ユークリッド空間上の点列の定義

点列の定義

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の要素である無限個の点、すなわち無限個のベクトルを順番に並べたもの\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{1},\boldsymbol{x}_{2},\cdots ,\boldsymbol{x}_{v},\cdots
\end{equation*}を\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列（sequence of points）と呼びます。数学では有限個の点を並べたものを点列として扱いません。点列は無限に続く点の列です。

点列をフォーマルな形で表現します。繰り返しになりますが、点列とは無限個の\(\mathbb{R} ^{n}\)の点を順番に並べたものであるため、それを総体的に表現するためには、点列を構成する1番目の点\(\boldsymbol{x}_{1}\)、2番目の点\(\boldsymbol{x}_{2}\)、3番目の点\(\boldsymbol{x}_{3}\)、\(\cdots \)などをすべて特定する必要があります。ただ、点列は無限個の点の並びであるため、このような作業を実際に無限回行うことは不可能です。ただ、このような作業を「それぞれの自然数\(v\in \mathbb{N} \)に対して点\(\boldsymbol{x}_{v}\in \mathbb{R} ^{n}\)を1つずつ定めること」として一般化できるため、点列を表現することとは、\(\mathbb{N} \)から\(\mathbb{R} ^{n}\)への写像を与えることと実質的に同じです。そのようなこともあり、点列を1変数のベクトル値関数\begin{equation*}\boldsymbol{x}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}として定義することもできます。この関数\(\boldsymbol{x}\)がそれぞれの自然数\(v\)に対して定める像\(\boldsymbol{x}\left( v\right) \)は、点列を構成する\(v\)番目の点です。

通常、写像\(f:A\rightarrow B\)が定義域の値\(a\in A\)に対して定める像を\(f\left( a\right) \in B\)と表記しますが、点列に相当するベクトル値関数\(\boldsymbol{x}:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)が自然数\(v\in \mathbb{N} \)に対して定める像\(\boldsymbol{x}\left( v\right) \in \mathbb{R} ^{n}\)に関しては、これを、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}
\end{equation*}で表記し、点列の項（term）と呼びます。点列そのものを、\begin{equation*}
\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} _{v=1}^{\infty },\quad \left\{
\boldsymbol{x}_{v}\right\} _{v\in \mathbb{N} },\quad \left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\}
\end{equation*}などと表記することもできます。

自然数を\(1\)から始まる整数と定義するのであれば、点列を構成する前から\(v\)番目の項は\(\boldsymbol{x}_{v}\)であり、これを点列の第\(v\)項（\(v\)-th term）と呼びます。特に、点列の最初の項\(\boldsymbol{x}_{1}\)を初項（first term）と呼びます。

点列の第\(v\)項\(\boldsymbol{x}_{v}\)が具体的に与えられているならば、\(\boldsymbol{x}_{v}\)中の\(v\)に具体的な自然数を代入することにより、すべての項を具体的に特定できます。つまり、\(\boldsymbol{x}_{v}\)は点列のすべての項を一般化した表現と考えられるため、これを一般項（general term）と呼ぶこともできます。点列の一般項\(\boldsymbol{x}_{v}\)の形が分かっている場合には、その点列を「一般項が\(\boldsymbol{x}_{v}\)の点列」と呼ぶこともできます。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)のそれぞれの項\(\boldsymbol{x}_{v}\)は\(n\)次元ベクトルですが、その成分を明示したい場合には、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
},\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}と表記するものと定めます。この表記にしたがうと、点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)の各項は、\begin{gather*}\boldsymbol{x}_{1}=\left( x_{1}^{\left( 1\right) },x_{1}^{\left( 2\right)
},\cdots ,x_{1}^{\left( n\right) }\right) \\
\boldsymbol{x}_{2}=\left( x_{2}^{\left( 1\right) },x_{2}^{\left( 2\right)
},\cdots ,x_{2}^{\left( n\right) }\right) \\
\vdots \\
\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
},\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \\
\vdots
\end{gather*}などとなります。つまり、\begin{equation*}
x_{v}^{\left( i\right) }
\end{equation*}は点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)の第\(v\)項の第\(i\)成分に相当する実数です。

点列の座標数列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)のそれぞれの項は\(n\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right)
},\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、その第\(k\ \left( =1,2,\cdots ,n\right) \)成分\(x_{v}^{\left( k\right) }\)に注目すると、それを一般項とする数列\begin{equation*}\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\}
\end{equation*}が得られます。つまり、数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)の第\(v\)項はもとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第\(v\)項の第\(k\)成分に相当する実数です。このような数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)をもとの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の第\(k\)座標数列（\(k\) th coordinate sequence）と呼びます。どの成分に注目するかにより、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)からは\(n\)個の座標数列\begin{eqnarray*}\left\{ x_{v}^{\left( 1\right) }\right\} &=&\left\{ x_{1}^{\left( 1\right)
},x_{2}^{\left( 1\right) },\cdots \right\} \\
\left\{ x_{v}^{\left( 2\right) }\right\} &=&\left\{ x_{1}^{\left( 2\right)
},x_{2}^{\left( 2\right) },\cdots \right\} \\
&&\vdots \\
\left\{ x_{v}^{\left( n\right) }\right\} &=&\left\{ x_{1}^{\left( n\right)
},x_{2}^{\left( n\right) },\cdots \right\}
\end{eqnarray*}が得られます。

演習問題