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点列

ユークリッド空間上の点列の定義

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点列の定義

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素である無限個の点、すなわち無限個のベクトルを順番に並べたもの\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots ,\boldsymbol{x}_{v},\cdots
\end{equation*}を\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列(sequence of points)と呼びます。数学では有限個の点を並べたものを点列として扱いません。点列は無限に続く点の列です。

点列をフォーマルな形で表現します。繰り返しになりますが、点列とは無限個の\(\mathbb{R} ^{n}\)の点を順番に並べたものであるため、それを総体的に表現するためには、点列を構成する1番目の点\(\boldsymbol{x}_{1}\)、2番目の点\(\boldsymbol{x}_{2}\)、3番目の点\(\boldsymbol{x}_{3}\)、\(\cdots \)などをすべて特定する必要があります。ただ、点列は無限個の点の並びであるため、このような作業を実際に無限回行うことは不可能です。ただ、このような作業を「それぞれの自然数\(v\in \mathbb{N} \)に対して点\(\boldsymbol{x}_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)を1つずつ定めること」として一般化できるため、点列を表現することとは、\(\mathbb{N} \)から\(\mathbb{R} ^{n}\)への写像を与えることと実質的に同じです。そのようなこともあり、点列を1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{x}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}として定義することもできます。この関数\(\boldsymbol{x}\)がそれぞれの自然数\(v\)に対して定める像\(\boldsymbol{x}\left( v\right) \)は、点列を構成する\(v\)番目の点です。

通常、写像\(f:A\rightarrow B\)が定義域の値\(a\in A\)に対して定める像を\(f\left( a\right) \in B\)と表記しますが、点列に相当するベクトル値関数\(\boldsymbol{x}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が自然数\(v\in \mathbb{N} \)に対して定める像\(\boldsymbol{x}\left( v\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)に関しては、これを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}
\end{equation*}で表記し、点列の(term)と呼びます。点列そのものを、\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} _{v=1}^{\infty },\quad \left\{
\boldsymbol{x}_{v}\right\} _{v\in \mathbb{N} },\quad \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\}
\end{equation*}などと表記することもできます。

自然数を\(1\)から始まる整数と定義するのであれば、点列を構成する前から\(v\)番目の項は\(\boldsymbol{x}_{v}\)であり、これを点列の\(v\)(\(v\)-th term)と呼びます。特に、点列の最初の項\(\boldsymbol{x}_{1}\)を初項(first term)と呼びます。

点列の第\(v\)項\(\boldsymbol{x}_{v}\)が具体的に与えられているならば、\(\boldsymbol{x}_{v}\)中の\(v\)に具体的な自然数を代入することにより、すべての項を具体的に特定できます。つまり、\(\boldsymbol{x}_{v}\)は点列のすべての項を一般化した表現と考えられるため、これを一般項(general term)と呼ぶこともできます。点列の一般項\(\boldsymbol{x}_{v}\)の形が分かっている場合には、その点列を「一般項が\(\boldsymbol{x}_{v}\)の点列」と呼ぶこともできます。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)のそれぞれの項\(\boldsymbol{x}_{v}\)は\(n\)次元ベクトルですが、その成分を明示したい場合には、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
},\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表記するものと定めます。この表記にしたがうと、点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)の各項は、\begin{gather*}\boldsymbol{x}_{1}=\left( x_{1}^{\left( 1\right) },x_{1}^{\left( 2\right)
},\cdots ,x_{1}^{\left( n\right) }\right) \\
\boldsymbol{x}_{2}=\left( x_{2}^{\left( 1\right) },x_{2}^{\left( 2\right)
},\cdots ,x_{2}^{\left( n\right) }\right) \\
\vdots \\
\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
},\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \\
\vdots
\end{gather*}などとなります。つまり、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( i\right) }
\end{equation*}は点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)の第\(v\)項の第\(i\)成分に相当する実数です。

例(点列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における点列\(\boldsymbol{x}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの自然数\(v\in \mathbb{N} \)に対して実数\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=x_{v}\in \mathbb{R} \end{equation*}を1つずつ定める写像であり、これは数列に他なりません。つまり、点列は数列を拡張した概念であり、逆に点列の特殊ケースが数列です。例えば、\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=2\left( 3^{v-1}\right)
\end{equation*}で与えられているとき、この点列の各項は、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}_{1} &=&2\left( 3^{0}\right) =2 \\
\boldsymbol{x}_{2} &=&2\left( 3^{1}\right) =6 \\
\boldsymbol{x}_{3} &=&2\left( 3^{2}\right) =18 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。

