コーシー列の収束定理

ユークリッド空間において、点列がコーシー列であることは、その点列が収束するための必要十分であることを示します。
コーシー列 基本列 収束列
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収束列はコーシー列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)が収束列であるならば、番号\(v\)を大きくしていくと項\(x_{v}\)がある点に限りなく近づいていきます。項\(x_{v}\)がある点に限りなく近づくのであれば、項の変化が限りなく小さくなっていきそうです。つまり、直感的に考えると、収束列はコーシー列でもありそうです。

実際、収束列は常にコーシー列です。点列\(\{x_{v}\}\)が収束列であるならば、その極限に相当する点\(\alpha \in \mathbb{R} ^{n}\)が存在して、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow d\left( x_{v},\alpha \right) <\tfrac{\varepsilon
}{2}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、上の番号\(N\)に対して\(m,n\geq N\)を満たす番号\(m,n\in \mathbb{N} \)を任意に選べば、\begin{eqnarray*}
d\left( x_{m},\alpha \right) &<&\frac{\varepsilon }{2} \\
d\left( x_{n},\alpha \right) &<&\frac{\varepsilon }{2}
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。したがって、\(m,n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\)に関する項\(x_{m},x_{n}\)の距離に関して、\begin{align*}
d\left( x_{m},x_{n}\right) & \leq d\left( x_{m},\alpha \right) +d\left(
x_{n},\alpha \right) \\
& \leq \frac{\varepsilon }{2}+\frac{\varepsilon }{2} \\
& =\varepsilon
\end{align*}となるため\(\{x_{v}\}\)はコーシー列です。以上の結果を命題としてまとめておきます。

命題(収束列はコーシー列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、収束列はコーシー列である。
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コーシー列は収束列

収束列はコーシー列であることが明らかになりましたが、逆に、コーシー列は必ず収束するでしょうか。順番に考えてきましょう。

一般に、点列\(\{x_{v}\}\)が収束する場合には、その任意の部分列\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)もまた収束列であり、それはもとの収束列\(\{x_{v}\}\)と同じ極限へ収束します。一方、点列\(\{x_{v}\}\)が収束しない場合には、たとえその部分列\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)が収束する場合でも、もとの点列\(\{x_{v}\}\)は収束するとは限りません。

現状、コーシー列\(\{x_{v}\}\)が収束することは明らかになっていないため(むしろ、コーシー列が収束することを示すことが現在の目標)、上の一般論にしたがうならば、仮にコーシー列\(\{x_{v}\}\)が収束する部分列\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)を持っている場合でも、もとのコーシー列\(\{x_{v}\}\)が収束することは保証できないはずです。しかし、コーシー列\(\{x_{v}\}\)に話を限定する場合には、\(\{x_{v}\}\)が収束することを前提にせずとも、以下の命題が成り立ちます。

命題(コーシー列と部分列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、コーシー列\(\{x_{v}\}\)が収束する部分列\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)を持ち、それが点\(\alpha \in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するならば、コーシー列\(\{x_{v}\}\)自身もまた\(\alpha \)へ収束する。
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上の命題を踏まえると、コーシー列が収束することを示すためには、コーシー列が収束する部分列を持つことを示せばよいことになります。これを示すためには一般化されたボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理を利用します。

命題(ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、有界な点列は収束する部分列を持つ。
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すでに示したようにコーシー列は有界であるため、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理より、コーシー列は収束する部分列を持ちます。

命題(コーシー列の部分列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、コーシー列は収束する部分列を持つ。
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したがって、コーシー列が収束することが示されました。

命題(コーシー列は収束する)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、コーシー列は収束する。

コーシー列の定義は点列の極限については何も述べてはいません。項の番号を大きくしていくと項の変化がどこまでも小さくなっていく点列をコーシー列と定めているだけです。しかし、ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理の土台にある実数の連続性を公理として認める場合には、コーシー列が収束することを保証できるというわけです。

 

コーシー列を用いた収束性の判定

収束列はコーシー列であるとともに、コーシー列は収束することが示されました。したがって以下が成り立ちます。

命題(コーシー列と収束列の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、点列\(\{x_{v}\}\)がコーシー列であることは、\(\{x_{v}\}\)が収束列であるための必要十分条件である。

この命題の意味を考えておきましょう。点列\(\{x_{v}\}\)が与えられたとき、それが収束列であるかどうかを判定できない、もしくはその判定が難しい場合でも、\(\{x_{v}\}\)がコーシー列であることさえ示すことができれば、上の命題より\(\{x_{v}\}\)が収束列であることが保証されます。

さらに、一般の収束列と同様に、コーシー列が収束する部分列を持つ場合には、コーシー列自身がその部分列と同じ極限に収束します。したがって、コーシー列\(\{x_{v}\}\)の部分列の極限さえ求められれば\(\{x_{v}\}\)は収束列であることを保証できると同時に、その極限もまた判明します。

次回からユークリッド空間における位相について解説します。

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