ノルム関数
ユークリッド空間上の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)が任意に与えられたとき、そのノルム\begin{eqnarray*}\left\Vert x\right\Vert &=&\sqrt{x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}} \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}
\end{eqnarray*}が1つの実数として定まることが保証されるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に以下のような多変数関数\begin{equation*}\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これをノルム関数（norm mathrmtion）と呼びます。
ノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert \)は多変数の多項式関数\(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\)と1変数の無理関数\(\sqrt{x}\)の合成関数であることに注意してください。
例（ノルム関数）
2次元ユークリッド空間上に定義されるノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値は、\begin{equation*}\left\Vert \left( x_{1},x_{2}\right) \right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}
\end{equation*}です。これは平面上における原点\(\left( 0,0\right) \)と点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)の間の距離に相当します。例えば、\begin{eqnarray*}\left\Vert \left( 1,1\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \\
\left\Vert \left( 1,2\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5} \\
\left\Vert \left( 1,-2\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+\left( -2\right)
^{2}}=\sqrt{5} \\
\left\Vert \left( 0,0\right) \right\Vert &=&\sqrt{0^{2}+0^{2}}=0 \\
\left\Vert \left( 1,\frac{1}{2}\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+\left(
\frac{1}{2}\right) ^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}です。これは平面上における原点\(\left( 0,0\right) \)と点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)の間の距離に相当します。例えば、\begin{eqnarray*}\left\Vert \left( 1,1\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \\
\left\Vert \left( 1,2\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5} \\
\left\Vert \left( 1,-2\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+\left( -2\right)
^{2}}=\sqrt{5} \\
\left\Vert \left( 0,0\right) \right\Vert &=&\sqrt{0^{2}+0^{2}}=0 \\
\left\Vert \left( 1,\frac{1}{2}\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+\left(
\frac{1}{2}\right) ^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（ノルム関数）
3次元ユークリッド空間上に定義されるノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの点\(\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して定める値は、\begin{equation*}\left\Vert \left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \right\Vert =\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}
\end{equation*}です。これは空間上における原点\(\left( 0,0,0\right) \)と点\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)の間の距離に相当します。例えば、\begin{eqnarray*}\left\Vert \left( 1,1,1\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3} \\
\left\Vert \left( 1,2,3\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14} \\
\left\Vert \left( 1,-2,3\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+\left( -2\right)
^{2}+3^{2}}=\sqrt{14} \\
\left\Vert \left( 0,0,0\right) \right\Vert &=&\sqrt{0^{2}+0^{2}+0^{2}}=0 \\
\left\Vert \left( 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{3}\right) ^{2}}=\frac{7}{6}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\end{equation*}です。これは空間上における原点\(\left( 0,0,0\right) \)と点\(\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)の間の距離に相当します。例えば、\begin{eqnarray*}\left\Vert \left( 1,1,1\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3} \\
\left\Vert \left( 1,2,3\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14} \\
\left\Vert \left( 1,-2,3\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+\left( -2\right)
^{2}+3^{2}}=\sqrt{14} \\
\left\Vert \left( 0,0,0\right) \right\Vert &=&\sqrt{0^{2}+0^{2}+0^{2}}=0 \\
\left\Vert \left( 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right) \right\Vert &=&\sqrt{1^{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{3}\right) ^{2}}=\frac{7}{6}
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例（ノルム関数）
1次元ユークリッド空間上に定義されるノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの点\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left\Vert x\right\Vert &=&\sqrt{x^{2}}\quad \because \text{ノルムの定義} \\
&=&\left\vert x\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}となるため、これは絶対値関数\(\left\vert \cdot \right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と一致します。つまり、ノルム関数は絶対値関数の一般化です。
&=&\left\vert x\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}となるため、これは絶対値関数\(\left\vert \cdot \right\vert :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と一致します。つまり、ノルム関数は絶対値関数の一般化です。
ノルム関数の基本性質
ノルム関数に関して以下が成り立ちます。
命題（ノルム関数の基本性質）
ノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)は以下の性質を満たす。\begin{eqnarray*}&&\left( N_{1}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x\right\Vert \geq 0 \\
&&\left( N_{2}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert x\right\Vert =0\Leftrightarrow x=0\right) \\
&&\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert ax\right\Vert =\left\vert a\right\vert \left\Vert
x\right\Vert \\
&&\left( N_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x+y\right\Vert \leq \left\Vert x\right\Vert +\left\Vert
y\right\Vert
\end{eqnarray*}
&&\left( N_{2}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left( \left\Vert x\right\Vert =0\Leftrightarrow x=0\right) \\
&&\left( N_{3}\right) \ \forall a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert ax\right\Vert =\left\vert a\right\vert \left\Vert
x\right\Vert \\
&&\left( N_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} ^{n}:\left\Vert x+y\right\Vert \leq \left\Vert x\right\Vert +\left\Vert
y\right\Vert
\end{eqnarray*}
