ユークリッド空間における点列のスカラー倍とスカラー商、および点列どうしのベクトル和とベクトル差を定義します。収束する点列が与えられたとき、そのスカラー倍やスカラー商、ベクトル和やベクトル差などはいずれも収束します。

点列のスカラー倍 点列のスカラー商 点列のベクトル和 点列のベクトル差

収束列のスカラー倍の極限

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R}\)における数列に関して以下の命題が成り立ちます。

命題(収束列の定数倍の極限)
\(\mathbb{R}\)における収束列\(\{x_{v}\}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\{c\cdot x_{v}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{v}\right) =c\cdot \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}
\end{equation*}を満たす。
上の命題について復習する

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)と実数\(c\)が与えられたとき、この点列の一般項\(v_{v}\)をスカラー\(c\)倍して得られる\(c\cdot x_{v}\)を一般項とする新たな点列\(\{c\cdot x_{v}\}\)を構成できます。つまり、点列\(\{x_{v}\}\)の一般項を成分を明示する形で\(x_{v}=\left( x_{1}^{v},\cdots ,x_{n}^{v}\right) \)で表すとき、点列\(\{c\cdot x_{v}\}\)の一般項は、\begin{equation*}
c\cdot x_{v}=\left( c\cdot x_{1}^{v},\cdots ,c\cdot x_{n}^{v}\right)
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(\cdot \)はスカラー倍を表す記号であるのに対し、右辺中の\(\cdot \)はいずれも実数どうしの積を表す記号です。このような\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列についても先と同様の命題が成り立つことが、先の命題を利用することにより証明可能です。

命題(収束列のスカラー倍の極限)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)における収束列\(\{x_{v}\}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、点列\(\{c\cdot x_{v}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{v}\right) =c\cdot \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}
\end{equation*}を満たす。特に\(c=-1\)の場合には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( -x_{v}\right) =-\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}
\end{equation*}となる。
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上の命題より、点列\(\{x_{v}\}\)が収束することが分かっている場合には、点列\(\{c\cdot x_{v}\}\)が収束することをわざわざ証明する必要はありません。しかも、\(\{c\cdot x_{v}\}\)の極限を得るためには\(\{x_{v}\}\)の極限のスカラー\(c\)倍をとればよいのです。

例(収束列のスカラー倍の極限)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が\(x_{v}=2-\frac{1}{v}\)で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(2\)です。さらに、一般項が\(y_{v}=\frac{1}{2}\cdot x_{v} \)で与えられる点列\(\{y_{v}\}\)を構成すると、上の命題より\(\{y_{v}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2}\cdot x_{v}\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left( \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\right) \quad \because \text{収束列のスカラー倍の極限} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 2 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
例(収束列のスカラー倍の極限)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(\left( 1,2\right) \)です。さらに、一般項が\(y_{v}=\frac{1}{4}\cdot x_{v}\)で与えられる点列\(\{y_{v}\}\)を構成すると、上の命題より\(\{y_{v}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{4}\cdot x_{v}\right) \\
&=&\frac{1}{4}\left( \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\right) \quad \because \text{収束列のスカラー倍の極限} \\
&=&\frac{1}{4}\cdot \left( 1,2\right) \\
&=&\left( \frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

収束列のベクトル和の極限

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R}\)における数列に関して以下の命題が成り立ちます。

命題(収束列の和の極限)
\(\mathbb{R}\)における収束列\(\{x_{v}\},\{y_{v}\}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\{x_{v}+y_{v}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}+y_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}を満たす。
上の命題について復習する

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\},\{y_{v}\}\)が与えられたとき、この点列の一般項\(x_{v},y_{v}\)のベクトル和\(x_{v}+y_{v}\)を一般項とする新たな点列\(\{x_{v}+y_{v}\}\)を構成できます。つまり、点列\(\{x_{v}\},\{y_{v}\}\)の一般項を成分を明示する形で\(x_{v}=\left( x_{1}^{v},\cdots ,x_{n}^{v}\right) ,\ y_{v}=\left( y_{1}^{v},\cdots ,y_{n}^{v}\right) \)でそれぞれ表すとき、点列\(\{x_{v}+y_{n}\}\)の一般項は、\begin{equation*}
x_{v}+y_{n}=\left( x_{1}^{v}+y_{1}^{v},\cdots ,x_{n}^{v}+y_{n}^{v}\right)
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(+\)はベクトル和を表す記号であるのに対し、右辺中の\(\cdot \)はいずれも実数どうしの和を表す記号です。このような\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列についても先と同様の命題が成り立つことが、先の命題を利用することにより証明可能です。

