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境界点・境界

目次

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境界点

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の任意の近傍が\(A\)とその補集合\(A^{c}\)の双方と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
N(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の境界点(frontier point)と呼びます。\(\left( A^{c}\right)^{c}=A\)であることを踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}と必要十分ですが、これは点\(a\)が集合\(A^{c}\)の境界点であることを意味します。つまり、\(a\)が\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A^{c}\)の境界点であることは必要十分です。

命題(集合と補集合は境界点を共有する)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A^{c}\)の境界点であることは必要十分である。

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \wedge
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}と必要十分です。したがって、\(a\)が\(A\)の境界点でないことは上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}=\phi \vee
N_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right) ^{c}=\phi \right] \end{equation*}が成り立つこととして表現されます。さらに、集合\(X,Y\)について\(X\subset Y\)と\(X\cap Y^{c}=\phi \)は必要十分であることを踏まえると、上の命題は、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(a)\subset A\vee
N_{\varepsilon }(a)\subset A^{c}\right] \end{equation*}と必要十分ですが、これは\(a\)が\(A\)の内点または外点であることを意味します。つまり、\(a\)が\(A\)の境界点でないことは、\(a\)が\(A\)の内点または外点であることと必要十分です。

命題(内点・外点・境界点の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点でないことと、\(a\)が\(A\)の内点または外点であることは必要十分である。

上の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A\)の内点と外点のどちらでもないことは必要十分です。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)のある点が\(A\)の内点や外点でないことが分かっている場合、その点が\(A\)の境界点であることが保証されます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の内点は常に\(A\)の点であり、外点は常に\(A^{c}\)の点である一方、\(A\)の境界点については、それが\(A\)の点である場合と\(A^{c}\)の点である場合の両方が可能性として起こり得ます。以下の例から明らかです。

例(点の近傍の境界点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内部は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)すなわち\(d\left(x,a\right) <\varepsilon \)を満たす点\(x\)からなる集合であり、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の外部は\(\left(C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}\)すなわち\(d\left( x,a\right) >\varepsilon \)を満たす点\(x\)からなる集合であるため、先の命題より、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界点は\(d\left( x,a\right) =\varepsilon \)を満たす点\(x\)です。この結論の正しさを境界点の定義から確認しましょう。\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点や外点が\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界点でないことは定義から明らかです。\(d\left( x,a\right) =\varepsilon \)を満たす点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)については、半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、その近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( y,x\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)と\(\left( N_{\varepsilon}\left( a\right) \right) ^{c}\)の双方と交わるため(演習問題にします)、やはり\(x\)は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界点です。したがって、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)のすべての境界点からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。つまり、\(N_{\varepsilon}\left( a\right) \)は自身の境界点を要素として持たない\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の例です。
例(点の閉近傍の境界点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内部は\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)すなわち\(d\left(x,a\right) <\varepsilon \)を満たす点\(x\)からなる集合であり、\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の外部は\(\left(C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}\)すなわち\(d\left( x,a\right) >\varepsilon \)を満たす点\(x\)からなる集合であるため、先の命題より、\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界点は\(d\left( x,a\right) =\varepsilon \)を満たす点\(x\)です。この結論の正しさを境界点の定義から確認しましょう。\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点や外点が\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界点でないことは定義から明らかです。\(d\left( x,a\right) =\varepsilon \)を満たす点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)については、半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、その近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( y,x\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)と\(\left( C_{\varepsilon}\left( a\right) \right) ^{c}\)の双方と交わるため(演習問題にします)、やはり\(x\)は\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界点です。したがって、\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)のすべての境界点からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}です。つまり、\(C_{\varepsilon}\left( a\right) \)は自身の境界点を要素として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の例です。
例(有理数空間の直積の境界点)
\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)について考えます。\(n\in \mathbb{N} \)です。\(\mathbb{Q} ^{n}\)は内点や外点を持たないため、先の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点は\(\mathbb{Q} ^{n}\)の境界点です。この結論の正しさを境界点の定義から確認しましょう。点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( y,x\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}となりますが、有理数の稠密性より\(N_{\varepsilon}\left( x\right) \)の中には有理数を成分とする点が存在し、無理数の稠密性より\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)の中には無理数を成分とする点が存在するため、\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(\mathbb{Q} ^{n}\)およびその補集合\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)の双方と交わることが保証されます。したがって\(x\)は\(\mathbb{Q} ^{n}\)の境界点です(演習問題にします)。\(\mathbb{Q} ^{n}\)のすべての境界点からなる集合は\(\mathbb{R} ^{n}\)です。
例(無理数空間の直積の境界点)
\(n\)個の無理数空間の直積\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)について考えます。\(n\in \mathbb{N} \)です。\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)は内点や外点を持たないため、先の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点は\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)の境界点です。この結論の正しさを境界点の定義から確認しましょう。点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( y,x\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}となりますが、無理数の稠密性より\(N_{\varepsilon}\left( x\right) \)の中には無理数を成分とする点が存在し、有理数の稠密性より\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)の中には有理数を成分とする点が存在するため、\(N_{\varepsilon }\left( x\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)およびその補集合\(\mathbb{Q} ^{n}\)の双方と交わることが保証されます。したがって\(x\)は\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)の境界点です(演習問題にします)。\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)のすべての境界点からなる集合は\(\mathbb{R} ^{n}\)です。
例(ユークリッド空間の境界点)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)について考えます。\(\mathbb{R} ^{n}\)の内部は\(\mathbb{R} ^{n}\)であり、\(\mathbb{R} ^{n}\)は外点を持ちません。したがって先の命題より\(\mathbb{R} ^{n}\)は境界点を持ちません。この結論の正しさを境界点の定義から確認しましょう。点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( x\right) =\left\{ y\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( y,x\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)と交わる一方、その補集合である空集合\(\phi \)とは交わらないため、\(x\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の境界点ではありません。\(\mathbb{R} ^{n}\)の境界点は存在しません。

