多変数の多項式関数
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum_{k_{n}=0}^{n}c_{k_{1},\cdots
,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}という形で表すことができる場合には\(f\)を多項式関数（polynomials function）と呼びます。また、多項式関数\(f\)がそれぞれの\(x\)に対して定める値\(f\left( x\right) \)を多項式（polynomials）と呼びます。多項式を構成する、\begin{equation*}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}を多項式の項（term）と呼びます。\(c_{k_{1},\cdots,k_{n}}\not=0\)である場合、項の次数は、\begin{equation*}k_{1}+\cdots +k_{n}
\end{equation*}と定義されます。また、最大の次数を持つ項の次数を多項式\(f\)そのものの次数とみなします。
例（多変数の多項式関数）
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum_{k_{n}=0}^{n}c_{k_{1},\cdots
,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるとき、この\(f\)は多項式関数です。つまり、多項式関数は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義可能です。
,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるとき、この\(f\)は多項式関数です。つまり、多項式関数は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義可能です。
例（多変数の多項式関数）
2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であることとは、\(f\)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},k_{2}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}f\left( x,y\right)
&=&\sum_{k_{1}=0}^{n}\sum_{k_{2}=0}^{n}c_{k_{1},k_{2}}x^{k_{1}}y^{k_{2}} \\
&=&c_{n,n}x^{n}y^{n}+c_{n,n-1}x^{n}y^{n-1}+\cdots +c_{0,0}
\end{eqnarray*}という形で表すことができることを意味します。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( x,y\right) &=&2x^{2}y^{2}-3x^{2}y+5x^{2}+6xy^{2}-xy-7x+4y^{2}+3y-1
\\
g\left( x,y\right) &=&5x^{5}+x^{4}-x^{2}+1 \\
h\left( x,y\right) &=&3
\end{eqnarray*}などはいずれも2変数の多項式関数です。ちなみに、\(f\)の次数は\(4\)、\(g\)の次数は\(5\)、\(h\)の次数は\(0\)です。一方、\begin{equation*}i\left( x,y\right) =3x^{3}y-xy+\sqrt{x}
\end{equation*}は多項式ではありません。なぜなら、\begin{equation*}
\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}であり、この項の次数\(\frac{1}{2}\)は非負の整数ではないからです。
&=&\sum_{k_{1}=0}^{n}\sum_{k_{2}=0}^{n}c_{k_{1},k_{2}}x^{k_{1}}y^{k_{2}} \\
&=&c_{n,n}x^{n}y^{n}+c_{n,n-1}x^{n}y^{n-1}+\cdots +c_{0,0}
\end{eqnarray*}という形で表すことができることを意味します。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( x,y\right) &=&2x^{2}y^{2}-3x^{2}y+5x^{2}+6xy^{2}-xy-7x+4y^{2}+3y-1
\\
g\left( x,y\right) &=&5x^{5}+x^{4}-x^{2}+1 \\
h\left( x,y\right) &=&3
\end{eqnarray*}などはいずれも2変数の多項式関数です。ちなみに、\(f\)の次数は\(4\)、\(g\)の次数は\(5\)、\(h\)の次数は\(0\)です。一方、\begin{equation*}i\left( x,y\right) =3x^{3}y-xy+\sqrt{x}
\end{equation*}は多項式ではありません。なぜなら、\begin{equation*}
\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}であり、この項の次数\(\frac{1}{2}\)は非負の整数ではないからです。
例（多変数の多項式関数）
3変数関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であることとは、\(f\)がそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in X\)に対して定める値が非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},k_{2},k_{3}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{eqnarray*}f\left( x,y,z\right)
&=&\sum_{k_{1}=0}^{n}\sum_{k_{2}=0}^{n}\sum_{k_{3}=0}^{n}c_{k_{1},k_{2},k_{3}}x^{k_{1}}y^{k_{2}}z^{k_{3}} \\
&=&c_{n,n,n}x^{n}y^{n}z^{n}+c_{n,n,n-1}x^{n}y^{n}z^{n-1}+\cdots +c_{0,0,0}
\end{eqnarray*}という形で表すことができることを意味します。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( x,y,z\right) &=&3x^{3}y^{3}z^{3}+2x^{2}y^{2}z^{2}-5xy^{2}+7z \\
g\left( x,y,z\right) &=&5x^{5}+3y \\
h\left( x,y,z\right) &=&7
\end{eqnarray*}などはいずれも3変数の多項式関数です。ちなみに、\(f\)の次数は\(9\)、\(g\)の次数は\(5\)、\(h\)の次数は\(0\)です。
&=&\sum_{k_{1}=0}^{n}\sum_{k_{2}=0}^{n}\sum_{k_{3}=0}^{n}c_{k_{1},k_{2},k_{3}}x^{k_{1}}y^{k_{2}}z^{k_{3}} \\
&=&c_{n,n,n}x^{n}y^{n}z^{n}+c_{n,n,n-1}x^{n}y^{n}z^{n-1}+\cdots +c_{0,0,0}
