境界点
ユークリッド空間の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点からなる集合\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)の任意の近傍が\(A\)とその補集合\(A^{c}\)の双方と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\cap
A\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\cap A^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}が成り立つならば、\(\boldsymbol{a}\)を\(A\)の境界点（frontier point）と呼びます。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の境界点であることとは、点\(\boldsymbol{a}\)からいくらでも近い場所に\(A\)の要素と\(A^{c}\)の要素の双方が存在することを意味します。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての境界点からなる集合を\(A\)の境界（frontier）と呼び、\begin{equation*}A^{f},\quad \partial A
\end{equation*}などで表記します。任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\in A^{f}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:\left[
N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\cap A\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\cap A^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の境界点\(\boldsymbol{a}\in A^{f}\)が与えられたとき、境界点の定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\cap
A\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\cap A^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}が成り立ちます。\(\left(A^{c}\right) ^{c}=A\)であることを踏まえると、これは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\cap
A^{c}\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\cap \left(
A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}と必要十分ですが、これは点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A^{c}\)の境界点であること、すなわち\(\boldsymbol{a}\in \left(A^{c}\right) ^{f}\)であることを意味します。以上より、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\in A^{f}\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\in \left( A^{c}\right)
^{f}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A^{f}=\left( A^{c}\right) ^{f}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の境界点であることと、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の補集合の境界点であることは必要十分です。集合\(A\)とその補集合\(A^{c}\)は同一の境界を共有するということです。したがって、集合\(A\)の境界を特定する代わりに補集合\(A^{c}\)の境界を特定しても問題はありません。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{f}\)は\(A\)の境界であり、\(A^{c}\)は\(A\)の補集合である。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の境界点であること、すなわち\(\boldsymbol{a}\in A^{f}\)が成り立つことは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\cap
A^{c}\not=\phi \wedge N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\cap \left(
A^{c}\right) ^{c}\not=\phi \right]
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。したがって、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の境界点でないこと、すなわち\(\boldsymbol{a}\in \left( A^{f}\right) ^{c}\)が成り立つことは、上の命題の否定である、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\cap
A^{c}=\phi \vee N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\cap \left( A^{c}\right)
^{c}=\phi \right]
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。さらに、任意の集合\(X,Y\)について、\begin{equation*}X\cap Y^{c}=\phi \Leftrightarrow X\subset Y
\end{equation*}が成り立つことを踏まえると、上の命題は、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left[ N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\subset A\vee
N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\subset A^{c}\right]
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\subset
A\right) \vee \left( \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }(\boldsymbol{a})\subset A^{c}\right)
\end{equation*}と必要十分ですが、これは点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の内点または外点であること、すなわち\(\boldsymbol{a}\in A^{i}\cup A^{e}\)であることを意味します。以上より、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\in \left( A^{f}\right) ^{c}\Leftrightarrow A\in A^{i}\cup
A^{e}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の境界点でないことは、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の内点または外点であることと必要十分です。言い換えると、\(A\)の境界の補集合は\(A\)の内部と外部の和集合と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部、\(A^{e}\)は\(A\)の外部、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。
上の命題を踏まえると、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}A^{f}=\left( A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}もまた成立します。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の境界点であることと、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の内点と外点のどちらでもないことは必要十分です。したがって、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の内点や外点ではない場合、その点\(\boldsymbol{a}\)は集合\(A\)の境界点であることが保証されます。言い換えると、\(A\)の境界点を\(A\)の内点や外点ではない\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点として定義できます。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の内点は常に\(A\)の点であり、外点は常に\(A^{c}\)の点です。つまり、\begin{eqnarray*}A^{i} &\subset &A \\
A^{e} &\subset &A^{c}
\end{eqnarray*}がともに成り立つということです。一方、集合\(A\)の境界点については、それが\(A\)の点である場合と\(A^{c}\)の点である場合の双方が可能性として起こり得ます。以下の例より明らかです。
\end{equation*}と定義されます。境界は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{f}=\left\{
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。つまり、\(N_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)の境界点はいずれも\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の要素ではありません。
\right\}
\end{equation*}と定義されます。境界は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{f}=\left\{
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。つまり、\(C_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)の境界点はいずれも\(C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の要素です。
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界開区間\begin{equation*}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left( a_{1},b_{1}\right)
\times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{equation*}をとります。この集合の境界は、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \right) ^{f}=\left\{
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\in \left\{
a_{i},b_{i}\right\} \right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。つまり、\(\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \)の境界点はいずれも\(\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \)の要素ではありません。
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界閉区間\begin{equation*}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界閉区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。この集合の境界は、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \right) ^{f}=\left\{
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\in \left\{
a_{i},b_{i}\right\} \right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。つまり、\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)の境界点はいずれも\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)の要素です。
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の無限開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) =\left( a_{1},+\infty
\right) \times \cdots \times \left( a_{n},+\infty \right)
\end{equation*}をとります。この集合の境界は、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) \right)
^{f}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}=a_{i}\right\}
\end{equation*}となります（演習問題）。つまり、\(\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) \)の境界点はいずれも\(\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) \)の要素ではありません。
