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数列を用いた点列の収束判定

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点列の極限と座標数列の極限の関係

イプシロン・デルタ論法を使ってユークリッド空間上の点列が収束することを証明するのは面倒です。点列の極限は数列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が点列が収束することを容易に示すことができます。順を追って説明します。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} =\left\{x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }\right\} \)が点\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束する場合、この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のそれぞれの座標数列\(\left\{x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は点\(a_{k}\)へ収束することが保証されます。

命題(点列の極限と座標数列の極限の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の点へ収束するならば、それぞれの\(k\ \left( =1,\cdots,n\right) \)について、点列\(\left\{x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)は\(\mathbb{R} \)の点へ収束するとともに、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
n\right) }\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
証明

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上の命題の逆も成立します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)のそれぞれの座標数列\(\left\{x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が有限な実数\(a_{k}\)へ収束する場合、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は点\(\left(a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \)へ収束することが保証されるということです。

命題(点列の極限と座標数列の極限の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right)}\right\} \)が収束するならば、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
n\right) }\right)
\end{equation*}となる。
証明

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以上の2つの命題より、ユークリッド空間上の点列の収束は、数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(点列の極限と座標数列の極限の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の点へ収束することと、それぞれの\(k\ \left( =1,\cdots,n\right) \)について、点列\(\left\{x_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列\(\left\{x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)が\(\mathbb{R} \)の点へ収束することは必要十分であり、さらにそれらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
n\right) }\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

上の命題より、ユークリッド空間上の点列の収束に関する議論を数列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

例(点列の極限と座標数列の極限の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2-\frac{1}{2v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left(1\right) }\right\} \)に関しては、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 1\right) }=\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( 1+\frac{1}{2v}\right) =1
\end{equation*}が成り立ち、第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)に関しては、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right) }=\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( 2-\frac{1}{2v}\right) =2
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より点列\(\left\{x_{v}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( 1,2\right)
\end{equation*}となります。
例(点列の極限と座標数列の極限の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \frac{1}{v},\frac{\cos v}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(1\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left(1\right) }\right\} \)に関しては、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 1\right) }=\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)に関しては、任意の\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}-1\leq \cos v\leq 1
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、\begin{equation*}
-\frac{1}{v}\leq \frac{\cos v}{v}\leq \frac{1}{v}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\frac{1}{v}\leq x_{v}^{\left( 2\right) }\leq \frac{1}{v}
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v}\right) =\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( -\frac{1}{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right) }=0
\end{equation*}となります。したがって先の命題より点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた収束し、その極限は、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}となります。

 

点列が収束しないことの証明

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)の点へ収束することと、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の座標数列が\(\mathbb{R} \)の点へ収束することは必要十分であることが明らかになりました。したがって、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の少なくとも1つの座標数列が\(\mathbb{R} \)の点へ収束しない場合、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の点へ収束しません。ユークリッド空間上の点列が収束しないことを示すためには、その座標数列の中に有限な実数へ収束しないものが存在することを示せばよいということです。

例(点列の極限と座標数列の極限の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2v},2v\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(2\)座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} \)に関しては、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right) }=\lim_{v\rightarrow
\infty }2v=+\infty
\end{equation*}となるため、\(\left\{ x_{v}^{\left(2\right) }\right\} \)は有限な実数へ収束しません。したがって、先の命題より、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{2}\)の点に収束しないことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(点列の極限)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( \frac{\left( -1\right) ^{v}}{v},\frac{\left( -1\right) ^{v}}{3}\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列が\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束するか否かを理由とともに述べてください。
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問題(点列の極限)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が与えられたとき、そこから、一般項が、\begin{equation*}\left\Vert x_{v}\right\Vert
\end{equation*}であるような\(\mathbb{R} \)上の数列\(\left\{ \left\Vert x_{v}\right\Vert\right\} \)を定義します。ただし、\(\left\Vert \cdot \right\Vert \)はノルムを表す記号であり、\begin{equation*}\left\Vert x_{v}\right\Vert =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_{v}^{\left( i\right)
}\cdot x_{v}^{\left( i\right) }}
\end{equation*}と定義されます。以上を踏まえたとき、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left\Vert x_{v}\right\Vert =0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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次回は点列が有界であることと収束することの関係について学びます。

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