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スカラー場(多変数関数)の和の極限

目次

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収束するスカラー場の和の極限

定義域を共有する2つのスカラー場\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たなスカラー場\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。スカラー場\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺にある任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、スカラー場\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束するスカラー場の和の極限)
スカラー場\(f,g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからスカラー場\(f+g:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f,g\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( f+g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) +\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束するスカラー場\(f,g\)の和の形をしているスカラー場\(f+g\)が与えられたとき、\(f+g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限と\(g \)の極限の和をとれば\(f+g \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかのスカラー場\(f,g\)の和の形をしているスカラー場\(f+g\)の収束可能性を検討する際には、スカラー場の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらが収束することを確認すればよいということになります。

例(収束するスカラー場の和の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+5y
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は座標関数\(x\)の定数倍(\(2\)倍)と座標関数\(y\)の定数倍(\(5\)倍)の和として定義されています。点\(\left( a,b\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
2x+5y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }2x+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }5y\quad \because \text{収束するスカラー場の和} \\
&=&2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x+5\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\quad \because \text{収束するスカラー場の定数倍} \\
&=&2a+5b\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left( 2x+5y\right)
&=&2\cdot 1+5\cdot 1=7 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,0\right) }\left( 2x+5y\right)
&=&2\cdot 1+5\cdot 0=2 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,1\right) }\left( 2x+5y\right)
&=&2\cdot 0+5\cdot 1=5 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( 2x+5y\right)
&=&2\cdot 0+5\cdot 0=0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( 2x+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( 2x+y\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }2x+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\quad \because \text{収束するスカラー倍の和} \\
&=&2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\quad \because \text{収束するスカラー倍の定数倍} \\
&=&2a+b\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( 2x+y\right)
=2a+b \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\cos \left(
2x+y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{2x+y\rightarrow 2a+b}\cos \left( 2x+y\right) \quad \because \left(
1\right) \\
&=&\cos \left( 2a+b\right) \quad \because \text{余弦関数の連続性}
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( \frac{\pi }{2},0\right) }\cos
\left( 2x+y\right) &=&\cos \left( \pi \right) =-1 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,\frac{\pi }{2}\right) }\cos
\left( 2x+y\right) &=&\cos \left( \frac{\pi }{2}\right) =0 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right) }\cos \left( 2x+y\right) &=&\cos \left( \frac{3\pi }{2}\right) =0 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\cos \left(
2x+y\right) &=&\cos \left( 0\right) =1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(収束するスカラー場の和の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{\frac{x}{2}+3y+1}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{x}{2}+3y+1\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{x}{2}+\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}3y+\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }1\quad \because
\text{収束するスカラー倍の和} \\
&=&\frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x+3\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y+\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }1\quad \because \text{収束するスカラー倍の定数倍} \\
&=&\frac{a}{2}+3b+1\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{x}{2}+3y+1\right) =\frac{a}{2}+3b+1 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\sqrt{\frac{x}{2}+3y+1}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\frac{x}{2}+3y+1\rightarrow \frac{a}{2}+3b+1}\sqrt{\frac{x}{2}+3y+1}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\sqrt{\frac{a}{2}+3y+1}\quad \because \frac{a}{2}+3y+1\geq 0\text{および無理関数の連続性}
\end{eqnarray*}となります。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\sqrt{\frac{x}{2}+3y+1} &=&\sqrt{\frac{1}{2}+3\cdot 1+1}=\frac{3\sqrt{2}}{2} \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,0\right) }\sqrt{\frac{x}{2}+3y+1} &=&\sqrt{\frac{1}{2}+3\cdot 0+1}=\sqrt{\frac{3}{2}} \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,1\right) }\sqrt{\frac{x}{2}+3y+1} &=&\sqrt{\frac{0}{2}+3\cdot 1+1}=2 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\sqrt{\frac{x}{2}+3y+1} &=&\sqrt{\frac{0}{2}+3\cdot 0+1}=1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(収束するスカラー場の和の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( 3x\right) +\sqrt{\frac{y}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \cos \left(
3x\right) +\sqrt{\frac{y}{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\cos \left(
3x\right) +\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\sqrt{\frac{y}{2}}\quad \because \text{収束するスカラー場の和} \\
&=&\lim_{3x\rightarrow 3a}\cos \left( 3x\right) +\lim_{\frac{y}{2}\rightarrow \frac{b}{2}}\sqrt{\frac{y}{2}}\quad \because \text{収束するスカラー場の定数倍} \\
&=&\cos \left( 3a\right) +\sqrt{\frac{y}{2}}\quad \because \text{余弦関数および無理関数の連続性}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( \pi ,2\right) }\left( \cos \left(
3x\right) +\sqrt{\frac{y}{2}}\right) &=&\cos \left( 3\pi \right) +1=0 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( \frac{1}{3},0\right) }\left( \cos
\left( 3x\right) +\sqrt{\frac{y}{2}}\right) &=&\cos \left( \pi \right) +0=0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

演習問題

問題(収束するスカラー場の和の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+3y+1
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだときに、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

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問題(収束するスカラー場の和の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
2x+y+\pi & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \\
\pi & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

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問題(収束するスカラー場の和の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( 2x+y+\frac{\pi }{2}\right) +\cos \left( 2x+y+\frac{\pi }{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだときに、以下の極限\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

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次回はスカラー場どうしの差として定義されるスカラー場について解説します。

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