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ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の一般化

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収束する点列の部分列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列が収束するとき、その任意の部分列もまたもとの点列と同じ極限に収束します。

命題(収束する点列の部分列)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束するとき、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{l\left( v\right) }=\lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、点列の部分列の中に収束するものが存在する場合でも、もとの点列は収束するとは限りません。以下の例から明らかです。

例(収束する部分列を持つ点列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \left( -1\right) ^{v},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の第1座標数列\(\left\{x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)は振動するため収束せず、したがって点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた収束しません。一方、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{2v}\right\} \)に注目すると、その一般項は、\begin{equation*}x_{2v}=\left( \left( -1\right) ^{2v},\frac{1}{2v}\right) =\left( 1,\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}であり、この部分列は点\(\left( 1,0\right) \)へ収束します。したがって、収束する部分列を持つ点列は収束するとは限らないことが明らかになりました。

 

部分列を利用した点列の収束判定

繰り返しになりますが、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束する場合、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right)}\right\} \)もまたもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)と同一の極限に収束します。この事実を踏まえると、点列の収束に関する様々な判定条件を導くことができます。まず、対偶より、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列の中に収束しないものが存在する場合、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた収束しません。

命題(点列が収束しないことの判定)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束しない部分列を持つならば、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束しない。

上の命題より、与えられた点列が収束しないことを示すためには、収束しない部分列を見つければよいことになります。以下が具体例です。

例(点列が判定しないことの判定)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \left( -1\right) ^{v}+v,\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{2v}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{2v}=\left( \left( -1\right) ^{2v}+2v,\frac{1}{2v}\right) =\left( 1+2v,\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}ですが、その第1座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)は有限な実数へ収束せず、したがって部分列\(\left\{ x_{2v}\right\} \)は収束しません。したがって先の命題よりもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた収束しません。

繰り返しになりますが、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束する場合、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right)}\right\} \)もまたもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)と同一の極限に収束します。したがって、対偶より、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束する複数の部分列を持つとともにそれらの極限が異なる場合、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束しません。

命題(数列が収束しないことの判定)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束する複数の部分列を持ち、なおかつそれらの極限が異なるならば、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束しない。

上の命題より、与えられた点列が収束しないことを示すためには、異なる極限へ収束する複数の部分列を見つければよいということになります。以下が具体例です。

例(点列が判定しないことの判定)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \left( -1\right) ^{v},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{2v}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{2v}=\left( \left( -1\right) ^{2v},\frac{1}{2v}\right) =\left( 1,\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}ですが、これは点\(\left(1,0\right) \)へ収束します。一方、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{2v-1}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{2v-1}=\left( \left( -1\right) ^{2v-1},\frac{1}{2v-1}\right) =\left( -1,\frac{1}{2v-1}\right)
\end{equation*}ですが、これは点\(\left(-1,0\right) \)へ収束します。点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が異なる極限へ収束する複数の部分列を持つことが明らかになったため、上の命題より、\(\left\{x_{v}\right\} \)は収束しません。

点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束することは分かっているものの、その極限が明らかになっていない状況を想定します。この場合、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の部分列は\(\left\{ x_{v}\right\} \)と同一の極限に収束することが保証されているため、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限を求めるかわりに、何らかの部分列の極限を求めてもよいことになります。

命題(収束する点列の極限を特定する)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束し、なおかつその部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)が極限\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するならば、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限もまた\(a\)である。

つまり、点列が収束することが分かっている場合には、その極限を求めるために部分列の極限を特定してもよいということです。ちなみに、この条件はもとの点列が収束することが分かっている場合にのみ利用可能です。なぜなら、先に指摘したように、もとの点列が収束しない場合でもその部分列が収束することは有り得るからです。

 

ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の一般化

収束する点列の任意の部分列は収束することが明らかになりましたが、収束するとは限らない点列の部分列の収束可能性に関してどのようなことが言えるでしょうか。一般に、収束するとは限らない点列に関しては、部分列が収束するケースと収束しないケースがともに起こり得ます。しかし、有界な点列に関しては、たとえそれが収束しない場合でも、必ず収束する部分列を持つことが保証されます。つまり、数列と同様、ユークリッド空間上の点列に関してもボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理(Bolzano-Weierstrauss thorem)が成り立つということです。

命題(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な点列は\(\mathbb{R} ^{n}\)の点へ収束する部分列を持つ。
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例(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \left( -1\right) ^{v},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。それぞれの座標数列について、\begin{eqnarray*}
-1 &\leq &x_{v}^{\left( 1\right) }\leq 1 \\
0 &\leq &x_{v}^{\left( 2\right) }\leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は有界です。したがって、先の命題より、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束する部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)を持ちます。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の偶数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{2v}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{2v}=\left( \left( -1\right) ^{2v},\frac{1}{2v}\right) =\left( 1,\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}ですが、これは点\(\left(1,0\right) \)へ収束します。

有界ではない点列に対してボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を適用することはできません。つまり、有界でない点列は、収束する部分列を持つとは限らないということです。

例(有界ではない点列の部分列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \left[ \left( -1\right) ^{v}+1\right] v,\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第1座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)は有界ではないため、\(\left\{x_{v}\right\} \)もまた有界ではありません。一方、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の奇数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{2v-1}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{2v-1}=\left( \left[ \left( -1\right) ^{2v-1}+1\right] \left( 2v-1\right) ,\frac{1}{2v-1}\right) =\left( 0,\frac{1}{2v-1}\right)
\end{equation*}ですが、これは点\(\left(0,0\right) \)へ収束します。これは収束する部分列を持つ非有界な点列の例です。
例(有界ではない点列の部分列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( v,v^{2}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列は有界ではありません。同時に、この点列の任意の部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)は収束しません。実際、この部分列の一般項は、\begin{equation*}x_{l\left( v\right) }=\left( l\left( v\right) ,\left( l\left( v\right)
\right) ^{2}\right)
\end{equation*}となりますが、部分列の定義より\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)は狭義の単調増加関数であるため、この部分列の2つの座標数列はともに正の無限大へ発散し、したがって有限な実数へ収束しません。つまり、この部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right)}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束しません。これは任意の部分列が収束しない非有界な点列の例です。

次回はユークリッド空間におけるコーシー列について学びます。

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