収束する点列のベクトル和の極限
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の2つの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}+\boldsymbol{y}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right)
}+y_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }+y_{v}^{\left(
n\right) }\right)
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}+\boldsymbol{y}_{v}\right\} \)が定義可能です。
点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)がともに\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に収束する場合には\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}+\boldsymbol{y}_{v}\right\} \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{x}_{v}+\boldsymbol{y}_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}+\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{y}_{v}
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)のベクトル和の形をしている点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}+\boldsymbol{y}_{v}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}+\boldsymbol{y}_{v}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の極限と\(\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)の極限のベクトル和をとれば\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}+\boldsymbol{y}_{v}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの点列のベクトル和の形をしている点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}+\boldsymbol{y}_{v}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、点列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)と\(\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)を分けた上で、それらがそれぞれ収束することを確認すればよいということになります。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( 1+\frac{1}{2v},\frac{1}{2v}+2\right) \quad \because \left\{
\boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left[ \left( 1,\frac{1}{2v}\right) +\left(
\frac{1}{2v},2\right) \right] \quad \because \text{ベクトル和の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( 1,\frac{1}{2v}\right)
+\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{2v},2\right) \quad \because
\text{ベクトル和の法則} \\
&=&\left( 1,0\right) +\left( 0,2\right) \\
&=&\left( 1,2\right) \quad \because \text{ベクトル和の定義}
\end{eqnarray*}となります。
収束する点列のベクトル差の極限
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の2つの点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)がそれぞれ与えられたとき、\begin{equation*}\boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{y}_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right)
}-y_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,x_{v}^{\left( n\right) }-y_{v}^{\left(
n\right) }\right)
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{y}_{v}\right\} \)が定義可能です。
点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)がともに\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に収束する場合には\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{y}_{v}\right\} \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点に収束し、それらの極限の間には以下の関係\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{y}_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}-\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{y}_{v}
\end{equation*}が成り立ちます。
つまり、収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} ,\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)のベクトル和の形をしている点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{y}_{v}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{y}_{v}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の極限と\(\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)の極限のベクトル和をとれば\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{y}_{v}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの点列のベクトル和の形をしている点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}-\boldsymbol{y}_{v}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、点列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)と\(\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)を分けた上で、それらがそれぞれ収束することを確認すればよいということになります。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} &=&\lim_{v\rightarrow +\infty
}\left( 1-\frac{1}{2v},\frac{1}{2v}-2\right) \quad \because \left\{
\boldsymbol{x}_{v}\right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left[ \left( 1,\frac{1}{2v}\right) -\left(
\frac{1}{2v},2\right) \right] \quad \because \text{ベクトル差の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( 1,\frac{1}{2v}\right)
-\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( \frac{1}{2v},2\right) \quad \because
\text{ベクトル差の法則} \\
&=&\left( 1,0\right) -\left( 0,2\right) \\
&=&\left( 1,-2\right) \quad \because \text{ベクトル差の定義}
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
\end{equation*}が成り立ちます。本文中では以上の命題を点列の極限と数列の極限の関係を用いて証明しました。イプシロン・エヌ論法を用いて同様の命題を証明してください。
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