ユークリッド空間において、収束する点列が与えられたとき、そのスカラー倍やスカラー商、ベクトル和やベクトル差などはいずれも収束します。
点列のスカラー倍 点列のスカラー商 点列のベクトル和 点列のベクトル差

収束する点列のスカラー倍の極限

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項\(x_{v}\)をスカラー\(c\)倍して得られる\(c\cdot x_{v}\)を一般項とする新たな点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)を構成できます。つまり、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項\(x_{v}\)をその成分を明示する形で\(x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \)と表すとき、点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}
c\cdot x_{v}=\left( c\cdot x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,c\cdot
x_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(\cdot \)はスカラー倍を表す記号であるのに対し、右辺中の\(\cdot \)はいずれも実数どうしの積を表す記号です。

点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が点\(\alpha =\left( \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\right) \)に収束するものとします。これは、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が実数\(\alpha _{k}\)へ収束することと必要十分です。数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が実数\(\alpha _{k}\)へ収束するとき、数列\(\left\{ c\cdot x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は実数\(c\cdot \alpha _{k}\)へ収束します。これはそれぞれの\(k\)について成り立つため、結局、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は点\(c\cdot \alpha =\left( c\cdot \alpha _{1},\cdots ,c\cdot \alpha _{n}\right) \)へ収束します。したがって以下の命題が得られます。

命題(収束する点列のスカラー倍の極限)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における収束列\(\left\{ x_{v}\right\} \)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、点列\(\left\{ c\cdot x_{v}\right\} \)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( c\cdot x_{v}\right) =c\cdot
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}
\end{equation*}となる。
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上の命題より、点列\(\{x_{v}\}\)が収束することが分かっている場合には、点列\(\{c\cdot x_{v}\}\)が収束することを収束点列の定義にもとづいてわざわざ証明する必要はありません。しかも、点列\(\{c\cdot x_{v}\}\)の極限を得るためには点列\(\{x_{v}\}\)の極限をスカラー\(c\)倍すればよいということになります。

例(収束する点列のスカラー倍の極限)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における収束列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が与えられたとき、上の命題より、点列\(\left\{ -x_{v}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( -x_{v}\right) =-\lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}
\end{equation*}となります。
例(収束する点列のスカラー倍の極限)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が\(x_{v}=2-\frac{1}{v}\)で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(2\)です。さらに、一般項が\(y_{v}=\frac{1}{2}\cdot x_{v}\)で与えられる点列\(\{y_{v}\}\)を構成すると、上の命題より\(\{y_{v}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2}\cdot x_{v}\right) \\
&=&\frac{1}{2}\left( \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\right) \quad \because
\text{収束列のスカラー倍の極限} \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 2 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
例(収束する点列のスカラー倍の極限)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(\left( 1,2\right) \)です。さらに、一般項が\(y_{v}=\frac{1}{4}\cdot x_{v}\)で与えられる点列\(\{y_{v}\}\)を構成すると、上の命題より\(\{y_{v}\}\)もまた収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{4}\cdot x_{v}\right) \\
&=&\frac{1}{4}\left( \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\right) \quad \because
\text{収束列のスカラー倍の極限} \\
&=&\frac{1}{4}\cdot \left( 1,2\right) \\
&=&\left( \frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

収束する点列どうしのベクトル和の極限

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)が与えられたとき、これらの点列の一般項のベクトル和\(x_{v}+y_{v}\)を一般項とする新たな点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\}\)を構成できます。つまり、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項\(x_{v}\)をその成分を明示する形で\(x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \)で表し、点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)の一般項\(y_{v}\)をその成分を明示する形で\(y_{v}=\left( y_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,y_{v}^{\left( n\right) }\right) \)で表すとき、点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}
x_{v}+y_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) }+y_{v}^{\left( 1\right) },\cdots
,x_{v}^{\left( n\right) }+y_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(\cdot \)はベクトル和を表す記号であるのに対し、右辺中の\(+\)はいずれも実数どうしの和を表す記号です。

