一様連続な多変数関数
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることの意味は様々な形で表現できますが、イプシロンデルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left[ d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right]
\end{equation*}となります。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離関数であり、2つの点\(x,a\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離は、\begin{eqnarray*}d\left( x,a\right) &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}\quad \because \text{ユークリッド距離の定義} \\
&=&\left\Vert x-a\right\Vert \quad \because \text{ノルムの定義}
\end{eqnarray*}と定義されます。さらに、多変数関数\(f\)が連続であることとは、\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において連続であること、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:
\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、多変数関数\(f\)の定義域上の点\(a\)を任意に選んだ上で、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)としてどれほど小さい値を採用した場合でも、点\(a\)からの距離がある値\(\delta \)より小さい場所にある\(X\)上での任意の点\(x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が\(\varepsilon \)より小さくなることが保証されるということです。
通常、変数\(x\)の値が変化するにともない\(f\left(x\right) \)の値は一定のペースで変動するとは限らないため、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)を選んだとき、それに対して以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert
f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right]
\end{equation*}を満たす\(\delta \)の水準は点\(a\)の位置に依存して変化します。点\(a\)の位置に応じてその周辺の点\(x\)において\(f\left( x\right) \)が変化する様子は異なるからです。例えば、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の差が小さい場合には、\(x\)が\(a\)から多少離れていても\(f\left(x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の差は小さいままであるため、\(\delta \)として大きい値をとることができます。逆に、点\(a\)の周辺の任意の点\(x\)において\(f\left(x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の差が大きい場合には、\(x\)が\(a\)から少しでも離れてしまうと\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の差は大きくなってしまうため、\(\delta \)として小さい値をとる必要があります。
一方、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離\(\varepsilon \)を任意に選んだとき、点\(a\)の位置とは関係なく、点\(a\)からの距離がある値\(\delta \)より近い場所にある任意の点\(x\)について\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が\(\varepsilon \)より小さくなることが保証される場合には、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in X:
\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right]
\end{equation*}を満たす場合には、関数\(f\)は定義域\(X\)上で一様連続（uniformly continuous on \(X\)）であると言います。
繰り返しになりますが、多変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上で連続であることは、\begin{equation}\forall a\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:
\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right] \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味する一方、\(f\)が定義域\(X\)上で一様連続であることは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in X:
\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right] \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味しますが、両者の違いは量化記号\begin{equation*}
\forall a\in X
\end{equation*}の相対的な位置だけです。連続性の定義\(\left( 1\right) \)において\(\forall a\in X\)は\(\exists \delta >0\)よりも前に置かれているため、\(\left( 1\right) \)を満たす\(\delta \)の水準は点\(a\)の位置に依存します。点\(a\)の位置が変われば\(\left( 1\right) \)を満たす\(\delta \)の値もまた変化するということです。一方、一様連続性の定義\(\left( 2\right) \)において\(\forall a\in X\)は\(\exists \delta >0\)よりも後に置かれているため、\(\left(2\right) \)を満たす\(\delta \)の水準は点\(a\)の位置に依存しません。点\(a\)の位置が変わっても\(\left( 2\right) \)を満たす\(\delta \)の値は変化しないということです。したがって、\(\left( 2\right) \)中の\(\delta \)に課される制約は\(\left( 1\right) \)中の\(\delta \)に課される制約よりも厳しいため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(\delta \)は必然的に\(\left(1\right) \)を満たします。つまり、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には\(\left( 1\right) \)もまた成り立つこと、すなわち、一様連続な関数は連続であるということです。連続性と一様連続性の関係については場を改めて解説します。
以下は一様連続な関数の例です。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この関数が\(X\)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert c-c\right\vert
<\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow 0<\varepsilon \right] \end{equation*}を示すことが目標ですが、結論\(0<\varepsilon \)は真であるため上の命題そのものも真です。したがって、\(f\)が\(X\)上で一様連続であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{eqnarray*}\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ d\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x,y\right) -f\left( a,b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta
\Rightarrow \left\vert \left( x+y\right) -\left( a+b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。すると、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{2}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができます。その上で、\begin{equation}
\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)および\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}\left( x-a\right) ^{2} &\leq &\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}
\\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。同様に、\begin{equation}
\left\vert y-b\right\vert <\delta \quad \cdots (4)
\end{equation}が導かれます。したがってこのとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert \left( x+y\right) -\left( a+b\right) \right\vert &=&\left\vert
\left( x-a\right) +\left( y-b\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-a\right\vert +\left\vert y-b\right\vert \\
&<&\delta +\delta \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&2\delta \\
&=&2\frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left( 0,2\right) \times \left( 0,2\right)
\end{equation*}です。この関数が\(X\)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{eqnarray*}\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in X,\ \forall \left( x,y\right) \in X: \\