例(点列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列\(\boldsymbol{x}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの自然数\(v\in \mathbb{N} \)に対して2次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を1つずつ定める写像です。例えば、\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( v,\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられている場合、この点列の各項は、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}_{1} &=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },x_{1}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( 1,1\right) \\
\boldsymbol{x}_{2} &=&\left( x_{2}^{\left( 1\right) },x_{2}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( 2,\frac{1}{2}\right) \\
\boldsymbol{x}_{3} &=&\left( x_{3}^{\left( 1\right) },x_{3}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( 3,\frac{1}{3}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。

例(点列)
\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における点列\(\boldsymbol{x}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの自然数\(v\in \mathbb{N} \)に対して3次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
},x_{v}^{\left( 3\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{3}
\end{equation*}を1つずつ定める写像です。例えば、\(\mathbb{R} ^{3}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
},x_{v}^{\left( 3\right) }\right) =\left( v,v^{2},v^{3}\right)
\end{equation*}で与えられている場合、この点列の各項は、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{x}_{1} &=&\left( x_{1}^{\left( 1\right) },x_{1}^{\left( 2\right)
},x_{1}^{\left( 3\right) }\right) =\left( 1,1^{2},1^{3}\right) \\
\boldsymbol{x}_{2} &=&\left( x_{2}^{\left( 1\right) },x_{2}^{\left( 2\right)
},x_{2}^{\left( 3\right) }\right) =\left( 2,2^{2},2^{3}\right) \\
\boldsymbol{x}_{3} &=&\left( x_{3}^{\left( 1\right) },x_{3}^{\left( 2\right)
},x_{3}^{\left( 3\right) }\right) =\left( 3,3^{2},3^{3}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。

 

点列の座標数列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)のそれぞれの項は\(n\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
},\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、その第\(k\ \left( =1,2,\cdots ,n\right) \)成分\(x_{v}^{\left( k\right) }\)に注目すると、それを一般項とする数列\begin{equation*}\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\}
\end{equation*}が得られます。つまり、数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)の第\(v\)項はもとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第\(v\)項の第\(k\)成分に相当する実数です。このような数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)をもとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の\(k\)座標数列(\(k\) th coordinate sequence)と呼びます。どの成分に注目するかにより、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)からは\(n\)個の座標数列\begin{eqnarray*}\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} &=&\left\{ x_{1}^{\left( 1\right)
},x_{2}^{\left( 1\right) },\cdots \right\} \\
\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} &=&\left\{ x_{1}^{\left( 2\right)
},x_{2}^{\left( 2\right) },\cdots \right\} \\
&&\vdots \\
\left\{ x_{v}^{\left( n\right) }\right\} &=&\left\{ x_{1}^{\left( n\right)
},x_{2}^{\left( n\right) },\cdots \right\}
\end{eqnarray*}が得られます。

例(座標数列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( v,\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の第\(1\)座標数列は、\begin{equation*}\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} =\left\{ v\right\}
\end{equation*}であり、第\(2\)座標数列は、\begin{equation*}\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} =\left\{ \frac{1}{v}\right\}
\end{equation*}です。

例(座標数列)
\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上の点列一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
},x_{v}^{\left( 3\right) }\right) =\left( v,v^{2},v^{3}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の第\(1\)座標数列は、\begin{equation*}\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} =\left\{ v\right\}
\end{equation*}であり、第\(2\)座標数列は、\begin{equation*}\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} =\left\{ v^{2}\right\}
\end{equation*}であり、第\(3\)座標数列は、\begin{equation*}\left\{ x_{v}^{\left( 3\right) }\right\} =\left\{ v^{3}\right\}
\end{equation*}です。

 

演習問題

問題(点列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( \frac{1+v}{v^{2}},\frac{1-v}{v^{2}}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の最初の3つの項を具体的に明らかにしてください。

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問題(点列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( \frac{\left( -1\right) ^{v+1}}{2v+3^{v}},\frac{\left(
-1\right) ^{v}}{2v+\left( -3\right) ^{v}}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の最初の3つの項を具体的に明らかにしてください。

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問題(点列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( \frac{v+1}{v^{2}},\frac{\left( -1\right) ^{v+1}}{2^{v}}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の最初の3つの項を具体的に明らかにしてください。

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問題(点列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) =\left( \frac{4v}{v^{2}-7},\frac{\left( -1\right) ^{v+1}}{2v+\left(
-3\right) ^{v}}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の最初の3つの項を具体的に明らかにしてください。

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