ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の一般化

ユークリッド空間における点列に関してもボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理は成り立ちます。つまり、有界な点列は収束する部分列を持ちます。
ユークリッド空間 部分列 ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理
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収束する数列の部分列

ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)におけるある点列が収束するとき、その任意の部分列もまたもとの点列と同じ極限に収束します。証明は以下の通りです。

点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するものとし、その極限を\(\alpha \in \mathbb{R}^{n}\)で表します。これは、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が点\(\alpha _{k}\in \mathbb{R}\)へ収束することと必要十分です。ただし、\(\alpha _{k}\)は点\(\alpha \)の第\(k\)成分です。このとき、座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)の任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }^{\left( k\right) }\right\} \)もまた点\(\alpha _{k}\)へ収束しますが、これは点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)が点\(\alpha \)へ収束することと必要十分です。

命題(収束する点列の部分列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するとき、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{l\left( v\right) }=\lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、点列の部分列の中に収束するものが存在する場合でも、もとの点列は収束するとは限りません。以下の例から明らかです。

例(収束する部分列を持つ点列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \left( -1\right) ^{v},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられる\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)について考えます。この点列は収束しません(確認してください)。一方、この点列の部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)の中でも、一般項が、\begin{equation*}
x_{l\left( v\right) }=\left( x_{l\left( v\right) }^{\left( 1\right)
},x_{l\left( v\right) }^{\left( 2\right) }\right) =\left( 1,\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられるものに注目します。この部分列は極限\(\left( 1,0\right) \)へ収束します。したがって、収束する部分列を持つ点列は収束するとは限らないことが明らかになりました。

 

部分列を利用した点列の収束判定条件

繰り返しになりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束する場合、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)もまた点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)と同一の極限に収束します。この事実を踏まえると、点列の収束に関する様々な判定条件を導くことができます。まず、対偶より、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列の中に収束しないものが存在する場合、その点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束しません。

命題(点列が収束しないことの判定)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束しない部分列を持つならば、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束しない。
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したがって、与えられた点列が収束しないことを示すためには、収束しない部分列を見つければよいことになります。以下が具体例です。

例(点列が判定しないことの判定)
一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( -1\right) ^{v}+v
\end{equation*}で与えられる\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)について考えます。この点列の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)に注目します。つまり、その一般項は、\begin{equation*}
x_{l\left( v\right) }=1+v
\end{equation*}です。この部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)は収束しません。したがって、先の命題より、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束しません。

繰り返しになりますが、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束する場合、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)もまた点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)と同一の極限に収束します。したがって、対偶より、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が異なる極限へ収束する複数の部分列を持つ場合、その点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束しません。

命題(点列が収束しないことの判定)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束する複数の部分列を持ち、なおかつそれらの極限が異なるならば、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束しない。
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したがって、与えられた点列が収束しないことを示すためには、異なる極限へ収束する複数の部分列を見つければよいということになります。以下が具体例です。

例(点列が判定しないことの判定)
一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( -1\right) ^{v}+\frac{1}{v}
\end{equation*}で与えられる\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)について考えます。点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)に注目します。つまり、その一般項は、\begin{equation*}
x_{l\left( v\right) }=1+\frac{1}{v}
\end{equation*}です。この部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)は極限\(1\)へ収束します。点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の奇数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{k\left( v\right) }\right\} \)に注目します。つまり、その一般項は、\begin{equation*}
x_{k\left( v\right) }=-1+\frac{1}{v}
\end{equation*}です。この部分列\(\left\{ x_{k\left( v\right) }\right\} \)は極限\(-1\)へ収束します。つまり、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は異なる極限へ収束する複数の部分列を持つため、先の命題より、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束しません。

点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束することは分かっているものの、その極限が明らかになっていない状況を想定します。この場合、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の部分列は\(\left\{ x_{v}\right\} \)と同一の極限に収束することが保証されているため、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限を求める代わりに、何らかの部分列の極限を求めてもよいことになります。

命題(収束する点列の極限を特定する)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束し、なおかつその部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)が極限\(\alpha \in \mathbb{R}^{n}\)へ収束するならば、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限もまた\(\alpha \)である。
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つまり、点列が収束することが分かっている場合には、その極限を求めるために部分列の極限を特定してもよいということです。ちなみに、この条件はもとの点列が収束することが分かっている場合にのみ利用可能です。なぜなら、先に指摘したように、もとの点列が収束しない場合でもその部分列が収束することは有り得るからです。

 

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の一般化

収束する点列の任意の部分列は収束することが明らかになりましたが、収束しない点列の部分列の収束可能性に関してどのようなことが言えるでしょうか。一般に、収束しない点列に関しては、部分列が収束するケースと収束しないケースがともに起こり得ます。しかし、有界な点列に関しては、たとえそれが収束しない場合でも、必ず収束する部分列を持ちます。したがって、点列が与えられたとき、その点列が収束するかどうかが分からない場合でも、その点列が有界であることさえ保証できれば、その点列から収束する部分列を取り出すことができます。つまり、ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)上の点列に関してもボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理が成り立つということです。証明は以下の通りです。

\(\mathbb{R}^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が有界であるものとします。これは、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が有界であることと必要十分です。すると、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は収束する部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }^{\left( k\right) }\right\} \)を持ちますが、これは点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束する部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)を持つことと必要十分です。

命題(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の一般化)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)における有界な点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束する部分列を持つ。
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例(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の一般化)
一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \left( -1\right) ^{v},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられる\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)について考えます。それぞれの座標数列について、\begin{eqnarray*}
-1 &\leq &x_{v}^{\left( 1\right) }\leq 1 \\
0 &\leq &x_{v}^{\left( 2\right) }\leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は有界です。したがって、先の命題より、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束する部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)を持ちます。実際、一般項が、\begin{equation*}
x_{l\left( v\right) }=\left( x_{l\left( v\right) }^{\left( 1\right)
},x_{l\left( v\right) }^{\left( 2\right) }\right) =\left( 1,\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}でとして与えられる部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)は極限\(\left( 1,0\right) \)へ収束します。

点列が有界でない場合には先の命題を適用できません。つまり、有界でない点列に関しては、収束する部分列を持つ場合とそうでない場合の両方が起こり得ます。

例(有界ではない点列の部分列)
一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left[ \left( -1\right) ^{v}+1\right] v
\end{equation*}で与えられる\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は有界ではありません。この点列の部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)の中でも、一般項が、\begin{equation*}
x_{l\left( v\right) }=\left[ \left( -1\right) ^{2v+1}+1\right] \left(
2v+1\right)
\end{equation*}であるものに注目すると、この部分列は極限\(0\)に収束します。一方、一般項が、\begin{equation*}
y_{v}=v
\end{equation*}で与えられる\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)上の点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)もまた有界ではありませんが、その任意の部分列は収束しません。

次回はユークリッド空間におけるコーシー列について学びます。

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