点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が点\(\alpha =\left( \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}\right) \)に、点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)が点\(\beta =\left( \beta _{1},\cdots ,\beta _{n}\right) \)にそれぞれ収束するものとします。これは、それぞれの\(k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について、点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が実数\(\alpha _{k}\)へ収束するとともに、点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ y_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が実数\(\beta _{k}\)へ収束することと必要十分です。数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が実数\(\alpha _{k}\)へ収束し、数列\(\left\{ y_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が実数\(\beta _{k}\)へ収束するとき、数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }+y_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は実数\(\alpha _{k}+\beta _{k}\)へ収束します。これはそれぞれの\(k\)について成り立つため、結局、点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\}\)は点\(\alpha +\beta =\left( \alpha _{1}+\beta _{1},\cdots ,\alpha _{n}+\beta _{n}\right) \)へ収束します。したがって以下の命題が得られます。

命題(収束する点列どうしのベクトル和の極限)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における収束列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}+y_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}となる。
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上の命題より、点列\(\{x_{v}\}\)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともに収束することが分かっている場合には、点列\(\{x_{v}+y_{v}\}\)が収束することを収束点列の定義にもとづいてわざわざ証明する必要はありません。しかも、点列\(\{x_{v}+y_{v}\}\)の極限を得るためには点列\(\{x_{v}\}\)の極限と点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)の極限のベクトル和をとればよいということになります。

例(収束する点列どうしのベクトル和の極限)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が\(x_{v}=2-\frac{1}{v}\)で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(2\)です。また、同じく\(\mathbb{R} \)における点列\(\{y_{v}\}\)の一般項が\(y_{v}=\frac{v+1}{v-1}\)で与えられるとき、この点列もまた収束列であり、その極限は\(1\)です。そこで、一般項が\(x_{v}+y_{v}\)で与えられる\(\mathbb{R} \)の点列\(\{x_{v}+y_{v}\}\)を構成すると、上の命題よりこの点列は収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}+y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad \because \text{収束列のベクトル和の極限} \\
&=&2+1 \\
&=&3
\end{eqnarray*}となります。また、一般項が\(2x_{v}+3y_{v}\)で与えられる\(\mathbb{R} \)の点列\(\{2x_{v}+3y_{v}\}\)を構成すると、上の命題と収束列のスカラー倍の極限に関する命題よりこの点列は収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2x_{v}+3y_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2x_{v}\right) +\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( 3y_{v}\right) \quad \because \text{収束列のベクトル和の極限} \\
&=&2\cdot \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}+3\cdot \lim_{v\rightarrow \infty
}y_{v}\quad \because \text{収束列のスカラー倍の極限} \\
&=&2\cdot 2+3\cdot 1 \\
&=&7
\end{eqnarray*}となります。
例(収束する点列どうしのベクトル和の極限)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(\left( 1,2\right) \)です。また、同じく\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{y_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
y_{v}=\left( y_{v}^{\left( 1\right) },y_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \frac{v+1}{v-1},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(\left( 1,0\right) \)です。そこで、一般項が\(x_{v}+y_{v}\)で与えられる\(\mathbb{R} ^{2}\)の点列\(\{x_{v}+y_{v}\}\)を構成すると、上の命題よりこの点列は収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}+y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad \because \text{収束列のベクトル和の極限} \\
&=&\left( 1,2\right) +\left( 1,0\right) \\
&=&\left( 2,2\right)
\end{eqnarray*}となります。

 