ユークリッド空間上の2つの点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、それらのベクトル差\(x-y\)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の点であるため、そのノルム\(\left\Vert x-y\right\Vert \)をとることができますが、これは2つの点\(x,y\)の間の距離と一致します。
命題（ノルムとユークリッド距離の関係）
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)とノルム関数\(\left\Vert \cdot\right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、任意の2つの点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\Vert x-y\right\Vert
\end{equation*}という関係が成り立つ。
\end{equation*}という関係が成り立つ。
ノルム関数とベクトル値関数の合成関数
ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、その値域はノルム関数\(\left\Vert \cdot \right\Vert :\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合であるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&\left\Vert f\left( x\right) \right\Vert \\
&=&\left\Vert f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right\Vert
\\
&=&\sqrt{\left[ f_{1}\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +\left[ f_{n}\left(
x\right) \right] ^{2}} \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left[ f_{i}\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を定める合成関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)はベクトル値関数\(f\)の成分関数です。
例（ノルム関数とベクトル値関数の合成関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert \left( x+1,x^{2}+1\right) \right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数\(\left( x+1,x^{2}+1\right) \)とノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert \)の合成関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数\(\left( x+1,x^{2}+1\right) \)とノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert \)の合成関数です。
例（ノルム関数とベクトル値関数の合成関数）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1,0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\Vert \left( \frac{x-1}{x+1},\frac{e^{x}-1}{x},2x^{2}-\pi \right) \right\Vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数\(\left( \frac{x-1}{x+1},\frac{e^{x}-1}{x},2x^{2}-\pi \right) \)とノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert \)の合成関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はベクトル値関数\(\left( \frac{x-1}{x+1},\frac{e^{x}-1}{x},2x^{2}-\pi \right) \)とノルム関数\(\left\Vert x\right\Vert \)の合成関数です。
例（変位の大きさ）
平面\(\mathbb{R} ^{2}\)上を移動する点を観察し、経過時間（秒）と点の位置（平面上の点の座標）の関係を関数\(f\)として整理しました。つまり、計測を始めた時点から\(x\)秒後における点の位置（position）が、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) \right)
\in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であるということです。計測を始めた時点から\(a\)秒後の時点における点の位置は、\begin{equation*}f\left( a\right) =\left( f_{1}\left( a\right) ,f_{2}\left( a\right) \right)
\end{equation*}であり、さらにその\(h\)秒後の時点における点の位置は、\begin{equation*}f\left( a+h\right) =\left( f_{1}\left( a+h\right) ,f_{2}\left( a+h\right)
\right)
\end{equation*}です。これらの位置の差\begin{equation*}
f\left( a+h\right) -f\left( a\right) =\left( f_{1}\left( a+h\right)
-f_{1}\left( a\right) ,f_{2}\left( a+h\right) -f_{2}\left( a\right) \right)
\end{equation*}を変位（displacement）と呼びますが、これは始点が\(f\left( a\right) \)であり終点が\(f\left( a+h\right) \)であるような平面線上のベクトルです。変位の大きさは、そのノルム\begin{equation*}\left\Vert f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \right\Vert =\sqrt{\left[
f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) \right] ^{2}+\left[ f_{2}\left(
a+h\right) -f_{2}\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}として定義されます。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( a\right) &=&\left( 0,0\right) \\
f\left( a+h\right) &=&\left( 2,3\right)
\end{eqnarray*}であれば、変位の大きさは、\begin{eqnarray*}
\left\Vert f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left(
2-0\right) ^{2}+\left( 3-0\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{13}
\end{eqnarray*}となります。
\in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}であるということです。計測を始めた時点から\(a\)秒後の時点における点の位置は、\begin{equation*}f\left( a\right) =\left( f_{1}\left( a\right) ,f_{2}\left( a\right) \right)
\end{equation*}であり、さらにその\(h\)秒後の時点における点の位置は、\begin{equation*}f\left( a+h\right) =\left( f_{1}\left( a+h\right) ,f_{2}\left( a+h\right)
\right)
\end{equation*}です。これらの位置の差\begin{equation*}
f\left( a+h\right) -f\left( a\right) =\left( f_{1}\left( a+h\right)
-f_{1}\left( a\right) ,f_{2}\left( a+h\right) -f_{2}\left( a\right) \right)
\end{equation*}を変位（displacement）と呼びますが、これは始点が\(f\left( a\right) \)であり終点が\(f\left( a+h\right) \)であるような平面線上のベクトルです。変位の大きさは、そのノルム\begin{equation*}\left\Vert f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \right\Vert =\sqrt{\left[
f_{1}\left( a+h\right) -f_{1}\left( a\right) \right] ^{2}+\left[ f_{2}\left(
a+h\right) -f_{2}\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}として定義されます。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( a\right) &=&\left( 0,0\right) \\
f\left( a+h\right) &=&\left( 2,3\right)
\end{eqnarray*}であれば、変位の大きさは、\begin{eqnarray*}
\left\Vert f\left( a+h\right) -f\left( a\right) \right\Vert &=&\sqrt{\left(
2-0\right) ^{2}+\left( 3-0\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{13}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
問題（変位の大きさ）
空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上を移動する点を観察し、経過時間（秒）と点の位置（空間内の点の座標）の関係を関数\(f\)として整理しました。具体的には、計測を始めた時点から\(x\)秒後における点の位置が、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left( f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right)
,f_{3}\left( x\right) \right) \\
&=&\left( x^{2},\cos \left( x\right) ,e^{2x}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。時間\(x\)が\(0\)から\(2\)まで変化したときの変位とその大きさを求めてください。
,f_{3}\left( x\right) \right) \\
&=&\left( x^{2},\cos \left( x\right) ,e^{2x}\right)
\end{eqnarray*}であるものとします。時間\(x\)が\(0\)から\(2\)まで変化したときの変位とその大きさを求めてください。
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