収束する点列のベクトル和の極限
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列である\(\left\{x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、それらの一般項\(x_{v},y_{v}\)のベクトル和\begin{equation*}x_{v}+y_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) }+y_{v}^{\left( 1\right) },\cdots
,x_{v}^{\left( n\right) }+y_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)が定義可能です。ただし、\(x_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(x_{v}\)の第\(k\)成分であり、\(y_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(y_{v}\)の第\(k\)成分です。\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がともに\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束する場合には\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)の点に収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}+y_{v}\right) =\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
\infty }x_{v}+\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
つまり、収束する点列である\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{y_{v}\right\} \)のベクトル和の形をしている点列\(\left\{x_{v}+y_{v}\right\} \)が与えられたとき、\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\left\{x_{v}\right\} \)の極限と\(\left\{ y_{v}\right\} \)の極限のベクトル和をとれば\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの点列のベクトル和の形をしている点列\(\left\{ x_{v}+y_{v}\right\} \)の収束可能性を検討する際には、点列の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\left\{ x_{v}\right\} \)と\(\left\{y_{v}\right\} \)を分けた上で、それらがそれぞれ収束することを確認すればよいということになります。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{2v},\frac{1}{2v}+2\right) \quad \because \left\{ x_{v}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left[ \left( 1,\frac{1}{2v}\right) +\left(
\frac{1}{2v},2\right) \right] \quad \because \text{ベクトル和の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1,\frac{1}{2v}\right)
+\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2v},2\right) \quad \because
\text{収束する点列のベクトル和} \\
&=&\left( 1,0\right) +\left( 0,2\right) \\
&=&\left( 1,2\right) \quad \because \text{ベクトル和の定義}
\end{eqnarray*}となります。
収束する点列のベクトル差の極限
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列である\(\left\{x_{v}\right\} \)と\(\left\{ y_{v}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、それらの一般項\(x_{v},y_{v}\)のベクトル差\begin{equation*}x_{v}-y_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) }-y_{v}^{\left( 1\right) },\cdots
,x_{v}^{\left( n\right) }-y_{v}^{\left( n\right) }\right)
\end{equation*}を一般項とする新たな点列\(\left\{ x_{v}-y_{v}\right\} \)が定義可能です。ただし、\(x_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(x_{v}\)の第\(k\)成分であり、\(y_{v}^{\left( k\right) }\)は点\(y_{v}\)の第\(k\)成分です。このとき、\begin{equation*}x_{v}-y_{v}=x_{v}+\left( -y_{v}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、点列\(\left\{ x_{v}\right\},\left\{ y_{v}\right\} \)がともに収束する場合、点列の定数倍およびベクトル和の収束可能性に関する命題より、点列\(\left\{ x_{v}-y_{v}\right\} \)もまた収束することが保証されます。
\infty }x_{v}-\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}
\end{equation*}という関係が成り立つ。
\end{equation*}で与えられているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{2v},\frac{1}{2v}-2\right) \quad \because \left\{ x_{v}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left[ \left( 1,\frac{1}{2v}\right) -\left(
\frac{1}{2v},2\right) \right] \quad \because \text{ベクトル差の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 1,\frac{1}{2v}\right)
-\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2v},2\right) \quad \because
\text{収束する点列のベクトル差} \\
&=&\left( 1,0\right) -\left( 0,2\right) \\
&=&\left( 1,-2\right) \quad \because \text{ベクトル差の定義}
\end{eqnarray*}となります。
次回は収束する点列どうしの内積として定義される数列の収束可能性について解説します。
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