収束する多変数関数の和の極限
定義域を共有する2つの多変数関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たな多変数関数\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。関数\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、関数\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
命題（収束する関数の和の極限）
関数\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束する関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限の和をとれば\(f+g\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f,g\)の和の形をしている関数\(f+g\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g \)に分けた上で、それらが収束することを確認すればよいということになります。
例（収束する関数の和の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+5y
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
2x+5y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }2x+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }5y\quad \because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x+5\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&2a+5b\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
2x+5y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }2x+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }5y\quad \because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x+5\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&2a+5b\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例（収束する関数の和の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( 2x+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数関数\(2x+y\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。余弦関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\cos \left(
2x+y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
2x+y\right) \right) \quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\cos \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}2x+\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\right) \quad
\because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&\cos \left( 2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x+\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\right) \quad
\because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\cos \left( 2a+b\right) \quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数関数\(2x+y\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。余弦関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\cos \left(
2x+y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
2x+y\right) \right) \quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\cos \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}2x+\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\right) \quad
\because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&\cos \left( 2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x+\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\right) \quad
\because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\cos \left( 2a+b\right) \quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例（収束する関数の和の極限）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{x}{2}+3y+1\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数関数\(\frac{x}{2}+3y+1\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数です。無理関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{x}{2}+3y+1\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
\frac{x}{2}+3y+1\right) \right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{x}{2}+\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }3y+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }1\right) ^{\frac{1}{2}}\quad
\because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&\left( \frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x+3\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }1\right) ^{\frac{1}{2}}\quad
\because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\left( \frac{a}{2}+3b+1\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数関数\(\frac{x}{2}+3y+1\)と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数です。無理関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{x}{2}+3y+1\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
\frac{x}{2}+3y+1\right) \right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{x}{2}+\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }3y+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }1\right) ^{\frac{1}{2}}\quad
\because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&\left( \frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x+3\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }1\right) ^{\frac{1}{2}}\quad
\because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\left( \frac{a}{2}+3b+1\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例（収束する関数の和の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( 3x\right) +\left( \frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \cos \left(
3x\right) +\left( \frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\cos \left(
3x\right) +\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
\frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&\cos \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}3x\right) +\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\cos \left( 3\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x\right) +\left( \frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
a,b\right) }y\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\cos \left( 3a\right) +\left( \frac{b}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad
\because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \cos \left(
3x\right) +\left( \frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\cos \left(
3x\right) +\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
\frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{収束する関数の和の極限} \\
&=&\cos \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}3x\right) +\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\cos \left( 3\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x\right) +\left( \frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
a,b\right) }y\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\cos \left( 3a\right) +\left( \frac{b}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad
\because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
変数が定義域の境界点に限りなく近づく場合の極限
以下は境界点における極限の例です。
例（変数が定義域の境界点に限りなく近づく場合の極限）
定義域を共有する2つの関数\(f,g:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の境界点\(\left( 1,1\right) \)に注目したとき、\(f,g\)は点\(\left( 1,1\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとは言えません。この場合、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) \)の場合の\(f\)ないし\(g\)の極限とは、変数\(\left( x,y\right) \)が\(x\leq 1\)かつ\(y\leq 1\)かつ\(\left( x,y\right)\not=\left( 1,1\right) \)を満たしながら\(\left( 1,1\right) \)へ限りなく近づく場合の\(f\)ないし\(g\)の極限に相当します。以上を踏まえた上で、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right)
&\in &\mathbb{R} \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }g\left( x,y\right)
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つものとします。これは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq 1 \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 1,1\right) \\
&&\left( d\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)および\(\left\{ g\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &\in &\mathbb{R} \quad \cdots (1) \\
\lim_{v\rightarrow \infty }g\left( x_{v},y_{v}\right) &\in &\mathbb{R} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立つことを意味します。関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)を満たす点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ \left( f+g\right) \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( f+g\right) \left( x_{v},y_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left[ f\left( x_{v},y_{v}\right) +g\left(
x_{v},y_{v}\right) \right] \quad \because c\cdot f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) +\lim_{v\rightarrow
\infty }g\left( x_{v},y_{v}\right) \quad \because \text{収束する数列の和} \\
&\in &\mathbb{R} \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left( f+g\right)
\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことが示されました。他の境界点についても同様に考えます。
&\in &\mathbb{R} \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }g\left( x,y\right)
&\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}が成り立つものとします。これは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq 1 \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 1,1\right) \\
&&\left( d\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)および\(\left\{ g\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &\in &\mathbb{R} \quad \cdots (1) \\
\lim_{v\rightarrow \infty }g\left( x_{v},y_{v}\right) &\in &\mathbb{R} \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}が成り立つことを意味します。関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)を満たす点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ \left( f+g\right) \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( f+g\right) \left( x_{v},y_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left[ f\left( x_{v},y_{v}\right) +g\left(
x_{v},y_{v}\right) \right] \quad \because c\cdot f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) +\lim_{v\rightarrow
\infty }g\left( x_{v},y_{v}\right) \quad \because \text{収束する数列の和} \\
&\in &\mathbb{R} \quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left( f+g\right)
\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことが示されました。他の境界点についても同様に考えます。
演習問題
問題（収束する関数の和の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+3y+1
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだときに、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだときに、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。
問題（収束する関数の和の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
2x+y+\pi & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \\
\pi & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。
\begin{array}{cc}
2x+y+\pi & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \\
\pi & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。
問題（収束する関数の和の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( 2x+y+\frac{\pi }{2}\right) +\cos \left( 2x+y+\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだときに、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだときに、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。
問題（収束する関数の和の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x^{2}+y^{2}\right) +e^{\frac{x+y}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだときに、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだときに、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。
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