&&\left[ d\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x,y\right) -f\left( a,b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in X,\ \forall \left( x,y\right) \in X: \\
&&\left[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta
\Rightarrow \left\vert \left( x^{2}+y^{2}\right) -\left( a^{2}+b^{2}\right)
\right\vert <\varepsilon \right] \end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。すると、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{8}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができます。その上で、\begin{equation}
\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\left( a,b\right) \in X\)および\(\left( x,y\right) \in X\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}\left( x-a\right) ^{2} &\leq &\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}
\\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。同様に、\begin{equation}
\left\vert y-b\right\vert <\delta \quad \cdots (4)
\end{equation}が導かれます。したがってこのとき、\begin{eqnarray*}
&&\left\vert \left( x^{2}+y^{2}\right) -\left( a^{2}+b^{2}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert \left( x^{2}-a^{2}\right) +\left( y^{2}-b^{2}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert \left( x+a\right) \left( x-a\right) +\left( y+b\right) \left(
y-b\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert \left( x+a\right) \left( x-a\right) \right\vert
+\left\vert \left( y+b\right) \left( y-b\right) \right\vert \\
&=&\left\vert x+a\right\vert \left\vert x-a\right\vert +\left\vert
y+b\right\vert \left\vert y-b\right\vert \\
&<&\left\vert 2+2\right\vert \cdot \delta +\left\vert 2+2\right\vert \cdot
\delta \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \text{および}0<x<2\text{かつ}0<a<2, \\
&=&8\delta \\
&=&8\frac{\varepsilon }{8}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
多変数関数が一様連続ではないことの証明
繰り返しになりますが、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が\(X\)上で一様連続であることとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in X:
\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、\(f\)が\(X\)上で一様連続ではないこととは、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall \delta >0,\ \exists a\in X,\ \exists x\in X:
\left[ d\left( x,a\right) <\delta \wedge \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert \geq \varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(f\)の定義域上に存在する限りなく近い2つの点\(a,x\)について、\(f\left( x\right) \)と\(f\left( a\right) \)の間の距離が正の実数になってしまうということです。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域が、\begin{equation*}
X=\left( 0,2\right) \times \left( 0,2\right)
\end{equation*}である場合に\(f\)が\(X\)上で一様連続であることは先に示した通りです。一方、定義域が、\begin{eqnarray*}X &=&\mathbb{R} _{++}^{2} \\
&=&\left( 0,+\infty \right) \times \left( 0,+\infty \right)
\end{eqnarray*}である場合、この関数は\(X\)上では一様連続ではないことを示します。具体的には、\begin{eqnarray*}\exists \varepsilon &>&0,\ \forall \delta >0,\ \exists \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} _{++}^{2},\ \exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}: \\
&&\left[ d\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta \wedge
\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( a,b\right) \right\vert \geq
\varepsilon \right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\exists \varepsilon &>&0,\ \forall \delta >0,\ \exists \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} _{++}^{2},\ \exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}: \\
&&\left[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta \wedge
\left\vert \left( x^{2}+y^{2}\right) -\left( a^{2}+b^{2}\right) \right\vert
\geq \varepsilon \right] \end{eqnarray*}を示すことが目標です。そこで、\begin{equation}
\varepsilon =\frac{1}{4}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(\delta >0\)を任意に選んだ上で、\begin{eqnarray}\left( a,b\right) &=&\left( \frac{1}{2\delta },\frac{1}{\delta }\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2} \quad \cdots (2) \\
\left( x,y\right) &=&\left( \frac{1}{2\delta }+\frac{\delta }{2},\frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2} \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}と定義します。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\left[ \left( \frac{1}{2\delta }+\frac{\delta }{2}\right) -\frac{1}{2\delta }\right] ^{2}+\left[ \left( \frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right) -\frac{1}{\delta }\right] ^{2}}\quad \because \left( 2\right)
,\left( 3\right) \\
&=&\sqrt{\frac{\delta ^{2}}{4}+\frac{\delta ^{2}}{4}} \\
&=&\sqrt{\frac{\delta ^{2}}{2}} \\
&=&\frac{\delta }{\sqrt{2}} \\
&<&\delta \quad \because \delta >0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
&&\left\vert \left( x^{2}+y^{2}\right) -\left( a^{2}+y^{2}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert \left( x^{2}-a^{2}\right) -\left( y^{2}-b^{2}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert \left[ \left( \frac{1}{2\delta }+\frac{\delta }{2}\right)
^{2}-\left( \frac{1}{2\delta }\right) ^{2}\right] -\left[ \left( \frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right) ^{2}-\left( \frac{1}{\delta }\right) ^{2}\right] \right\vert \quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\left\vert \left( \frac{1}{2}+\frac{\delta ^{2}}{4}\right) -\left( 1+\frac{\delta ^{2}}{4}\right) \right\vert \\
&=&\frac{1}{2} \\
&>&\frac{1}{4} \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。
上の例が示唆するように、同一形状の関数を対象としていても、定義域を変えればその関数が一様連続になったり、一様連続にならなかったりする状況が起こり得ます。関数の一様連続性は関数の形状だけでなく定義域にも依存するということです。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続ではないことを示してください。
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