収束する点列と有界性

ユークリッド空間における点列が上に有界であること、下に有界であること、そして有界であることの意味を定義します。収束する点列は常に有界ですが、有界な点列は収束するとは限りません。
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有界な点列

復習になりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)のある点\(U\)が\(A\)の任意の点以上である場合には、つまり、\begin{equation*}
\exists U\in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in A:x\leq U
\end{equation*}が成り立つならば、\(U\)を\(A\)の上界と呼びます。また、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つとき、\(A\)は上に有界であると言います。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation}
\left\{ x_{v}\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} \tag{1}
\end{equation}は\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合であるため、上に有界であるか否かを検討することができます。\(\left( 1\right) \)が上に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}
\exists U\in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq U
\end{equation*}が成り立つとき、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は上に有界である(bounded from above)であると言います。また、\(\left( 1\right) \)の上界を点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の上界(upper bound)と呼びます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が上に有界であるものとし、その上界\(U\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)における順序\(\leq \)の定義を踏まえると、このとき、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{v}^{\left( k\right) }\leq U_{k}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(x_{v}^{\left( k\right) }\)は点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項\(x_{v}\)の第\(k\)成分であり、\(U_{k}\)は点\(U\)の第\(k\)成分です。これは、任意の\(k\)について、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が上に有界であることを意味します。この逆もまた成り立ちます。つまり、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のすべての座標数列が上に有界であるとき、\(\left\{ x_{v}\right\} \)は上に有界です(演習問題にします)。

命題(上に有界な点列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が上に有界であることと、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が上に有界であることは必要十分である。
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以上の命題により、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が上に有界であることは、その点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のそれぞれの座標数列が上に有界であることとして特徴づけられることが明らかになりました。したがって、ユークリッド空間における上に有界な点列に関する議論は、上に有界な数列に関する議論に置き換えることができます。

例(上に有界な点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられたとき、任意の\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}
x_{1}^{\left( 1\right) } &=&1+\frac{1}{2v}\leq \frac{3}{2} \\
x_{2}^{\left( 2\right) } &=&2-\frac{1}{2v}\leq 2
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)と第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)はともに上に有界であるとともに、\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた上に有界です。
例(上に有界な点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2v\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)は上に有界ではないため、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた上に有界ではありません。

復習になりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)のある点\(L\)が\(A\)の任意の要素以下である場合には、つまり、\begin{equation*}
\exists L\in \mathbb{R} ^{n},\ \forall x\in A:L\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(L\)を\(A\)の下界と呼びます。また、\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)が下界を持つとき、\(A\)は下に有界であると言います。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のすべての項からなる集合\begin{equation}
\left\{ x_{v}\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ v\in \mathbb{N} \right\} \tag{2}
\end{equation}は\(\mathbb{R} ^{n}\)の空ではない部分集合であるため、下に有界であるか否かを検討することができます。\(\left( 2\right) \)が下に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}
\exists L\in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall v\in \mathbb{N} :L\leq x_{v}
\end{equation*}が成り立つとき、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は下に有界である(bounded from below)であると言います。また、\(\left( 1\right) \)の下界を点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の下界(lower bound)と呼びます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が下に有界であるものとし、その下界\(L\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。\(\mathbb{R} ^{n}\)における順序\(\leq \)の定義を踏まえると、このとき、\begin{equation*}
\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :L_{k}\leq x_{v}^{\left( k\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(x_{v}^{\left( k\right) }\)は点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項\(x_{v}\)の第\(k\)成分であり、\(L_{k}\)は点\(L\)の第\(k\)成分です。これは、任意の\(k\)について、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が下に有界であることを意味します。この逆もまた成り立ちます。つまり、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のすべての座標数列が下に有界であるとき、\(\left\{ x_{v}\right\} \)は下に有界です(演習問題にします)。

命題(下に有界な点列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が下に有界であることと、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が下に有界であることは必要十分である。
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以上の命題により、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が下に有界であることは、その点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のそれぞれの座標数列が下に有界であることとして特徴づけられることが明らかになりました。したがって、ユークリッド空間における下に有界な点列に関する議論は、下に有界な数列に関する議論に置き換えることができます。

