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部分列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列から無限個の項を抜き出した上で、順番を保ったままそれらを並べてできる点列をもとの点列の部分列(subsequence)と呼びます。点列は無限個の点の並びです。部分列も点列であるため、その項の個数は無限個でなければなりません。つまり、もとの点列から有限個の項を抜き出して並べたものは部分列とはみなされません。

例(部分列)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の項を並べると、\begin{equation*}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10},\cdots
\end{equation*}となりますが、ここから偶数番目の項をすべて抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{equation*}
x_{2},x_{4},x_{6},x_{8},x_{10},\cdots
\end{equation*}という\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列を得ます。一方、奇数番目の項をすべて抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{equation*}x_{1},x_{3},x_{5},x_{7},x_{9},\cdots
\end{equation*}という\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列を得ます。
例(部分列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( v,\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているとき、その項は、\begin{equation*}
\left( 1,1\right) ,\ \left( 2,\frac{1}{2}\right) ,\ \left( 3,\frac{1}{3}\right) ,\cdots
\end{equation*}となります。ここから奇数番目の項だけを抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{equation*}
\left( 1,1\right) ,\ \left( 3,\frac{1}{3}\right) ,\ \left( 5,\frac{1}{5}\right) ,\cdots
\end{equation*}という\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列を得ます。ちなみに、\begin{equation*}\left( 4,\frac{1}{4}\right) ,\ \left( 3,\frac{1}{3}\right) ,\ \left( 2,\frac{1}{2}\right) ,\cdots
\end{equation*}は\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列ではありません。もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)から項の相対的な順番が入れ替わってしまっているからです。

 

合成写像としての部分列

部分列の概念をどのように定式化できるでしょうか。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の項を順番に並べると、\begin{equation*}x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\cdots
\end{equation*}となります。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列を任意に選んだ上で、その一般項、すなわち第\(v\)項を、\begin{equation*}x_{l\left( v\right) }
\end{equation*}で表記します。ただし上の表記は、「部分列の第\(v\)項は、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(l\left(v\right) \)項と一致する」ことを表すものとします。以上の表記のもとで、部分列そのものは\begin{equation*}\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\}
\end{equation*}と表記されます。この部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)の項を順番に並べると、\begin{equation*}x_{l\left( 1\right) },x_{l\left( 2\right) },x_{l\left( 3\right) },x_{l\left(
4\right) },\cdots
\end{equation*}となりますが、これは、部分列の初項\(x_{l\left(1\right) }\)はもとの点列の第\(l\left( 1\right) \)項と一致し、部分列の第\(2\)項\(x_{l\left( 2\right) }\)はもとの点列の第\(l\left( 2\right) \)項と一致し、\(\cdots \)であることを意味します。部分列の定義より、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の項の中から無限個の項を抜き出した上で順番を保って並べたものが部分列\(\left\{ x_{l\left(v\right) }\right\} \)であるため、その項の添字\(l\left( 1\right) ,l\left( 2\right),l\left( 3\right) ,\cdots \)は、\begin{equation*}l\left( 1\right) <l\left( 2\right) <l\left( 3\right) <\cdots
\end{equation*}を満たす自然数からなる狭義の単調増加数列です。そこで、点列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)の項の添字\(l\left( 1\right) ,l\left( 2\right) ,l\left(3\right) ,\cdots \)が上の条件を満たすとき、この点列をもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列と呼びます。

同じことを写像を用いて表現しましょう。復習になりますが、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)とは、それぞれの番号\(v\in \mathbb{N} \)に対して、その点列の第\(v\)項に相当する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点\(x_{v}\)を定める写像\begin{equation*}x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}として理解できます。点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列\(\left\{ x_{l\left( n\right) }\right\} \)もまた点列であるため、部分列もまた何らかの写像として定式化されるはずです。では、部分列はどのような写像として定式化できるでしょうか。以下の表を見ながら説明します。

