WIIS

多変数関数

多変数関数の和の極限

目次

関連知識

Mailで保存
Xで共有

収束する多変数関数の和の極限

定義域を共有する2つの多変数関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、関数\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束する関数の和の極限)
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束する関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限の和をとれば\(f+g\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g \)に分けた上で、それらが収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する関数の和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+5y
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
2x+5y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }2x+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }5y\quad \because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x+5\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&2a+5b\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(収束する関数の和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( 2x+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数関数\(2x+y\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。余弦関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\cos \left(
2x+y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
2x+y\right) \right) \quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\cos \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}2x+\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\right) \quad
\because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&\cos \left( 2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x+\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\right) \quad
\because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\cos \left( 2a+b\right) \quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(収束する関数の和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{x}{2}+3y+1\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数関数\(\frac{x}{2}+3y+1\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数です。無理関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{x}{2}+3y+1\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
\frac{x}{2}+3y+1\right) \right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{x}{2}+\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }3y+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }1\right) ^{\frac{1}{2}}\quad
\because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&\left( \frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x+3\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }1\right) ^{\frac{1}{2}}\quad
\because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\left( \frac{a}{2}+3b+1\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(収束する関数の和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( 3x\right) +\left( \frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \cos \left(
3x\right) +\left( \frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\cos \left(
3x\right) +\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
\frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&\cos \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}3x\right) +\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\cos \left( 3\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x\right) +\left( \frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
a,b\right) }y\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\cos \left( 3a\right) +\left( \frac{b}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad
\because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

変数が定義域の境界点に限りなく近づく場合の極限

以下は境界点における極限の例です。

例(変数が定義域の境界点に限りなく近づく場合の極限)
定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の境界点\(\left( 1,1\right) \)に注目したとき、\(f,g\)は点\(\left( 1,1\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとは言えません。この場合、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) \)の場合の\(f\)ないし\(g\)の極限とは、変数\(\left( x,y\right) \)が\(x\leq 1\)かつ\(y\leq 1\)かつ\(\left( x,y\right)\not=\left( 1,1\right) \)を満たしながら\(\left( 1,1\right) \)へ限りなく近づく場合の\(f\)ないし\(g\)の極限に相当します。以上を踏まえた上で、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right)
&\in &\mathbb{R} \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }g\left( x,y\right)
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つものとします。これは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq 1 \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 1,1\right) \\
&&\left( d\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)および\(\left\{ g\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &\in &\mathbb{R} \quad \cdots (1) \\
\lim_{v\rightarrow \infty }g\left( x_{v},y_{v}\right) &\in &\mathbb{R} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立つことを意味します。関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)を満たす点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ \left( f+g\right) \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( f+g\right) \left( x_{v},y_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left[ f\left( x_{v},y_{v}\right) +g\left(
x_{v},y_{v}\right) \right] \quad \because c\cdot f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) +\lim_{v\rightarrow
\infty }g\left( x_{v},y_{v}\right) \quad \because \text{収束する数列の和} \\
&\in &\mathbb{R} \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left( f+g\right)
\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことが示されました。他の境界点についても同様に考えます。

 

演習問題

問題(収束する関数の和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+3y+1
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだときに、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(収束する関数の和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
2x+y+\pi & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \\
\pi & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(収束する関数の和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( 2x+y+\frac{\pi }{2}\right) +\cos \left( 2x+y+\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだときに、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

問題(収束する関数の和の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x^{2}+y^{2}\right) +e^{\frac{x+y}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだときに、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

解答を見る

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録

関連知識

Mailで保存
Xで共有

質問とコメント

プレミアム会員専用コンテンツです

会員登録

有料のプレミアム会員であれば、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員専用コンテンツです
ログイン】【会員登録