命題(収束列のベクトル和の極限)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)における収束列\(\{x_{v}\},\{y_{v}\}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、点列\(\{x_{v}+y_{v}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}+y_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}を満たす。
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上の命題より、点列\(\{x_{v}\},\{y_{v}\}\)がともに収束することが分かっている場合には、点列\(\{x_{v}+y_{v}\}\)が収束することをわざわざ証明する必要はありません。しかも、\(\{x_{v}+y_{v}\}\)の極限を得るためには\(\{x_{v}\}\)の極限と\(\{y_{v}\}\)の極限のベクトル和をとればよいのです。

例(収束列のベクトル和の極限)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が\(x_{v}=2-\frac{1}{v}\)で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(2\)です。また、同じく\(\mathbb{R}\)における点列\(\{y_{v}\}\)の一般項が\(y_{v}=\frac{v+1}{v-1}\)で与えられるとき、この点列もまた収束列であり、その極限は\(1\)です。そこで、一般項が\(x_{v}+y_{v}\)で与えられる\(\mathbb{R}\)の点列\(\{x_{v}+y_{v}\}\)を構成すると、上の命題よりこの点列は収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}+y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad \because \text{収束列のベクトル和の極限} \\
&=&2+1 \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。さらに、一般項が\(2x_{v}+3y_{v}\)で与えられる\(\mathbb{R}\)の点列\(\{2x_{v}+3y_{v}\}\)を構成すると、上の命題と収束列のスカラー倍の極限に関する命題よりこの点列は収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2x_{v}+3y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2x_{v}\right) +\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 3y_{v}\right) \quad \because \text{収束列のベクトル和の極限} \\
&=&2\cdot \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}+3\cdot \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad \because \text{収束列のスカラー倍の極限} \\
&=&2\cdot 2+3\cdot 1 \\
&=&7
\end{eqnarray*}となります。
例(収束列のベクトル和の極限)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(\left( 1,2\right) \)です。また、同じく\(\mathbb{R}^{2}\)における点列\(\{y_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
y_{v}=\left( y_{1}^{v},y_{2}^{v}\right) =\left( \frac{v+1}{v-1},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(\left( 1,0\right) \)です。そこで、一般項が\(x_{v}+y_{v}\)で与えられる\(\mathbb{R}^{2}\)の点列\(\{x_{v}+y_{v}\}\)を構成すると、上の命題よりこの点列は収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}+y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad \because \text{収束列のベクトル和の極限} \\
&=&\left( 1,2\right) +\left( 1,0\right) \\
&=&\left( 2,2\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

収束列のベクトル差の極限

復習になりますが、実数空間\(\mathbb{R}\)における数列に関して以下の命題が成り立ちます。

命題(収束列の差の極限)
\(\mathbb{R}\)における収束列\(\{x_{v}\},\{y_{v}\}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、数列\(\{x_{v}-y_{v}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}-y_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}-\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}を満たす。
上の命題について復習する

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\},\{y_{v}\}\)が与えられたとき、この点列の一般項\(x_{v},y_{v}\)のベクトル差\(x_{v}-y_{v}\)を一般項とする新たな点列\(\{x_{v}-y_{v}\}\)を構成できます。つまり、点列\(\{x_{v}\},\{y_{v}\}\)の一般項を成分を明示する形で\(x_{v}=\left( x_{1}^{v},\cdots ,x_{n}^{v}\right) ,\ y_{v}=\left( y_{1}^{v},\cdots ,y_{n}^{v}\right) \)でそれぞれ表すとき、点列\(\{x_{v}-y_{n}\}\)の一般項は、\begin{equation*}
x_{v}-y_{n}=\left( x_{1}^{v}-y_{1}^{v},\cdots ,x_{n}^{v}-y_{n}^{v}\right)
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(-\)はベクトル差を表す記号であるのに対し、右辺中の\(-\)はいずれも実数どうしの差を表す記号です。このような\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列についても先と同様の命題が成り立つことが、先の命題を利用することにより証明可能です。

