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ユークリッド空間における有界単調列の収束定理

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単調列は収束するとは限らない

以下の例から分かるように、単調列の中には収束するものとそうでないものがあります。

例(収束する単調列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(v\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}x_{v} &=&\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right) \quad \because \left\{
x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&\geq &\left( \frac{1}{v+1},\frac{1}{\left( v+1\right) ^{2}}\right) \quad
\because v\in \mathbb{N} \\
&=&x_{v+1}\quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{x_{v}\right\} \)は単調減少列です。加えて、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v^{2}}\right) \quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v^{2}}\right) \right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ x_{v}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束します。
例(収束しない単調列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( v,v^{2}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(v\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}x_{v} &=&\left( v,v^{2}\right) \quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&\leq &\left( v+1,\left( v+1\right) ^{2}\right) \quad \because v\in \mathbb{N} \\
&=&x_{v+1}\quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{x_{v}\right\} \)は単調増加列です。その一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left(
v,v^{2}\right) \quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }v,\lim_{v\rightarrow \infty
}v^{2}\right) \\
&=&\left( +\infty ,+\infty \right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ x_{v}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束しません。

 

有界な単調列は収束する

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の単調列の中には\(\mathbb{R} ^{n}\)の点へ収束するものと収束しないものの双方が存在することを確認しました。では、単調列が収束するための条件を特定することはできるのでしょうか。

点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は単調増加かつ上に有界であるものとします。これは任意の\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が単調増加かつ上に有界な数列であることと必要十分です。ただし、\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列です。すると、上に有界な単調増加数列の収束定理より\(\left\{x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は収束し、さらにその極限は、\begin{equation}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( k\right) }=\sup \left\{
x_{v}^{\left( k\right) }\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}となりますが、これは\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束し、さらにその極限が、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
n\right) }\right) \\
&=&\left( \sup \left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} ,\cdots ,\sup \left\{ x_{v}^{\left( n\right) }\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} \right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となることと必要十分です。

命題(上に有界な単調増加列は収束する)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の上に有界な単調増加列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束し、さらにその極限は、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \sup \left\{ x_{v}^{\left( 1\right)
}\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} ,\cdots ,\sup \left\{ x_{v}^{\left( n\right) }\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} \right)
\end{equation*}となる。

例(上に有界な単調増加列は収束する)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1-\frac{1}{v},2-\frac{2}{v^{2}}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(v\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{v}\leq \left( 1,2\right)
\end{equation*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
x_{v} &=&\left( 1-\frac{1}{v},2-\frac{2}{v^{2}}\right) \quad \because
\left\{ x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&\leq &\left( 1-\frac{1}{v+1},2-\frac{2}{\left( v+1\right) ^{2}}\right)
\quad \because v\in \mathbb{N} \\
&=&x_{v+1}\quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{x_{v}\right\} \)は上に有界な単調増加列です。すると上の命題よりこの点列は収束します。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{v},2-\frac{2}{v^{2}}\right) \quad \because \left\{ x_{v}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{2}{v^{2}}\right) \right) \\
&=&\left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}となります。

下に有界な単調減少列についても同様の命題が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

命題(下に有界な単調増加列は収束する)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の下に有界な単調減少列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束し、さらにその極限は、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \inf \left\{ x_{v}^{\left( 1\right)
}\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} ,\cdots ,\inf \left\{ x_{v}^{\left( n\right) }\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} \right)
\end{equation*}となる。

証明

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例(下に有界な単調減少列は収束する)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \frac{1}{v},\frac{2}{v^{2}}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(v\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left( 0,0\right) \leq x_{v}
\end{equation*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
x_{v} &=&\left( \frac{1}{v},\frac{2}{v^{2}}\right) \quad \because \left\{
x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&\geq &\left( \frac{1}{v+1},\frac{2}{\left( v+1\right) ^{2}}\right) \quad
\because v\in \mathbb{N} \\
&=&x_{v+1}\quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{x_{v}\right\} \)は下に有界な単調減少列です。すると上の命題よりこの点列は収束します。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{2}{v^{2}}\right) \quad \because \left\{ x_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{2}{v^{2}}\right) \right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

命題(有界単調列の収束定理)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な単調列は収束する。
証明

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次回からはユークリッド空間上の点列の部分列について解説します。

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