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収束する点列と有界性

有界な点列

復習になりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合\(A\)について、\(\mathbb{R} ^{n}\)ある点\(U\)が\(A\)の任意の点以上である場合には、つまり、\begin{equation*}
\exists U\in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in A:x\leq U
\end{equation*}が成り立つならば、\(U\)を\(A\)の上界と呼びます。また、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つとき、\(A\)は上に有界であると言います。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation}
\left\{ x_{v}\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ v\in \mathbb{N}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}は\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合であるため、上に有界であるか否かを検討することができます。\(\left( 1\right) \)が上に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}
\exists U\in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall v\in \mathbb{N}:x_{v}\leq U
\end{equation*}が成り立つとき、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は上に有界である(bounded from above)であると言います。また、\(\left( 1\right) \)の上界を点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の上界(upper bound)と呼びます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が上に有界であるものとし、その上界\(U\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)における順序\(\leq \)の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{v}^{\left( k\right) }\leq U_{k}
\end{equation*}が成り立つこととして言い換えることができます。ただし、\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列であり、\(U_{k}\)は点\(U\)の第\(k\)成分に相当する実数です。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列が上に有界であることと、その任意の座標数列が上に有界であることは必要十分です。したがって、ユークリッド空間における上に有界な点列に関する議論は、上に有界な数列に関する議論に置き換えることができます。

命題(上に有界な点列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が上に有界であることと、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が上に有界であることは必要十分である。
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例(上に有界な点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の座標数列である\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)と\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)は、任意の\(v\in \mathbb{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}
x_{1}^{\left( 1\right) } &=&1+\frac{1}{2v}\leq \frac{3}{2} \\
x_{2}^{\left( 2\right) } &=&2-\frac{1}{2v}\leq 2
\end{eqnarray*}を満たすため、これらはともに上に有界です。したがって先の命題より、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた上に有界です。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の少なくとも1つの座標数列が上に有界でないとき、上の命題より、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は上に有界ではありません。

例(上に有界な点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2v\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)は上に有界ではないため、先の命題より、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた上に有界ではありません。

復習になりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合\(A\)について、\(\mathbb{R} ^{n}\)ある点\(L\)が\(A\)の任意の点以下である場合には、つまり、\begin{equation*}
\exists L\in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in A:L\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(L\)を\(A\)の下界と呼びます。また、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が下界を持つとき、\(A\)は下に有界であると言います。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation}
\left\{ x_{v}\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ v\in \mathbb{N}\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}は\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合であるため、下に有界であるか否かを検討することができます。\(\left( 1\right) \)が下に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}
\exists L\in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall v\in \mathbb{N}:L\leq x_{v}
\end{equation*}が成り立つとき、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は下に有界である(bounded from below)であると言います。また、\(\left( 1\right) \)の下界を点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の下界(lower bound)と呼びます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が下に有界であるものとし、その下界\(L\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)における順序\(\leq \)の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :L_{k}\leq x_{v}^{\left( k\right) }
\end{equation*}が成り立つこととして言い換えることができます。ただし、\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列であり、\(L_{k}\)は点\(L\)の第\(k\)成分に相当する実数です。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列が下に有界であることと、その任意の座標数列が下に有界であることは必要十分です。したがって、ユークリッド空間における下に有界な点列に関する議論は、下に有界な数列に関する議論に置き換えることができます。

命題(下に有界な点列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が下に有界であることと、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が下に有界であることは必要十分である。
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例(下に有界な点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の座標数列である\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)と\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)は、任意の\(v\in \mathbb{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}
1 &\leq &1+\frac{1}{2v}=x_{1}^{\left( 1\right) } \\
\frac{3}{2} &\leq &2-\frac{1}{2v}=x_{2}^{\left( 2\right) }
\end{eqnarray*}を満たすため、これらはともに下に有界です。したがって先の命題より、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた下に有界です。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の少なくとも1つの座標数列が下に有界でないとき、上の命題より、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は下に有界ではありません。

例(下に有界な点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},-2v\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)は下に有界ではないため、先の命題より、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた下に有界ではありません。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が上に有界かつ下に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}
\exists U\in
\mathbb{R} ^{n},\ \exists L\in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall v\in \mathbb{N}:L\leq x_{v}\leq U
\end{equation*}が成り立つとき、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は有界(bounded)であると言います。

点列と座標数列の有界性に関する先の2つの命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列の有界性を座標数列の有界性として以下のように特徴づけることができます。

命題(有界な点列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が有界であることと、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が有界であることは必要十分である。
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例(有界な点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の座標数列である\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)と\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)は、任意の\(v\in \mathbb{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}
1 &\leq &x_{1}^{\left( 1\right) }\leq \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} &\leq &x_{2}^{\left( 2\right) }\leq 2
\end{eqnarray*}を満たすため、これらはともに有界です。したがって先の命題より、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた有界です。

 

収束する点列は有界

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するものとします。これは任意の座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が収束することと必要十分です。一般に、収束する数列は有界であるため、この場合、任意の座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は有界ですが、これは点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が有界であることと必要十分です。したがって、収束する点列は上に有界であることが明らかになりました。

命題(収束する点列は有界)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の収束する点列は有界である。
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例(収束する点列は有界)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{2v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{2v}\right) \right) \\
&=&\left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束します。したがって、上の命題より、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は有界です。実際、任意の\(v\in \mathbb{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}
1 &\leq &x_{1}^{\left( 1\right) }\leq \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} &\leq &x_{2}^{\left( 2\right) }\leq 2
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{ x_{v}\right\} \)は確かに有界です。

 

有界な点列は収束するとは限らない

収束する点列は有界であることが明らかになりました。対偶より、有界ではない点列は収束しません。例えば、正の無限大や負の無限大に発散する数列を座標数列として持つ点列は有界ではなく、したがって収束しません。

逆に、有界な点列は収束するのでしょうか。以下の例が示唆するように、有界な点列は収束するとは限りません。

例(有界な点列は収束するとは限らない)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \left( -1\right) ^{v},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(v\in \mathbb{N}\)について、\begin{eqnarray*}
-1 &\leq &x_{v}^{\left( 1\right) }\leq 1 \\
0 &\leq &x_{v}^{\left( 2\right) }\leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)と第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)はともに有界です。したがって、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は有界です。一方、第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)は振動するため収束せず、したがって点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束しません。

次回は収束する点列のスカラー倍として定義される点列もまた収束することを示します。

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