ユークリッド空間上の点列という概念を定義します。点列は数列を一般化した概念です。

点列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点を順番にならべたもの\begin{equation*}
x_{1},x_{2},\cdots ,x_{v},\cdots
\end{equation*}を\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列(sequence of points)と呼びます。

点列を表現するためには、それを構成する 1 番目の点\(x_{1}\)、2 番目の点\(x_{2}\)、\(\cdots \)、\(v\)番目の点\(x_{v}\)、\(\cdots \)をそれぞれ特定することになります。一般化すると、それぞれの自然数\(v\in \mathbb{N}\)に対して点\(x_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)を 1 つずつ特定することで 1 つの点列が得られるということです。そのようなこともあり、点列を写像\begin{equation*}
x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}として定義することもできます。

写像について復習する

通常、写像\(f:X\rightarrow Y\)がそれぞれの要素\(x\in X\)に対して定める像を\(f\left( x\right) \in Y\)と記述しますが、点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が自然数\(v\in \mathbb{N}\)に対して定める点\(x\left( v\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)に関しては、これを、\begin{equation*}
x_{v}
\end{equation*}で表し(term)と呼びます。点列を\(\{x_{v}\}_{v=1}^{\infty }\)や\(\{x_{v}\}_{v\in \mathbb{N} }\)、もしくはよりシンプルに\(\{x_{v}\}\)と表現することもできます。

自然数を\(1\)から始まる整数と定義する場合には、点列の前から\(v\)番目の点は\(x_{v}\)であり、これを点列の第\(v\)項(\(v\)-th term)と呼びます。特に、点列の最初の項\(x_{1}\)を初項(first term)と呼びます。

点列の第\(v\)項を具体的に特定すれば、\(x_{v}\)中の\(v\)に具体的な自然数を代入することによりすべての項を明らかにできます。つまり、\(x_{v}\)は点列のすべての項を一般化した表現と考えられるため、これを一般項(general term)と呼ぶこともあります。また、点列の一般項が分かっている場合には、その点列を「一般項が\(x_{v}\)の点列」と呼ぶこともできます。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点列\(\{x_{v}\}\)の一般項\(x_{v}\)は\(n\)次元ベクトルですが、その成分を明示したい場合には、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v},\cdots ,x_{n}^{v}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表記することにします。この表記にしたがうと、点列\(\{x_{v}\}\)の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\left( x_{1}^{1},x_{2}^{1},\cdots ,x_{n}^{1}\right) \\
x_{2} &=&\left( x_{1}^{2},x_{2}^{2},\cdots ,x_{n}^{2}\right) \\
&&\vdots \\
x_{v} &=&\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v},\cdots ,x_{n}^{v}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}という形になります。つまり、\(x_{j}^{i}\)は点列\(\{x_{v}\}\)の第\(i\)項の第\(j\)成分に相当する実数です。

\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの自然数\(n\in \mathbb{N}\)に対して実数の項\(x_{n}\in \mathbb{R}\)を定める写像ですので、これは数列に他なりません。つまり、点列は数列を拡張した概念であり、逆に点列の特殊ケースが数列です。

例(点列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)の点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が\(x_{v}=2\left( 3^{v-1}\right) \)として与えられるとき、この点列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&2\left( 3^{0}\right) =2 \\
x_{2} &=&2\left( 3^{1}\right) =6 \\
x_{3} &=&2\left( 3^{2}\right) =18 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
例(点列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)の点列\(\{x_{v}\}\)が\(2,10,50,250,1250,\cdots \)であるとき、その一般項は、\begin{equation*}
x_{v}=2\cdot 5^{v-1}
\end{equation*}となります。
例(点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v}\right) =\left( v,\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}として与えられるものとします。ただし、\(\left( v,\frac{1}{v}\right) \)は\(\mathbb{R}\)上の区間を表す記号ではなく、第\(1\)成分が実数\(v\)で第\(2\)成分が実数\(\frac{1}{v}\)であるような\(2\)次元ベクトルを表す記号です。この点列\(\{x_{v}\}\)の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\left( x_{1}^{1},x_{2}^{1}\right) =\left( 1,1\right) \\
x_{2} &=&\left( x_{1}^{2},x_{2}^{2}\right) =\left( 2,\frac{1}{2}\right) \\
x_{3} &=&\left( x_{1}^{3},x_{2}^{3}\right) =\left( 3,\frac{1}{3}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
例(点列)
\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)の点列\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( x_{1}^{v},x_{2}^{v},x_{3}^{v}\right) =\left( v,v^{2},v^{3}\right)
\end{equation*}として与えられるとき、この点列の各項は、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&\left( x_{1}^{1},x_{2}^{1},x_{3}^{1}\right) =\left( 1,1^{2},1^{3}\right) \\
x_{2} &=&\left( x_{1}^{2},x_{2}^{2},x_{3}^{2}\right) =\left( 2,2^{2},2^{3}\right) \\
x_{3} &=&\left( x_{1}^{3},x_{2}^{3},x_{3}^{3}\right) =\left( 3,3^{2},3^{3}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。

次回は収束列について学びます。
次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。
ログイン

アカウント
ログイン