点列の極限と座標数列の極限の関係
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}
\end{equation*}が成り立つこととは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left[ v\geq N\Rightarrow d\left( \boldsymbol{x}_{v},\boldsymbol{a}\right)
<\varepsilon \right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall v\in \mathbb{N} :\left( v\geq N\Rightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{v}^{\left( i\right)
}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいて点列が収束することを示す作業は面倒です。点列の極限は数列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が点列が収束することを容易に示すことができます。順を追って説明します。
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)のそれぞれの項は\(n\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{v}^{\left(
n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、その第\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分\(x_{v}^{\left( k\right) }\)に注目すると、それを一般項とする数列\begin{equation*}\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\}
\end{equation*}が得られます。この数列をもとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列と呼びます。
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が有限なベクトルへ収束する場合には、任意の\(k\) \(\left( =1,\cdots ,n\right) \)について、点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left(k\right) }\right\} \)は有限な実数へ収束するとともに、その極限は点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の極限であるベクトルの第\(k\)成分と一致します。
\infty }x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題の逆も成立します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)のそれぞれの座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が有限な実数\(a_{k}\)へ収束する場合、もとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有限なベクトルへ収束するとともに、その極限は座標数列の極限を成分とするベクトル\(\left( a_{1},\cdots,a_{n}\right) \)へ収束します。
\infty }x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
以上の2つの命題より、ユークリッド空間上の点列の収束は、数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。
\infty }x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}が成り立つ。
上の命題より、ユークリッド空間上の点列の収束に関する議論を、数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。つまり、点列の収束可能性を判定する際に、イプシロン・エヌ論法を利用する必要はなく、数列の極限に関する知識を動員できます。
}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 1\right) } &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( 1+\frac{1}{2v}\right) \quad \because x_{v}^{\left( 1\right) }\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }1+\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{2v} \\
&=&1+0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ち、第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right) } &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( 2-\frac{1}{2v}\right) \quad \because x_{v}^{\left( 2\right) }\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }2-\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{2v} \\
&=&2-0 \\
&=&2
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって先の命題より、もとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
2\right) }\right) \\
&=&\left( 1,2\right)
\end{eqnarray*}となります。
}\right) =\left( \frac{1}{v},\frac{\cos v}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 1\right) } &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{v}\right) \quad \because x_{v}^{\left( 1\right) }\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)に関しては、任意の\(v\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}-1\leq \cos v\leq 1
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、\begin{equation*}
-\frac{1}{v}\leq \frac{\cos v}{v}\leq \frac{1}{v}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\frac{1}{v}\leq x_{v}^{\left( 2\right) }\leq \frac{1}{v}
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v}\right) =\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( -\frac{1}{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right) }=0
\end{equation*}となります。したがって先の命題より、もとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は収束するとともに、その極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
2\right) }\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}となります。
点列が収束しないことの証明
先の命題は点列が収束するための必要十分条件を与えているため、点列が収束しないことを判定する上でも有用です。
つまり、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の少なくとも1つの座標数列が有限な実数へ収束しない場合、先の命題より、もとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有限なベクトルへ収束しません。
}\right) =\left( 1+\frac{1}{2v},2v\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)に関しては、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right) }=\lim_{v\rightarrow
\infty }2v=+\infty
\end{equation*}となるため、\(\left\{ x_{v}^{\left(2\right) }\right\} \)は有限な実数へ収束しません。したがって先の命題より、もとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は有限なベクトルへ収束しないことが明らかになりました。
演習問題
}\right) =\left( \frac{\left( -1\right) ^{v}}{v},\frac{\left( -1\right) ^{v}}{3}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列が有限なベクトルへ収束するでしょうか。収束する場合には極限を求めてください。
\end{equation*}であるような\(\mathbb{R} \)上の数列\(\left\{ \left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert \right\} \)を定義します。ただし、\(\left\Vert \cdot \right\Vert \)はノルムを表す記号であり、\begin{equation*}\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{v}^{\left(
i\right) }\cdot x_{v}^{\left( i\right) }}
\end{equation*}と定義されます。以上を踏まえたとき、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\boldsymbol{x}_{v}=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left\Vert \boldsymbol{x}_{v}\right\Vert =0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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