例(下に有界な点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられたとき、任意の\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}
1 &\leq &1+\frac{1}{2v}=x_{1}^{\left( 1\right) } \\
\frac{3}{2} &\leq &2-\frac{1}{2v}=x_{2}^{\left( 2\right) }
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)と第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)はともに下に有界であるとともに、\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた下に有界です。
例(下に有界な点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},-2v\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)は下に有界ではないため、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた下に有界ではありません。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が上に有界かつ下に有界であるとき、すなわち、\begin{equation*}
\exists U\in
\mathbb{R} ^{n},\ \exists L\in
\mathbb{R} ^{n},\ \forall v\in \mathbb{N} :L\leq x_{v}\leq U
\end{equation*}が成り立つとき、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は有界(bounded)であると言います。

点列と座標数列の関係に関する先の2つの命題より、以下が導かれます。

命題(有界な点列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が有界であることと、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が有界であることは必要十分である。
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例(有界な点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられたとき、任意の\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}
1 &\leq &x_{1}^{\left( 1\right) }\leq \frac{3}{2} \\
\frac{3}{2} &\leq &x_{2}^{\left( 2\right) }\leq 2
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)と第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)はともに有界であるとともに、\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた有界です。

 

距離を用いた有界点列の表現

復習になりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が有界であることを距離を用いて以下のように表現することもできます。

命題(距離を用いた有界性の表現)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
\exists y\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:d\left( x,y\right) \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
この命題について復習する

上の命題を踏まえると、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が有界であること、すなわち、\(\left\{ x_{v}\right\} \)のすべての項からなる集合が有界であることは、\begin{equation*}
\exists y\in \mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon \in \mathbb{R} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :d\left( x_{v},y\right) \leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つこととして表現可能です。つまり、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の項との距離が有限であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)の点が存在することと\(\left\{ x_{v}\right\} \)が有界であることは必要十分です。

やはり復習になりますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が有界であることを以下のように表現することもできます。

命題(距離を用いた有界性の表現)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の非空な部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
\exists \delta \in \mathbb{R} ,\ \forall x,x^{\prime }\in A:d\left( x,x^{\prime }\right) \leq \delta
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が有界であるための必要十分条件である。
この命題について復習する

上の命題を踏まえると、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が有界であること、すなわち、\(\left\{ x_{v}\right\} \)のすべての項からなる集合が有界であることは、\begin{equation*}
\exists \delta \in \mathbb{R} ,\ \forall v,v^{\prime }\in \mathbb{N} :d\left( x_{v},x_{v^{\prime }}\right) \leq \delta
\end{equation*}が成り立つこととして表現可能です。つまり、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の2つの項の間の距離がある有限な実数以下になることと\(\left\{ x_{v}\right\} \)が有界であることは必要十分です。

 

収束する点列は有界

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が収束するものとし、その極限を\(\alpha =\left( \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)で表します。これは、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が実数\(\alpha _{k}\)へ収束することと必要十分です。収束する数列は有界であるため、このとき、それぞれの\(k\)に関する座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は上に有界ですが、先に示したように、これは点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が上に有界であることと必要十分です。したがって以下の命題が得られます。

命題(収束する点列は有界)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における収束する点列は有界である。
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例(収束する点列は有界)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられたとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{2v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2-\frac{1}{2v}\right) \right) \\
&=&\left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束します(確認してください)。したがって、上の命題より、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は有界です。実際、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が有界であることは先の例で示した通りです。

 

有界な点列は収束するとは限らない

収束する点列は有界であることが明らかになりました。対偶より、有界ではない点列は収束しません。例えば、正の無限大や負の無限大に発散する数列を座標数列として持つ点列は有界ではなく、したがって収束しません。

逆に、有界な点列は収束するのでしょうか。以下の例が示唆するように、有界な点列は収束するとは限りません。

例(有界な点列は収束するとは限らない)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \left( -1\right) ^{v},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(v\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}
-1 &\leq &x_{v}^{\left( 1\right) }\leq 1 \\
0 &\leq &x_{v}^{\left( 2\right) }\leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため(確認してください)、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)と第\(2 \)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)はともに有界です。したがって、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は有界です。一方、第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)は振動するため収束せず、したがって点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束しません。

次回は点列どうしの演算と収束性の関係について学びます。

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