$$\begin{array}{cccccc}\hline
v & 1 & 2 & 3 & 4 & \cdots \\ \hline
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ \hline
l(v) & l\left( 1\right) & l\left( 2\right) & l\left( 3\right) & l\left( 4\right) & \cdots \\ \hline
\downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ \hline
x_{l\left( v\right) } & x_{l\left( 1\right) } & x_{l\left( 2\right) } & x_{l\left( 3\right) } & x_{l\left( 4\right) } & \cdots \\ \hline
\end{array}$$
点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)を特定するためには、それぞれの番号\(v\in \mathbb{N} \)に対して、部分列\(\left\{x_{l\left( v\right) }\right\} \)の第\(v\)項がもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(l\left( v\right) \)項と一致することを指定する写像\begin{equation*}l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \end{equation*}が必要です。ただし、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の項の中から無限個の項を抜き出した上で順番を保って並べたものが部分列\(\left\{ x_{l\left(v\right) }\right\} \)であるため、この写像\(l\)は狭義の単調増加関数でなければなりません。つまり、写像\(l\)は以下の条件\begin{equation*}\forall k,h\in \mathbb{N} :\left( k<h\Rightarrow l(k)<l(h)\right)
\end{equation*}を満たす必要があるということです。その上で、合成写像\begin{equation*}
x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を作ります。この合成写像がそれぞれの番号\(v\in \mathbb{N} \)に対して定める像は、\begin{equation*}\left( x\circ l\right) \left( v\right) =x\left( l\left( v\right) \right)
\end{equation*}ですが、これはもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(l\left(v\right) \)項であり、したがって部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right)}\right\} \)の第\(v\)項\(x_{l\left( v\right) }\)に他なりません。つまり、以上のような合成写像\(x\circ l\)が与えられれば部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)のすべての項を具体的に特定できるため、この合成写像を部分列と同一視できます。ただ、繰り返しになりますが、写像\(l\)は狭義単調増加でなければなりません。