収束する点列どうしのベクトル差の極限

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)が与えられたとき、これらの点列の一般項のベクトル差\(x_{v}-y_{v}\)を一般項とする新たな点列\(\left\{ x_{v}-y_{v}\right\}\)を構成できます。つまり、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項\(x_{v}\)をその成分を明示する形で\(x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \)で表し、点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)の一般項\(y_{v}\)をその成分を明示する形で\(y_{v}=\left( y_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,y_{v}^{\left( n\right) }\right) \)で表すとき、点列\(\left\{ x_{v}-y_{v}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}
x_{v}-y_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) }-y_{v}^{\left( 1\right) },\cdots
,x_{v}^{\left( n\right) }-y_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}となります。ただし、左辺の\(-\)はベクトル差を表す記号であるのに対し、右辺中の\(-\)はいずれも実数どうしの差を表す記号です。

点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともに収束するものとします。このとき、点列\(\left\{ x_{v}-y_{v}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}
x_{v}-y_{v}=x_{v}+\left( -y_{v}\right)
\end{equation*}と変形可能ですが、仮定より\(\left\{ x_{v}\right\} \)は収束し、また、収束する点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)のスカラー倍に相当する点列\(\left\{ -y_{v}\right\} \)も収束します。以上に加え、収束する点列のベクトル和が収束することを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}-y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left[ x_{v}+\left( -y_{v}\right) \right] \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }\left(
-v_{v}\right) \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}-\lim_{v\rightarrow \infty }v_{v}
\end{eqnarray*}を得ます。したがって以下の命題が得られます。

命題(収束する点列どうしのベクトル差の極限)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における収束列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、点列\(\left\{ x_{v}-y_{v}\right\} \)もまた収束列であり、その極限は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}-y_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}-\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}となる。
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上の命題より、点列\(\{x_{v}\}\)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともに収束することが分かっている場合には、点列\(\{x_{v}-y_{v}\}\)が収束することを収束点列の定義にもとづいてわざわざ証明する必要はありません。しかも、点列\(\{x_{v}-y_{v}\}\)の極限を得るためには点列\(\{x_{v}\}\)の極限と点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)の極限のベクトル差をとればよいということになります。

例(収束する点列どうしのベクトル差の極限)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が\(x_{v}=2-\frac{1}{v}\)で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(2\)です。また、同じく\(\mathbb{R} \)における点列\(\{y_{v}\}\)の一般項が\(y_{v}=\frac{v+1}{v-1}\)で与えられるとき、この点列もまた収束列であり、その極限は\(1\)です。そこで、一般項が\(x_{v}-y_{v}\)で与えられる\(\mathbb{R} \)の点列\(\{x_{v}-y_{v}\}\)を構成すると、上の命題よりこの点列は収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}-y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}-\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad \because \text{収束列のベクトル差の極限} \\
&=&2-1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。また、一般項が\(2x_{v}-3y_{v}\)で与えられる\(\mathbb{R} \)の点列\(\{2x_{v}-3y_{v}\}\)を構成すると、上の命題と収束列のスカラー倍の極限に関する命題よりこの点列は収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2x_{v}-3y_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 2x_{v}\right) -\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( 3y_{v}\right) \quad \because \text{収束列のベクトル差の極限} \\
&=&2\cdot \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}-3\cdot \lim_{v\rightarrow \infty
}y_{v}\quad \because \text{収束列のスカラー倍の極限} \\
&=&2\cdot 2-3\cdot 1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
例(収束列のベクトル和の極限)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(\left( 1,2\right) \)です。また、同じく\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\{y_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
y_{v}=\left( y_{v}^{\left( 1\right) },y_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \frac{v+1}{v-1},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列は収束列であり、その極限は\(\left( 1,0\right) \)です。そこで、一般項が\(x_{v}+y_{v}\)で与えられる\(\mathbb{R} ^{2}\)の点列\(\{x_{v}-y_{v}\}\)を構成すると、上の命題よりこの点列は収束列であり、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}-y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}-\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad \because \text{収束列のベクトル和の極限} \\
&=&\left( 1,2\right) -\left( 1,0\right) \\
&=&\left( 0,2\right)
\end{eqnarray*}となります。

次回は点列どうしの順序と収束性の関係について学びます。

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