実数の連続性より、上に有界な単調増加数列や下に有界な単調減少数列はいずれも収束しますが、これらの事実を利用すると、ユークリッド空間における点列に関しても、上に有界な単調増加列や下に有界な単調減少列が収束することを示すことができます。
有界単調列の収束定理
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単調列が収束するための条件

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列が収束列である場合には有界である一方、有界な点列は収束列であるとは限らないことを以前に示しました。一方、点列が有界であるとともに単調列である場合、その点列は収束します。証明は以下の通りです。

まず、\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が上に有界であるとともに単調増加であるものとします。これは、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が上に有界な単調増加数列であることと必要十分です。したがって、この数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は収束します。同様のことが任意の\(k\)について成立しますが、これは、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束し、なおかつその極限が、\begin{equation*}
\left( \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots
,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}であることと必要十分です。

命題(上に有界な単調増加列は収束する)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が上に有界な単調増加列であるならば、この点列は収束する。さらにその極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
n\right) }\right)
\end{equation*}を満たす。ただし、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)はもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列である。
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例(上に有界な単調増加列は収束する)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1-\frac{1}{v},1\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)に関しては、任意の番号\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( 1\right) }=1-\frac{1}{v}<1-\frac{1}{v+1}=x_{v+1}^{\left(
1\right) }
\end{equation*}が成り立つため、この数列は単調増加です。さらに、任意の番号\(v\)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( 1\right) }=1-\frac{1}{v}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため、この数列は上に有界です。第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)に関しては、任意の番号\(v\)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( 2\right) }=1=x_{v+1}^{\left( 2\right) }
\end{equation*}が成り立つため、この数列は単調増加です。さらに、任意の番号\(v\)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( 2\right) }=1\leq 1
\end{equation*}が成り立つため、この数列は上に有界です。以上より、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は上に有界な単調増加列であるため収束します。なお、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }1\right) \\
&=&\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}となります。

下に有界な単調減少列についても同様のことが成り立ちます。具体的には、\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が下に有界であるとともに単調減少であるものとします。これは、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が下に有界な単調減少数列であることと必要十分です。したがって、この数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は収束します。同様のことが任意の\(k\)について成立しますが、これは、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束し、なおかつその極限が、\begin{equation*}
\left( \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots
,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}であることと必要十分です。

命題(下に有界な単調減少列は収束する)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が下に有界な単調減少列であるならば、この点列は収束する。さらにその極限は、\begin{equation*}
\left( \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots
,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}を満たす。ただし、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)はもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列である。
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例(下に有界な単調減少列は収束する)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \frac{1}{v},\frac{2}{3v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)に関しては、任意の番号\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( 1\right) }=\frac{1}{v}>\frac{1}{v+1}=x_{v+1}^{\left( 1\right) }
\end{equation*}が成り立つため、この数列は単調減少です。さらに、任意の番号\(v\)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( 1\right) }=\frac{1}{v}\geq 0
\end{equation*}が成り立つため、この数列は下に有界です。したがって、この数列は収束します。第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)に関しては、任意の番号\(v\)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( 2\right) }=1=x_{v+1}^{\left( 2\right) }
\end{equation*}が成り立つため、この数列は単調増加です。さらに、任意の番号\(v\)について、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( 2\right) }=1\leq 1
\end{equation*}が成り立つため、この数列は上に有界です。したがって、この数列は収束します。以上より、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は下に有界な単調減少列であるため収束します。なお、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{v},\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{2}{3v}\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。

以上の2つの命題を踏まえると以下を得ます。

命題(有界単調列の収束定理)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における有界な単調列は収束する。

次回からはユークリッド空間における部分列について学びます。

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