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点列のベクトル和の極限

収束する点列のベクトル和の極限

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の一般項\(x_{v}\)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)の一般項の\(y_{v}\)のベクトル和\begin{equation*}
x_{v}+y_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) }+y_{v}^{\left( 1\right) },\cdots
,x_{v}^{\left( n\right) }+y_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)が定義可能です。ただし、\(x_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(x_{v}\)の第\(k\)成分であり、\(y_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(y_{v}\)の第\(k\)成分です。\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともに\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束するとき\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}+y_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

点列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともに\(\mathbb{R} ^{n}\)の点へ収束するものとします。これは\(\left\{ x_{v}\right\} \)のすべての座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)が\(\mathbb{R} \)の点へ収束し、\(\left\{ y_{v}\right\} \)のすべての座標数列\(\left\{ y_{v}^{\left( k\right) }\right\} \ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)が\(\mathbb{R} \)の点へ収束することと必要十分であり、それらの極限の間には、\begin{eqnarray}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left(
n\right) }\right) \quad \cdots (1) \\
\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}y_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}^{\left(
n\right) }\right) \quad \cdots (2)
\end{eqnarray}という関係が成り立ちます。一般に、収束する数列どうしの和として定義される数列もまた収束するため、座標数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)と\(\left\{ y_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)の和として定義される数列\(\left\{ x_{v}^{\left( k\right) }+y_{v}^{\left( k\right) }\right\} \)もまた収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}^{\left( k\right) }+y_{v}^{\left(
k\right) }\right) =\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( k\right)
}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}^{\left( k\right) }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。これは、点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)が収束することと必要十分であるとともに、それらの極限の間には、\begin{equation}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}+y_{v}\right) =\left(
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 1\right) }+\lim_{v\rightarrow
\infty }y_{v}^{\left( 1\right) },\cdots ,\lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( n\right) }+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}^{\left( n\right)
}\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}という関係が成り立ちます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}+y_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}が成り立つことが示されました。

命題(収束する点列のベクトル和の極限)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)を定義する。\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともに収束するならば\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)も収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}+y_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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つまり、収束する点列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)のベクトル和の形をしている点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)が収束することが保証されているとともに、\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{v}\right\} \)の極限のベクトル和をとれば\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの点列のベクトル和の形をしている点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、点列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)を分けた上で、それらがそれぞれ収束することを確認すればよいということになります。

例(収束する点列のベクトル和の極限)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点列である\(\{x_{v}\}\)の一般項が、\begin{equation*}
x_{v}=\left( 1-\frac{1}{2v},\frac{1}{2v}-2\right)
\end{equation*}で与えられるとき、この点列が収束するか否かを検討している状況を想定してください。一般項が、\begin{eqnarray*}
y_{v} &=&\left( 1,\frac{1}{2v}\right) \\
z_{v} &=&\left( -\frac{1}{2v},-2\right)
\end{eqnarray*}であるような点列\(\left\{ y_{v}\right\} \)と\(\left\{ z_{v}\right\} \)に注目すると、\begin{equation}
x_{v}=y_{v}+z_{v} \quad \cdots (1)
\end{equation}という関係が成り立ちます。したがって、仮に\(\left\{ y_{v}\right\} \)と\(\left\{ z_{v}\right\} \)が収束するならば先の命題より\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた収束することが保証され、なおかつ、そこでの極限が明らかになります。実際、\(\left\{ y_{v}\right\} \)と\(\left\{ z_{v}\right\} \)は収束するとともに、\begin{eqnarray}
\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}1,\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{2v}\right) =\left( 1,0\right)
\quad \cdots (2) \\
\lim_{v\rightarrow \infty }z_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left(
-\frac{1}{2v}\right) ,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( -2\right) \right)
=\left( 0,-2\right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が成り立つため、先の命題より\(\left\{ x_{v}\right\} \)もまた収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left(
y_{v}+z_{v}\right) \quad \because \left( 1\right) \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }z_{v}\quad
\because \left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\left( 1,0\right) +\left( 0,-2\right) \quad \because \left( 2\right)
,\left( 3\right) \\
&=&\left( 1,-2\right)
\end{eqnarray*}となります。
例(収束する点列のベクトル差の極限)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、\begin{equation*}
x_{v}-y_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) }-y_{v}^{\left( 1\right) },\cdots
,x_{v}^{\left( n\right) }-y_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ x_{v}-y_{v}\right\} \)が定義可能です。ただし、\(x_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(x_{v}\)の第\(k\)成分であり、\(y_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(y_{v}\)の第\(k\)成分です。\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともに\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束するとき\(\left\{ x_{v}-y_{v}\right\} \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}-y_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}-\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つことが先の命題より示されます(演習問題にします)。

次回は複数の収束点列の項の間に成立する順序が、それらの点列の極限の間の順序としても保存されることを示します。

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