有界単調列の収束定理

実数の連続性より、上に有界な単調増加数列や下に有界な単調減少数列はいずれも収束しますが、これらの事実を利用すると、ユークリッド空間における点列に関しても、上に有界な単調増加列や下に有界な単調減少列が収束することを示すことができます。

有界単調列の収束定理

有界単調列と有界単調数列の関係

復習になりますが、\(\mathbb{R}\)における数列に関して以下の命題が成り立ちます。

命題(有界単調数列の収束定理)
\(\mathbb{R}\)が実数の公理を満たすとき、上に有界な単調増加数列や、下に有界な単調減少数列は収束する。
上の命題について復習する

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)が収束列である場合には常に有界である一方で、有界な点列\(\{x_{v}\}\)は収束するとは限らないことを以前に示しました。では、\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)が有界であるとともに単調増加列である場合には、上と同様の命題は成り立つでしょうか。

この問題について考える前に、\(\mathbb{R} ^{n}\)における有界単調列と、\(\mathbb{R}\)における有界単調数列の関係を整理します。そこで、\(\mathbb{R} ^{n}\)における上に有界な単調増加列\(\{x_{v}\}\)を任意に選びます。点列\(\{x_{v}\}\)の一般項は、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v},\cdots ,x_{n}^{v}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}という\(n\)次元ベクトルであるため、それぞれの番号\(k\in \{1,2,\cdots ,n\}\)に関して、\(x_{k}^{v}\)を一般項とする数列\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)が得られます。数列\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)は点列\(\{x_{v}\}\)の各項の第\(k\)成分からなる数列であり、点列\(\{x_{v}\}\)からはこのような数列が\(n\)個だけ得られるということです。

以前示したように、点列\(\{x_{v}\}\)が上に有界であることは、先の\(n\)個の数列がいずれも上に有界であることとして表現可能です。また、点列\(\{x_{v}\}\)が単調増加列であることは、先の\(n\)個の数列がいずれも単調増加数列であることとして表現可能です。したがって、数列\(\{x_{v}\}\)が上に有界な単調増加列であることは、先の\(n\)個の数列がいずれも上に有界な単調増加数列であることとして言い換え可能です。

命題(上に有界な単調増加列の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\{x_{v}\}\)が与えられたとき、その一般項\(x_{v}\)の第\(k\in \{1,2,\cdots ,n\}\)成分である\(x_{k}^{v}\)を一般項とする数列を\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)で表す。このとき、任意の\(k\in \{1,2,\cdots ,n\}\)に関する数列\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)が上に有界な単調増加数列であることは、点列\(\{x_{v}\}\)が上に有界な単調増加列であるための必要十分条件である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

下に有界な単調減少列についても同じような言い換えが可能です。

命題(下に有界な単調減少列の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\{x_{v}\}\)が与えられたとき、その一般項\(x_{v}\)の第\(k\in \{1,2,\cdots ,n\}\)成分である\(x_{k}^{v}\)を一般項とする数列を\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)で表す。このとき、任意の\(k\in \{1,2,\cdots ,n\}\)に関する数列\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)が下に有界な単調減少数列であることは、点列\(\{x_{v}\}\)が下に有界な単調減少列であるための必要十分条件である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

 

有界単調列の収束定理

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\{x_{v}\}\)が上に有界な単調増加列であるものとします。このとき、先の命題より、任意の\(k\in \{1,2,\cdots ,n\}\)に関する数列\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)は上に有界な単調増加数列です。すると、有界単調数列の収束定理より、任意の\(k\)について数列\(\{x_{k}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)は収束します。収束列と収束数列の関係より、これは点列\(\{x_{v}\}\)が収束することを意味します。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)における上に有界な単調増加列は収束することが示されました。

\(\mathbb{R} ^{n}\)における下に有界な単調増加列は収束することも同様にして示されます。

命題(有界単調列の収束定理)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、上に有界な単調増加列や、下に有界な単調減少列は収束する。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(有界単調列の収束定理)
\(2\)次元ユークリッド空間における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( \frac{1}{v},\frac{2}{3v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\{x_{1}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} },\{x_{2}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)がともに下に有界であることは点列\(\{x_{v}\}\)が下に有界であるための必要十分条件です。数列\(\{x_{1}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)に関しては、任意の\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{1}^{v}=\frac{1}{v}\geq 0
\end{equation*}が成り立つため下に有界です。もう一方の数列\(\{x_{2}^{v}\}\)についても、任意の\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{2}^{v}=\frac{2}{3v}\geq 0
\end{equation*}が成り立つため下に有界です。したがって\(\{x_{v}\}\)は下に有界です。また、数列\(\{x_{1}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} },\{x_{2}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)がともに単調減少数列であることは点列\(\{x_{v}\}\)が単調減少列であるための必要十分条件です。数列\(\{x_{1}^{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)に関しては、任意の\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{1}^{v}=\frac{1}{v}>\frac{1}{v+1}=x_{1}^{v+1}
\end{equation*}が成り立つため単調減少数列です。もう一方の数列\(\{x_{2}^{v}\}\)についても、任意の\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{2}^{v}=\frac{2}{3v}>\frac{2}{3\left( v+1\right) }=x_{2}^{v+1}
\end{equation*}が成り立つため下に有界です。したがって\(\{x_{v}\}\)は単調減少列です。\(\{x_{v}\}\)は下に有界な単調減少列であるため、先の命題よりこれは収束します。さらにその極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v,1},\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v,2}\right) \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{v},\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{2}{3v}\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。

次回からはユークリッド空間における部分列について学びます。
次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。
ログイン

アカウント
ログイン