ユークリッド空間における点列から無限個の項を抜き出して順番を保ったまま並べてできる点列をもとの点列の部分列と呼びます。点列の部分列は数列の部分列を一般化した概念です。

部分列

部分列

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列から無限個の項を抜き出して順番を保ったまま並べてできる点列を、もとの点列の部分列(subsequnce)と呼びます。

例(部分列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の項を並べると、\begin{equation*}
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10},\cdots
\end{equation*}となりますが、ここから偶数番目の項だけを抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{equation*}
x_{2},x_{4},x_{6},x_{8},x_{10},x_{12},x_{14},x_{16},x_{18},x_{20},\cdots
\end{equation*}という部分列を得ます。
例(部分列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の項を並べると、\begin{equation*}
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10},\cdots
\end{equation*}となりますが、これに対して、\begin{equation*}
x_{3},x_{4},x_{1},x_{8},x_{2},x_{3},\cdots
\end{equation*}は\(\{x_{v}\}\)の部分列ではありません。なぜならもとの点列から抜き出した項の相対的な順番が入れ替わってしまっているからです。

 

部分列の定式化

\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\)は数列に他なりません。つまり、点列は数列を一般化した概念ですので、数列の部分列の定義を一般化する形で点列の部分列を定義します。さて、数列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\)の部分列とは、\begin{equation}
\forall k,h\in \mathbb{N} :\left( k<h\ \Rightarrow \ l\left( k\right) <l\left( h\right) \right) \tag{1}
\end{equation}を満たす単調増加関数\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\)と\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\)の合成写像\(x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}\)として定義されます。合成写像\(x\circ l\)がそれぞれの\(v\in \mathbb{N}\)に対して定める像は、\begin{equation*}
\left( x\circ l\right) \left( v\right) =x\left( l\left( v\right) \right) \in \mathbb{R}
\end{equation*}という実数ですが、これを\(x_{l\left( v\right) }\)で表します。また、この部分列を、\begin{equation*}
x_{l\left( 1\right) },x_{l\left( 2\right) },\cdots ,x_{l\left( v\right) },\cdots ,\quad \{x_{l\left( v\right) }\}_{v=1}^{\infty },\quad \{x_{l\left( n\right) }\}_{n\in \mathbb{N} },\quad \{x_{l\left( n\right) }\}
\end{equation*}などで表します。

数列の部分列について復習する

そこで、上と同様の合成写像としてユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列の部分列を定義します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の部分列とは、先と同様の条件\(\left( 1\right) \)を満たす単調増加関数\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\)と\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の合成写像\(x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)として定義されます。合成写像\(x\circ l\)がそれぞれの\(v\in \mathbb{N}\)に対して定める像は、\begin{equation*}
\left( x\circ l\right) \left( v\right) =x\left( l\left( v\right) \right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}という\(n\)次元ベクトルですが、これを\(x_{l\left( n\right) }\)で表します。また、この部分列を、\begin{equation*}
x_{l\left( 1\right) },x_{l\left( 2\right) },\cdots ,x_{l\left( v\right) },\cdots ,\quad \{x_{l\left( v\right) }\}_{v=1}^{\infty },\quad \{x_{l\left( n\right) }\}_{n\in \mathbb{N} },\quad \{x_{l\left( n\right) }\}
\end{equation*}などで表します。

例(部分列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の項を並べると、\begin{equation*}
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10},\cdots
\end{equation*}となりますが、ここから偶数番目の項だけを抜き出して順番を保ったまま並べると、\begin{equation*}
x_{2},x_{4},x_{6},x_{8},x_{10},x_{12},x_{14},x_{16},x_{18},x_{20},\cdots
\end{equation*}という部分列\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)を得ます。この部分列はどのような合成写像として定式化できるでしょうか。もとの点列\(\{x_{v}\}\)を写像\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)で表すとき、この部分列は、\begin{equation*}
\forall v\in \mathbb{N} :l\left( v\right) =2v
\end{equation*}を満たす単調増加関数\(l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\)と\(x:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の合成写像\(x\circ l:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)として定式化可能です。実際、\begin{eqnarray*}
x_{l\left( 1\right) } &=&\left( x\circ l\right) \left( 1\right) =x\left( l\left( 1\right) \right) =x\left( 2\right) =x_{2} \\
x_{l\left( 2\right) } &=&\left( x\circ l\right) \left( 2\right) =x\left( l\left( 2\right) \right) =x\left( 4\right) =x_{4} \\
x_{l\left( 3\right) } &=&\left( x\circ l\right) \left( 3\right) =x\left( l\left( 3\right) \right) =x\left( 3\right) =x_{6} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。
例(部分列)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点列\(\{x_{v}\}\)の項を並べると、\begin{equation*}
x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7},x_{8},x_{9},x_{10},\cdots
\end{equation*}となりますが、これに対して点列\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)が、\begin{equation*}
x_{3},x_{4},x_{1},x_{8},x_{2},x_{3},\cdots
\end{equation*}で与えられているものとします。この\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)は\(\{x_{v}\}\)の部分列ではありません。実際、この 2 つの点列の間には、例えば、\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&x_{l\left( 3\right) } \\
x_{3} &=&x_{l\left( 1\right) }
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
l\left( 3\right) &=&1 \\
l\left( 1\right) &=&3
\end{eqnarray*}という関係が成立していますが、これは\(l\)が単調増加関数ではないことを示しています。\(\{x_{l\left( v\right) }\}\)が\(\{x_{v}\}\)の部分列であるためには\(l\)が単調増加数列である必要があります。

次回はユークリッド空間における点列に関してボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理が成り立つことを確認します。
次へ進む 質問・コメントを投稿する 演習問題(プレミアム会員限定)

ワイズをさらに活用するための会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して一般会員に無料登録すれば、質問やコメントを投稿できるようになります。さらに、有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)にアクセスできます。
会員サービス

ディスカッションに参加しますか?

質問やコメントを投稿するにはログインが必要です。
ログイン

アカウント
ログイン