ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の一般化

ユークリッド空間における点列に関してもボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理は成り立ちます。つまり、有界な点列は収束する部分列を持ちます。
ユークリッド空間 部分列 ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理
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収束列の部分列は収束する

復習になりますが、\(\mathbb{R}\)における数列に関して以下の命題が成り立ちます。

命題(部分列の極限)
\(\mathbb{R}\)における数列\(\{x_{v}\}\)が収束するならば、その任意の部分列\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)もまた収束数列であり、もとの数列の極限\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}\)へ収束する。
上の命題について復習する

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)についても同様の命題が成り立つことが、上の命題を利用することにより証明可能です。

命題(部分列の極限)
\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)が収束するならば、その任意の部分列\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)もまた収束点列であり、もとの点列の極限\(\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}\)へ収束する。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)が収束する部分列\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)を持つ場合でも、もとの点列\(\{x_{v}\}\)は収束するとは限りません。実際、\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( \left( -1\right) ^{v},1\right)
\end{equation*}と定義されるとき、この点列\(\{x_{v}\}\)は明らかに収束しませんが、一般項が、\begin{equation*}
x_{l\left( v\right) }=\left( x_{1}^{l\left( v\right) },x_{2}^{l\left( v\right) }\right) =\left( 1,1\right)
\end{equation*}と定義される部分列\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)は明らかに点\(\left( 1,1\right) \)へと収束します。

 

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の一般化

\(\mathbb{R} ^{n}\)において収束列の任意の部分列は収束することが明らかになりましたが、収束しない点列の部分列の収束可能性についてはどのようなことが言えるでしょうか。

復習になりますが、\(\mathbb{R}\)における数列に関して以下の命題が成り立ちます。

命題(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)
\(\mathbb{R}\)における有界な数列は収束する部分列を持つ。
上の命題について復習する

収束しない数列に関しては、部分列が収束するケースと収束しないケースがともに起こり得ます。しかし、有界な数列に関しては、たとえそれが収束しない場合でも、必ず収束する部分列を持つことを上の命題は主張しています。

上の命題を利用すると、\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列についても同様の命題が成り立つことが示されます。

命題(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の一般化)
\(\mathbb{R} ^{n}\)における有界な点列は収束する部分列を持つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列が与えられたとき、それが収束するかどうかが分からない場合でも、有界であることさえ保証できれば、その点列から収束する部分列を取り出すことができます。ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理は一般のユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)においても成り立つということです。

次回はユークリッド空間におけるコーシー列について学びます。
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