例(部分列)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)から偶数番目の項をすべて抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{equation}x_{2},x_{4},x_{6},x_{8},x_{10},\cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}という部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right)}\right\} \)が得られます。この部分列をどのような写像として表現できるでしょうか。もとの点列\(\{x_{v}\}\)は写像\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)として表現されます。この点列の偶数番目の項だけを抜き出したいため、それぞれの\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation}l\left( v\right) =2v \quad \cdots (2)
\end{equation}を定める狭義の単調増加関数\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)を利用します。以上の2つの写像の合成関数\(x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)として定義される点列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( v\right) } &=&\left( x\circ l\right) \left( v\right) \\
&=&x\left( l\left( v\right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&x\left( 2v\right) \quad \because \left( 2\right) \\
&=&x_{2v}
\end{eqnarray*}であり、これは\(\left( 1\right) \)と一致します。つまり、点列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)の第\(v\)項はもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(2v\)項と一致するということです。具体的には、\begin{eqnarray*}x_{l\left( 1\right) } &=&x_{2\cdot 1}=x_{2} \\
x_{l\left( 2\right) } &=&x_{2\cdot 2}=x_{4} \\
x_{l\left( 3\right) } &=&x_{2\cdot 3}=x_{6} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。では、もとの点列\(\left\{x_{v}\right\} \)から奇数番目の項をすべて抜き出して順番を保ったまま並べることで得られる部分列\begin{equation}x_{1},x_{3},x_{5},x_{7},x_{9},\cdots \quad \cdots (3)
\end{equation}はどのような合成写像として表現できるでしょうか。繰り返しになりますが、もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は写像\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)として表現されます。この点列の奇数番目の項だけを抜き出したいため、それぞれの\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation}l\left( v\right) =2v-1 \quad \cdots (4)
\end{equation}を定める狭義の単調増加関数\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)を利用します。以上の2つの写像の合成関数\(x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)として定義される数列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( v\right) } &=&\left( x\circ l\right) \left( v\right) \\
&=&x\left( l\left( v\right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&x\left( 2v-1\right) \quad \because \left( 4\right) \\
&=&x_{2v-1}
\end{eqnarray*}であり、これは\(\left( 3\right) \)と一致します。つまり、点列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)の第\(v\)項はもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の第\(2v-1\)項と一致するということです。具体的には、\begin{eqnarray*}x_{l\left( 1\right) } &=&x_{2\cdot 1-1}=x_{1} \\
x_{l\left( 2\right) } &=&x_{2\cdot 2-1}=x_{3} \\
x_{l\left( 3\right) } &=&x_{2\cdot 3-1}=x_{5} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
例(部分列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( v,\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているとき、その項は、\begin{equation*}
\left( 1,1\right) ,\ \left( 2,\frac{1}{2}\right) ,\ \left( 3,\frac{1}{3}\right) ,\cdots
\end{equation*}となります。ここから奇数番目の項だけを抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{equation}
\left( 1,1\right) ,\ \left( 3,\frac{1}{3}\right) ,\ \left( 5,\frac{1}{5}\right) ,\cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}という\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列を得ます。この部分列をどのような写像として表現できるでしょうか。もとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)はそれぞれの\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation}x\left( v\right) =\left( v,\frac{1}{v}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を定める写像\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)として表現されます。この点列の奇数番目の項だけを抜き出したいため、それぞれの\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation}l\left( v\right) =2v-1 \quad \cdots (3)
\end{equation}を定める狭義の単調増加関数\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)を利用します。以上の2つの写像の合成関数\(x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)として定義される点列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( v\right) } &=&\left( x\circ l\right) \left( v\right) \\
&=&x\left( l\left( v\right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&x\left( 2v-1\right) \quad \because \left( 3\right) \\
&=&\left( 2v-1,\frac{1}{2v-1}\right) \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}であり、これは\(\left( 1\right) \)と一致します。実際、\begin{eqnarray*}x_{l\left( 1\right) } &=&\left( 2\cdot 1-1,\frac{1}{2\cdot 1-1}\right)
=\left( 1,1\right) \\
x_{l\left( 2\right) } &=&\left( 2\cdot 2-1,\frac{1}{2\cdot 2-1}\right)
=\left( 3,\frac{1}{3}\right) \\
x_{l\left( 3\right) } &=&\left( 2\cdot 3-1,\frac{1}{2\cdot 3-1}\right)
=\left( 5,\frac{1}{5}\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
例(部分列)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は写像\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)と同一視されます。関数\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)はそれぞれの番号\(v\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}l\left( v\right) =3v-1
\end{equation*}を像として定めるものとします。この\(l\)は狭義単調増加であるため、合成写像\(x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)と同一視される点列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)はもとの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の部分列であり、その一般項は、\begin{eqnarray*}x_{l\left( v\right) } &=&\left( x\circ l\right) \left( v\right) \\
&=&x\left( l\left( v\right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&x\left( 3v-1\right) \\
&=&x_{3v-1}
\end{eqnarray*}となります。つまり、点列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)の第\(v\)項はもとの点列\(\left\{x_{v}\right\} \)の第\(3v-1\)項と一致するということです。具体的には、\begin{eqnarray*}x_{l\left( 1\right) } &=&x_{3\cdot 1-1}=x_{2} \\
x_{l\left( 2\right) } &=&x_{3\cdot 2-1}=x_{5} \\
x_{l\left( 3\right) } &=&x_{3\cdot 3-1}=x_{8} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
例(部分列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( v,\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}で与えられているとき、その項は、\begin{equation*}
\left( 1,1\right) ,\ \left( 2,\frac{1}{2}\right) ,\ \left( 3,\frac{1}{3}\right) ,\cdots
\end{equation*}となります。これに対して点列\(\left\{ x_{l\left( v\right)}\right\} \)が、\begin{equation*}\left( 3,\frac{1}{3}\right) ,\ \left( 2,\frac{1}{2}\right) ,\ \left(
1,1\right) ,\cdots
\end{equation*}で与えられているものとします。\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)は\(\{x_{v}\}\)の部分列ではありません。実際、この2つの点列の間には、例えば、\begin{eqnarray*}x_{1} &=&x_{l\left( 3\right) } \\
x_{3} &=&x_{l\left( 1\right) }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
l\left( 3\right) &=&1 \\
l\left( 1\right) &=&3
\end{eqnarray*}という関係が成立していますが、これは\(l\)が狭義単調増加関数ではないことを示しています。\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)が\(\{x_{v}\}\)の部分列であるためには\(l\)が狭義単調増加関数である必要があります。

 

演習問題

問題(部分列)
\(\mathbb{R} ^{3}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( v,v^{2},v^{3}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の奇数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left( v\right) }\right\} \)の一般項を求めてください。
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問題(部分列)
\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( \frac{1+v}{v^{2}},\frac{1-v}{v^{2}}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列の3の倍数番目の項からなる部分列\(\left\{ x_{l\left(v\right) }\right\} \)の一般項を求めてください。
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問題(有界な点列の部分列)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が有界であるならば、その任意の部分列\(\left\{ x_{l\left(v\right) }\right\} \)もまた有界であることを証明してください。
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問題(有界な部分列を持つ単調列の有界性)
\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が単調列であるとともに、有界な部分列\(\left\{ x_{l\left(v\right) }\right\} \)を持つのであれば、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた有界であることを証明してください。
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次回はユークリッド空間における点列に関してボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理が成り立つことを確認します。

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質問とコメント

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