命題(収束列のベクトル差の極限)
ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)における収束列\(\{x_{v}\},\{y_{v}\}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、点列\(\{x_{v}-y_{v}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}-y_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}-\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}を満たす。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題より、点列\(\{x_{v}\},\{y_{v}\}\)がともに収束することが分かっている場合には、点列\(\{x_{v}-y_{v}\}\)が収束することをわざわざ証明する必要はありません。しかも、\(\{x_{v}-y_{v}\}\)の極限を得るためには\(\{x_{v}\}\)の極限と\(\{y_{v}\}\)の極限のベクトル差をとればよいのです。

例(収束列のベクトル差の極限)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が\(x_{v}=2-\frac{1}{v}\)で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(2\)です。また、同じく\(\mathbb{R}\)における点列\(\{y_{v}\}\)の一般項が\(y_{v}=\frac{v+1}{v-1}\)で与えられるとき、この点列もまた収束列であり、その極限は\(1\)です。そこで、一般項が\(x_{v}-y_{v}\)で与えられる\(\mathbb{R}\)の点列\(\{x_{v}-y_{v}\}\)を構成すると、上の命題よりこの点列は収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}-y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}-\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad \because \text{収束列のベクトル差の極限} \\
&=&2-1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。さらに、一般項が\(2x_{v}-3y_{v}\)で与えられる\(\mathbb{R}\)の点列\(\{2x_{v}-3y_{v}\}\)を構成すると、上の命題と収束列のスカラー倍の極限に関する命題よりこの点列は収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2x_{v}-3y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2x_{v}\right) -\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 3y_{v}\right) \quad \because \text{収束列のベクトル差の極限} \\
&=&2\cdot \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}-3\cdot \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad \because \text{収束列のスカラー倍の極限} \\
&=&2\cdot 2-3\cdot 1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
例(収束列のベクトル差の極限)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(\left( 1,2\right) \)です。また、同じく\(\mathbb{R}^{2}\)における点列\(\{y_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
y_{v}=\left( y_{1}^{v},y_{2}^{v}\right) =\left( \frac{v+1}{v-1},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(\left( 1,0\right) \)です。そこで、一般項が\(x_{v}-y_{v}\)で与えられる\(\mathbb{R}^{2}\)の点列\(\{x_{v}-y_{v}\}\)を構成すると、上の命題よりこの点列は収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}-y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}-\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad \because \text{収束列のベクトル差の極限} \\
&=&\left( 1,2\right) -\left( 1,0\right) \\
&=&\left( 0,2\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

本節の含意

本節において示した諸命題を利用すれば、収束列の極限を導出する際にわざわざイプシロン・デルタ論法に立ち戻って証明する必要がなくなるため、手間を大幅に省くことができます。

例えば、ユークリッド空間\(\mathbb{R}^{n}\)における点列\(\{x_{v}\},\{y_{v}\},\{z_{v}\}\)が与えられたとき、一般項が、\begin{equation*}
\frac{2\cdot x_{v}-y_{v}+z_{v}}{5}
\end{equation*}で与えられる新たな\(\mathbb{R}^{n}\)における点列\(\{\frac{2\cdot x_{v}-y_{v}+z_{v}}{5}\}\)について考えます。イプシロン・デルタ論法にもとづいてこの点列の極限を求めるためには、極限の候補として最初に何らかの点\(\alpha \in \mathbb{R}^{n}\)を設定した上で、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N},\ \forall v\in \mathbb{N}:\left( v\geq N\ \Rightarrow \left\Vert \frac{2\cdot x_{v}-y_{v}+z_{v}}{5}-\alpha \right\Vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを証明する必要があります。一方、\(\{x_{v}\},\{y_{v}\},\{z_{v}\}\)の極限がそれぞれ分かっている場合には、本節で示した諸命題を用いて、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{2\cdot x_{v}-y_{v}+z_{v}}{5}\right) =\frac{2\cdot \lim\limits_{v\rightarrow \infty
}x_{v}-\lim\limits_{v\rightarrow \infty }y_{v}+\lim\limits_{v\rightarrow
\infty }z_{v}}{5}
\end{equation*}と簡単に極限を求めることができます。

次回は点列どうしの順序と収束性の関係について学びます。
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