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スカラー場の積の極限

目次

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収束するスカラー場の積の極限

定義域を共有する2つのスカラー場\(f,g:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
\left( f\cdot g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) \cdot g\left(
x\right)
\end{equation*}を定める新たなスカラー場\(f\cdot g:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能です。スカラー場\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R}^{n}\)の周辺にある任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、スカラー場\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束するスカラー場の積の極限)
スカラー場\(f,g:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからスカラー場\(f\cdot g:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を定義する。点\(a\in \mathbb{R}^{n}\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)と\(g\)がともに有限な実数へ収束するならば、\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f\cdot g\right) \left( x\right)
=\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \cdot \lim_{x\rightarrow a}g\left(
x\right)
\end{equation*}を満たす。
証明

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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束するスカラー場\(f,g\)の積の形をしているスカラー場\(f\cdot g\)が与えられたとき、\(f\cdot g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限の積をとれば\(f\cdot g\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかのスカラー場\(f,g\)の積の形をしているスカラー場\(f\cdot g\)の収束可能性を検討する際には、スカラー場の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらが収束することを確認すればよいということになります。

例(収束するスカラー場の積の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R}^{3}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =\frac{1}{2}xy^{2}-3z
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R}^{3}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b,c\right) \in \mathbb{R}^{3}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left( a,b,c\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。したがって、\begin{eqnarray*}
&&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right) }f\left(
x,y,z\right) \\
&=&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right) }\left( \frac{1}{2}xy^{2}-3z\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right) }\left( \frac{1}{2}xy^{2}\right) -\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right)
}\left( 3z\right) \quad \because \text{収束するスカラー場の差} \\
&=&\frac{1}{2}\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right)
}\left( xy^{2}\right) -3\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
a,b,c\right) }z\quad \because \text{収束するスカラー場の定数倍} \\
&=&\frac{1}{2}\left( \lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
a,b,c\right) }x\right) \left( \lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
a,b,c\right) }y\right) ^{2}-3\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
a,b,c\right) }z\quad \because \text{収束するスカラー場の積} \\
&=&\frac{1}{2}ab^{2}-3c\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

以下はもう少し複雑な場合です。

例(収束するスカラー場の積の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x^{2}-xy+y^{2} & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \\
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)が\(a\not=0\)かつ\(b\not=0\)を満たす場合、\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R}^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)の内点であるため、スカラー場\(f\left( x,y\right) =x^{2}-xy+y^{2}\)は\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。したがって、\begin{eqnarray*}
&&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
x^{2}-xy+y^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x^{2}-\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( xy\right) +\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y^{2}\quad \because \text{収束するスカラー場の和・差} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x\right)
^{2}-\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x\right)
\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\right)
+\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\right)
^{2}\quad \because \text{収束するスカラー場の積} \\
&=&a^{2}-ab+b^{2}\quad \because \text{恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。一方、\(a=0\)と\(b=0\)の少なくとも一方を満たす点\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R}^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)や\(\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)の内点ではないため、そこでの極限を求める際に先の命題を利用できず、関数の極限の定義にさかのぼって考える必要があります。詳細は演習問題にしますが、そのような\(\left( a,b\right) \)についても、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=a^{2}-ab+b^{2}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

応用例

先の命題と連続関数の性質を利用すると、より広範なスカラー場の極限を容易に求められます。

例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation}
f\left( x,y\right) =\sin \left( \frac{x^{2}-y^{2}}{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するでしょうか。スカラー場\(\frac{x^{2}-y^{2}}{2}\)に関しては、先の命題などから、\begin{equation}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{x^{2}-y^{2}}{2}\right) =\frac{a^{2}-b^{2}}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ここで重要なことは正弦関数\(\sin \)が定義域\(\mathbb{R}\)で連続であるという事実です。したがって、正弦関数\(\sin \)は点\(\frac{a^{2}-b^{2}}{2}\)においても連続であるため、連続性の定義より、\begin{equation}
\lim_{\frac{x^{2}-y^{2}}{2} \rightarrow \frac{a^{2}-b^{2}}{2}}\sin \left( \frac{x^{2}-y^{2}}{2}\right) =\sin \left( \frac{a^{2}-b^{2}}{2}\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\frac{x^{2}-y^{2}}{2} \rightarrow \frac{a^{2}-b^{2}}{2}}\sin \left( \frac{x^{2}-y^{2}}{2}\right) \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\sin \left( \frac{a^{2}-b^{2}}{2}\right) \quad \because \left( 3\right)
\\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}という関係を得ます。つまり、問題としているスカラー場\(f\left( x,y\right) \)の変数\(\left( x,y\right) \)に\(\left( a,b\right) \)を代入して値\(f\left( a,b\right) \)を求めれば、それが\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときの\(f\)の極限と一致することが保証されます。
例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\sqrt{x^{2}+\frac{y^{4}}{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するでしょうか。スカラー場\(x^{2}-\frac{y^{4}}{2}+1\)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( x^{2}+\frac{y^{4}}{2}+1\right) =a^{2}+\frac{y^{4}}{2}+1
\end{equation*}が成り立つとともに、平方根関数は点\(a^{2}+\frac{y^{4}}{2}+1\)において連続であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&f\left( a,b\right) \\
&=&\sqrt{a^{2}+\frac{b^{4}}{2}+1}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(収束するスカラー場の積の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =-x^{3}+\frac{x^{2}y}{2}-y^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)について、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=-a^{3}+\frac{a^{2}b}{2}-b^{3}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(収束するスカラー場の積の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x^{2}-xy+y^{2} & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \\
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)について、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=a^{2}-ab+b^{2}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(収束するスカラー場の定数倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\ln \left( \frac{x^{2}+y^{2}+1}{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) \)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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次回はスカラー場の商として定義されるスカラー場について解説します。

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