 

境界

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての境界点からなる集合を\(A\)の境界(frontier)と呼び、\begin{equation*}A^{f},\quad \partial A
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}x\in A^{f}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon
}(a)\cap A\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}という関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A^{c}\)の境界点であることは必要十分です。したがって以下が成り立ちます。

命題(集合と補集合は境界を共有する)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}A^{f}=\left( A^{c}\right) ^{f}
\end{equation*}が成り立つ。

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の境界点でないことと、\(a\)が\(A\)の内点または外点であることは必要十分であるため、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\backslash A^{f}=A^{i}\cup A^{e}\end{equation*}という関係が成り立ちます。加えて、集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるため、\(A^{i}\)と\(A^{e}\)は交わりません。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(A\)の内部、外部、境界に分割することができ、なおかつそれら3つの集合が互いに交わらないことが保証されます。

命題(内部・外部・境界の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(A\)の内部、外部、そして境界に分割される。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathbb{R} ^{n}=A^{i}\cup A^{e}\cup A^{f} \\
&&\left( b\right) \ A^{i}\cap A^{e}=\phi \wedge A^{i}\cap A^{f}=\phi \wedge
A^{e}\cap A^{f}=\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

証明

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上の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の境界点を\(A\)の内点や外点ではない\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点として定義することもできます。同じことですが、\(A\)の境界を\(A\)の内部と外部の和集合の補集合\(\left(A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}\)と定義することもできます。以前に指摘したように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部や外部はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義される概念です。この事実と、境界が内部と外部から間接的に定義可能であることを踏まえると、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の境界という概念もまた開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義可能な概念ということになります。

例(点の近傍の境界)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先の議論より、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}となります。

例(点の閉近傍の境界)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先の議論より、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}となります。

例(有理数空間の直積の境界)
\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)について、先の議論より、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{f}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります。

例(無理数空間の直積の境界)
\(n\)個の無理数空間の直積\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)について、先の議論より、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{f}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります。

例(ユークリッド空間の境界)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)について、先の議論より、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{f}=\phi
\end{equation*}となります。

 

境界を用いて閉集合であることを判定する

先に例を通じて確認したように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の境界について\(A^{f}\subset A\)や\(A\subset A^{f}\)などの関係は成り立つとは限りません。実は、\(A^{f}\subset A\)が成り立つことは、つまり\(A\)が自身のすべての境界点を要素として持つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件です。

命題(境界による閉集合の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\(A^{f}\subset A\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件である。
証明

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つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合になることを示せばよいということになります。

例(点の閉近傍は閉集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先の議論より、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}\subset C_{\varepsilon
}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。
例(ユークリッド空間は閉集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)について、先の議論より、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{f}=\phi
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{f}\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。

逆に、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合ではないことを示せばよいことになります。つまり、\(A\)の境界点の中に\(A\)の要素ではないものが存在する場合、\(A\)は閉集合ではないことが保証されます。

例(点の近傍は閉集合ではない)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}\subset N_{\varepsilon
}\left( a\right)
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
例(有理数空間の直積は閉集合ではない)
\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)について、先の議論より、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{f}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{f}\subset \mathbb{Q} ^{n}
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\mathbb{Q} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。
例(無理数空間の直積は閉集合ではない)
\(n\)個の無理数空間の直積\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)について、先の議論より、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{f}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{f}\subset \mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}
\end{equation*}は成り立ちません。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合ではありません。

以上の命題を利用すると、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の境界もまた閉集合であることが示されます。

命題(境界は閉集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その境界\(A^{f}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合である。
証明

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演習問題

問題(点の近傍の境界)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}が成り立つことを境界の定義から証明してください。

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問題(点の閉近傍の境界)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}が成り立つことを境界の定義から証明してください。

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問題(有理数空間の直積の境界)
\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{f}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つことを境界の定義から証明してください。

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問題(無理数空間の直積の境界)
\(n\)個の無理数空間の直積\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{f}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つことを境界の定義から証明してください。

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次回はユークリッド空間における触点や閉包について学びます。

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