\end{equation*}となります（演習問題）。したがって、\(\mathbb{Z} ^{n}\)の境界点はいずれも\(\mathbb{Z} ^{n}\)の要素です。
\end{equation*}となります（演習問題）。したがって、\(\mathbb{Q} ^{n}\)の境界点の中には\(\mathbb{Q} ^{n}\)の要素であるものとそうではないものの双方が存在します。
\end{equation*}となります（演習問題）。したがって、\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の境界点の中には\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の要素であるものとそうではないものの双方が存在します。
境界点は存在するとは限らない
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合は境界点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
内部・外部・境界の関係
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。加えて、集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であるため\(A^{i}\)と\(A^{e}\)は交わりません。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(A\)の内部、外部、境界に分割することができ、なおかつそれら3つの集合が互いに交わらないことが保証されます。
&&\left( b\right) \ A^{i}\cap A^{e}=\phi \\
&&\left( c\right) \ A^{i}\cap A^{f}=\phi \\
&&\left( d\right) \ A^{e}\cap A^{f}=\phi
\end{eqnarray*}が同時に成り立つ。ただし、\(A^{i}\)は\(A\)の内部、\(A^{e}\)は\(A\)の外部、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。
\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部や外部はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義される概念です。この事実と、境界が内部と外部から間接的に定義可能であることを踏まえると、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の境界という概念もまた開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義可能な概念ということになります。
境界を用いた閉集合の定義
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、以下の関係\begin{eqnarray*}A^{f} &\subset &A \\
A &\subset &A^{f}
\end{eqnarray*}はともに成り立つとは限らないことが明らかになりました。では、どのような条件のもとで以上の包含関係が成り立つのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合である場合、そしてその場合にのみ\(A^{f}\subset A\)という関係が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の任意の境界点が\(A\)の要素であることと、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることは必要十分です。
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件である。ただし、\(A^{f}\)は\(A\)の境界である。
境界を用いた閉集合であることの判定
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合}\Leftrightarrow
A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が閉集合であることを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合であることを示してもよいということになります。
\right\}
\end{equation*}と定義されます。境界は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{f}=\left\{
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{f}\subset
C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は閉集合です。
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界閉区間\begin{equation*}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界閉区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] =\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}をとります。この集合の境界は、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \right) ^{f}=\left\{
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\in \left\{
a_{i},b_{i}\right\} \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \right) ^{f}\subset
\prod\limits_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\prod_{i=1}^{n}\left[ a_{i},b_{i}\right] \)は閉集合です。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Z} ^{n}\right) ^{f}\subset \mathbb{Z} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{Z} ^{n}\)は閉集合です。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{f}\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)は閉集合です。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\phi ^{f}\subset \phi
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\phi \)は閉集合です。
境界を用いた閉集合ではないことの判定
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合}\Leftrightarrow
A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の命題\begin{equation*}
A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の閉集合ではない}\Leftrightarrow A^{f}\not\subset A
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が閉集合ではないことを示すためには、\(A\)の境界\(A^{f}\)を特定した上で、それが\(A\)の部分集合ではないことを示してもよいということになります。つまり、\(A\)の境界点の中に\(A\)の要素ではないものが存在する場合、\(A\)は閉集合です。
\end{equation*}と定義されます。境界は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{f}=\left\{
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{f}\subset
N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は閉集合ではありません。
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界開区間\begin{equation*}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left( a_{1},b_{1}\right)
\times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{equation*}をとります。この集合の境界は、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \right) ^{f}=\left\{
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\in \left\{
a_{i},b_{i}\right\} \right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \right) ^{f}\subset
\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right)
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \)は閉集合ではありません。
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の無限開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) =\left( a_{1},+\infty
\right) \times \cdots \times \left( a_{n},+\infty \right)
\end{equation*}をとります。この集合の境界は、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) \right)
^{f}=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}=a_{i}\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) \right)
^{f}\subset \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right)
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(\prod_{i=1}^{n}\left( a_{i},+\infty \right) \)は閉集合ではありません。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{f}\subset \mathbb{Q} ^{n}
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(\mathbb{Q} ^{n}\)は閉集合ではありません。
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{f}\subset \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}
\end{equation*}は成り立たず、したがって\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)は閉集合ではありません。
境界は閉集合
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( A^{f}\right) ^{c}=A^{i}\cup A^{e}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。集合\(A\)の内部\(A^{i}\)と外部\(A^{e}\)はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であり、開集合どうしの和集合は開集合であるため\(A^{i}\cup A^{e}\)は開集合です。したがって、それと一致する\(\left( A^{f}\right) ^{c}\)は開集合であるため、その補集合である\(A^{f}\)は閉集合です。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合の境界は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるということです。
演習問題
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{f}=\left\{
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\right\}
\end{equation*}について考えます。このとき、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \right) ^{f}=\left\{
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界開区間\begin{equation*}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left( a_{1},b_{1}\right)
\times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{equation*}をとります。この集合の境界が、\begin{equation*}
\left( \prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) \right) ^{f}=\left\{
\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \exists i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :x_{i}\in \left\{
a_{i},b_{i}\right\} \right\}
\end{equation*}であることを示してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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