\end{eqnarray*}という形で表すことができることを意味します。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( x,y,z\right) &=&3x^{3}y^{3}z^{3}+2x^{2}y^{2}z^{2}-5xy^{2}+7z \\
g\left( x,y,z\right) &=&5x^{5}+3y \\
h\left( x,y,z\right) &=&7
\end{eqnarray*}などはいずれも3変数の多項式関数です。ちなみに、\(f\)の次数は\(9\)、\(g\)の次数は\(5\)、\(h\)の次数は\(0\)です。
例（多変数の多項式関数）
3辺の長さがそれぞれ\(x,y,z\)であるような直方体の体積は、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =xyz
\end{equation*}ですが、この\(f\)は変数\(x,y,z\)に関する多項式関数です。3辺の長さがそれぞれ\(x,y,z\)であるような直方体の表面積は、\begin{equation*}g\left( x,y,z\right) =2xy+2yz+2xz
\end{equation*}ですが、この\(g\)もまた変数\(x,y,z\)に関する多項式関数です。
\end{equation*}ですが、この\(f\)は変数\(x,y,z\)に関する多項式関数です。3辺の長さがそれぞれ\(x,y,z\)であるような直方体の表面積は、\begin{equation*}g\left( x,y,z\right) =2xy+2yz+2xz
\end{equation*}ですが、この\(g\)もまた変数\(x,y,z\)に関する多項式関数です。
例（多変数の多項式関数）
店には\(n\)種類の商品が売っており、それぞれの商品\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)の価格が\(p_{k}>0\)であるものとします。\(p_{k}\)は定数です。商品\(k\)の購入量を\(x_{k}\geq 0\)で表記します。商品の購入量の組が\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{n}\)である場合の合計金額（税抜き）は、\begin{equation*}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =p_{1}x_{1}+\cdots +p_{n}x_{n}
\end{equation*}ですが、この\(f\)は変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する多項式関数です。消費税が\(10\)\% 課されるのであれば、商品の購入量の組が\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{n}\)である場合の合計金額（税込み）は、\begin{equation*}g\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =1.1\left( p_{1}x_{1}+\cdots
+p_{n}x_{n}\right)
\end{equation*}ですが、この\(g\)もまた変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する多項式関数です。
\end{equation*}ですが、この\(f\)は変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する多項式関数です。消費税が\(10\)\% 課されるのであれば、商品の購入量の組が\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{n}\)である場合の合計金額（税込み）は、\begin{equation*}g\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =1.1\left( p_{1}x_{1}+\cdots
+p_{n}x_{n}\right)
\end{equation*}ですが、この\(g\)もまた変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)に関する多項式関数です。
例（多変数の多項式関数）
不快指数（temperature-humidity index）とは夏の蒸し暑さを表す指数です。具体的には、気温（摂氏）が\(x\)であり、湿度（% ）が\(y\)である場合の不快指数は、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =0.81x+0.01y\left( 0.99x-14.3\right) +46.3
\end{equation*}と定義されます。この\(f\)は変数\(x,y\)に関する多項式関数です。例えば、気温が\(30\)度で湿度が\(80\)% である場合の不快指数は、\begin{eqnarray*}f\left( 30,80\right) &=&0.81\cdot 30+0.01\cdot 80\left( 0.99\cdot
30-14.3\right) +46.3 \\
&=&82.92
\end{eqnarray*}です。また、気温が\(35\)度で湿度が\(50\)% である場合の不快指数は、\begin{eqnarray*}f\left( 35,50\right) &=&0.81\cdot 35+0.01\cdot 50\left( 0.99\cdot
35-14.3\right) +46.3 \\
&=&84.825
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}と定義されます。この\(f\)は変数\(x,y\)に関する多項式関数です。例えば、気温が\(30\)度で湿度が\(80\)% である場合の不快指数は、\begin{eqnarray*}f\left( 30,80\right) &=&0.81\cdot 30+0.01\cdot 80\left( 0.99\cdot
30-14.3\right) +46.3 \\
&=&82.92
\end{eqnarray*}です。また、気温が\(35\)度で湿度が\(50\)% である場合の不快指数は、\begin{eqnarray*}f\left( 35,50\right) &=&0.81\cdot 35+0.01\cdot 50\left( 0.99\cdot
35-14.3\right) +46.3 \\
&=&84.825
\end{eqnarray*}です。
演習問題
問題（多変数の多項式関数）
以下のように定義される多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は多項式関数ですか。理由とともに答えてください。また、多項式関数である場合にはその次数を特定してください。
- \(f\left( x,y\right) =x+xy-y\)
- \(f\left( x,y\right) =x^{2}+xy^{4}+\frac{x}{y}-2y^{3}\)
- \(f\left( x,y\right) =x^{2}+1.2xy^{4}+x^{2}y^{4}-9\)
- \(f\left( x,y\right) =x+y+9^{\left( -1\right) }\)
- \(f\left( x,y\right) =5x^{10}y+11x^{2}y^{5}+3x^{5}y^{3}\)
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