(b\in \mathbb{R} \)に収束することの意味をイプシロン・デルタ論法にもとづいて定義したものが上の論理式です。

例(スカラー場の極限)
定義域が1次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合であるようなスカラー場\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は関数に他なりません。点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、このスカラー場\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}}<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これは関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに\(b\)へ収束することの定義に他なりません。したがって、スカラー場の極限は関数の極限の一般化です。
例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。具体的には、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{equation*}
\delta =\sqrt{\varepsilon }>0
\end{equation*}をとることができます。すると、\begin{equation*}
0<\sqrt{\left( x-0\right) ^{2}+\left( y-0\right) ^{2}}<\delta
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\sqrt{\varepsilon } \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}
\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( 0,0\right) \right\vert &=&\left\vert
xy-0\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert xy\right\vert \\
&=&\left\vert x\right\vert \left\vert y\right\vert \\
&=&\sqrt{x^{2}}\sqrt{y^{2}} \\
&\leq &\sqrt{x^{2}+y^{2}}\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
&<&\sqrt{\varepsilon }\sqrt{\varepsilon }\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。具体的には、\(\varepsilon >0\)を任意に選んだときに、それに対して、\begin{equation*}
\delta =\varepsilon >0
\end{equation*}を満たす\(\delta \)を適当にとります。すると、\begin{equation*}
0<\sqrt{\left( x-0\right) ^{2}+\left( y-0\right) ^{2}}<\delta
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}
\left\vert f\left( x,y\right) -0\right\vert &=&\left\vert \frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert x\right\vert \left\vert \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right\vert
\\
&\leq &\left\vert x\right\vert \cdot 1 \\
&=&\left\vert x\right\vert \\
&=&\sqrt{x^{2}} \\
&\leq &\sqrt{x^{2}+y^{2}} \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

 

変数が限りなく近づく点に関する注意

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束するかどうかを検討するためには、そもそも\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されている必要があります。なぜなら、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することとは、\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\)に限りなく近づくことを意味するのであり、仮に\(f\)が\(a\)の周辺の点において定義されていない場合、「\(x\)が\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づく」という状況を作ることさえできないからです。

もう少し厳密に議論をしましょう。\(f\)が\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない状況の具体例として、\(a\)が\(f\)の定義域\(X\)の孤立点であるような場合が考えられます。\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\begin{equation}
\exists \delta >0:N_{\delta }\left( a\right) \cap X=\left\{ a\right\}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。つまり、\(a\)を中心とする近傍の中に\(a\)以外の\(X\)の点を要素として持たないものが存在するということです。この場合、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するでしょうか。\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left( 1\right) \)中の\(\delta >0\)を選ぶと、そもそも\(d\left( x,a\right) <\delta \)を満たす点\(X\)の点\(x\)は存在しないため、\begin{equation}
d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-b\right\vert <\varepsilon \quad \cdots (2)
\end{equation}という主張の前提\(d\left( x,a\right) <\delta \)は常に偽になり、したがって\(\left( 2\right) \)全体は真になってしまいます。これは\(b\)としてどのような実数を選んだ場合にも同様です。つまり、イプシロン・デルタ論法によるスカラー場の極限の定義を踏まえたとき、\(a\)が\(X\)の孤立点である場合には、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)は任意の実数に限りなく近づくことになってしまいます。これではスカラー場の極限の定義として破綻しています。したがって、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限の実数へ収束するかどうかを検討する際には、\(a\)が\(f\)の定義域の孤立点である状況をあらかじめ排除しておく必要があります。

 

スカラー場の極限の一意性

スカラー場が有限な実数へ収束するとき、その極限は常に一意的です。

命題(スカラー場の極限の一意性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)に関して極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を持つ場合、それは一意的である。
証明

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上の命題は、スカラー場\(f\)が点\(a\)に関して収束する場合、そこでの極限が1つの実数として定まるという主張です。関数\(f\)が異なる複数の点である\(a\)と\(a^{\prime }\)に関して収束するとき、そこでの極限である\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \)と\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha ^{\prime }}f\left( x\right) \)が常に一致するという主張ではありません。通常、極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) \)の値は点\(a\)の位置に応じて変化します。ただ、以下のような例外もあります。

例(スカラー場の極限の一意性)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}
f\left( x\right) =c
\end{equation*}と定義されているとき、任意の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}となります(確認してください)。つまり、このスカラー場\(f\)の極限は\(a\)の値に依存せず\(c\)で一定です。

 

演習問題

問題(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
証明

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問題(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =2x-y+5z
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,2,3\right) }f\left(
x,y,z\right) =15
\end{equation*}が成り立つことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。
証明

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イプシロン・デルタ論法を用いてスカラー場が収束することを証明するのは大変です。そこで次回は点列を用いてスカラー場が収束することを示す方法について解説します。

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