ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a の任意の近傍が A と A の補集合の双方と交わるならば、a を A の境界点と呼びます。また、A のすべての境界点からなる集合を A の境界と呼びます。
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境界点

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の任意の近傍が\(A\)とその補集合\(A^{c}\)の双方と交わるならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left[ U_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
U_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の境界点(frontier point)と呼びます。ただし、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍であり、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。

集合\(A\)の境界点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left[ U_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
U_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立ちます。\(\left( A^{c}\right) ^{c}=A\)が成り立つことを踏まえると、上の命題は、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left[ U_{\varepsilon }(a)\cap \left( A^{c}\right)
^{c}\not=\phi \wedge U_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}と言い換え可能ですが、これは点\(a\)が集合\(A^{c}\)の境界点であることの定義に他なりません。したがって、\(a\)が\(A\)の境界点であることと、\(a\)が\(A^{c}\)の境界点であることは必要十分です。

命題(集合と補集合は境界点を共有する)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の境界点であることは、その点\(a\)が\(A^{c}\)の境界点であるための必要十分条件である。
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例(近傍の境界点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍は、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。この近傍の点\(b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選ぶと、近傍系の性質より、\begin{equation*}
U_{\delta }\left( b\right) \subset U_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす半径\(\delta >0\)が必ず存在します。つまり、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の補集合とは交わらない点\(b\)の近傍が存在するため、このような\(b\)は\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界点ではありません。続いて、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の補集合に属する点\(b\in \left( U_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}\)を任意に選びます。\(d\left( b,a\right) >\varepsilon \)を満たす場合、\(\delta =d\left( b,a\right) -\varepsilon >0\)とおけば\(U_{\delta }\left( b\right) \)は\(\left( U_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{c}\)の部分集合になります。つまり、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)とは交わらない点\(b\)の近傍が存在するため、このような\(b\)は\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界点でありません。一方、\(d\left( b,a\right) =\varepsilon \)を満たす場合、任意の\(\delta >0\)に対して\(U_{\delta }\left( b\right) \)は\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)と交わるため(確認してください)、このような\(b\)は\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界点です。以上より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の点の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)が与えられたとき、その境界点は\(d\left( b,a\right) =\varepsilon \)を満たす任意の点\(b\)です。
例(閉近傍の境界点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。先の例と同様の議論により、\(d\left( b,a\right) =\varepsilon \)を満たす任意の点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)は\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界点ですが、それ以外の\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の点は\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界点ではないことが明らかになります。\(\mathbb{R} ^{n}\)の点の閉近傍\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)が与えられたとき、その境界点は\(d\left( b,a\right) =\varepsilon \)を満たす任意の点\(b\)であるということです。
例(ユークリッド空間の境界点)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)について考えます。その補集合は\(\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{c}=\phi \)です。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \phi =\phi
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap \left(
\mathbb{R} ^{n}\right) ^{c}=\phi
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。つまり、点\(a\)の任意の近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)の補集合とは交わらないため、\(a\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の境界点ではありません。\(\mathbb{R} ^{n}\)は境界点を持たない集合です。

 

境界

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての境界点からなる集合を\(A\)の境界(frontier)と呼び、\begin{equation*}
A^{f},\quad \partial A
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}
x\in A^{f}\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0:\left[ U_{\varepsilon
}(a)\cap A\not=\phi \wedge U_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}という関係が成り立ちます。

先に示したように、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の境界点であることは、その点\(a\)が\(A^{c}\)の境界点であるための必要十分条件です。したがって以下が成り立ちます。

命題(集合と補集合は境界を共有する)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\begin{equation*}
A^{f}=\left( A^{c}\right) ^{f}
\end{equation*}が成り立つ。
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例(近傍の外部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left( U_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}となります。
例(閉近傍の外部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)について考えます。先の考察より、\begin{equation*}
\left( D_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{f}=\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) =\varepsilon \right\}
\end{equation*}となります。
例(ユークリッド空間の外部)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)について、先の考察より、\begin{equation*}
\left(
\mathbb{R} ^{n}\right) ^{f}=\phi
\end{equation*}となります。

 

内部・外部・境界の関係

繰り返しになりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の境界点であることは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0:\left[ U_{\varepsilon }(a)\cap A\not=\phi \wedge
U_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}\not=\phi \right] \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、点\(a\)が\(A\)の境界点でないことは、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left[ U_{\varepsilon }(a)\cap A=\phi \vee
U_{\varepsilon }(a)\cap A^{c}=\phi \right] \end{equation*}が成り立つこととして表現されます。\(U_{\varepsilon }(a)\cap A=\phi \)を満たす\(\varepsilon >0\)が存在することは\(a\)が\(A\)の外点であることを意味し、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}=\phi \)を満たす\(\varepsilon >0\)が存在することは\(a\)が\(A\)の内点であることを意味します。したがって、\(a\)が\(A\)の境界点でないことは、\(a\)が\(A\)の外点であるか、\(a\)が\(A\)の内点であるかの少なくとも一方であることを意味します。ただし、\(A\)の外部\(A^{e}\)は\(A^{c}\)の部分集合であり、内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であるため、\(A^{e}\)と\(A^{i} \)は交わりません。つまり、\(a\)が\(A\)の外点かつ内点であるような事態は起こり得ないということです。以上を踏まえると、\(a\)が\(A\)の境界点でないことは、\(a\)が\(A\)の外点であるか、\(a\)が\(A\)の内点であるかのどちらか一方であることを意味します。

同様の議論が\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点について成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)のそれぞれの点は\(A\)の境界点、外点、内点かのいずれかであるということです。言い換えると、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} \)は\(A\)の境界、外部、内部に分割されるということです。

命題(内部・外部・境界の関係)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(A\)の内部、外部、そして境界に分割される。すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \
\mathbb{R} ^{n}=A^{i}\cup A^{e}\cup A^{f} \\
&&\left( b\right) \ A^{i}\cap A^{e}=\phi ,\ A^{i}\cap A^{f}=\phi ,\
A^{e}\cap A^{f}=\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
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上の命題より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の境界点を\(A\)の内点や外点ではない\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点として定義することもできます。同じことですが、\(A\)の境界を\(A\)の内部と外部の和集合の補集合として定義できます。また、以前に指摘したように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部や外部はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義される概念です。この事実と、境界が内部と外部から間接的に定義可能であることを踏まえると、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の境界という概念もまた開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義可能な概念ということになります。

 

境界と閉集合の関係

先に例を通じて確認したように、一般に、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の境界について、\(A^{f}\subset A\)や\(A\subset A^{f}\)などの関係は成り立つとは限りません。一方、\(A^{f}\subset A\)が成り立つ場合、この集合\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であることが保証されます。証明は以下の通りです。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の境界について\(A^{f}\subset A\)が成り立つものとします。内部について一般に\(A^{i}\subset A\)が成り立つことも踏まえると、\begin{equation*}
A^{i}\cup A^{f}\subset A
\end{equation*}を得ます。これは、\begin{equation*}
A^{c}\subset \left( A^{i}\cup A^{f}\right) ^{c}
\end{equation*}と必要十分ですが、先に示したように\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(A\)の内部・外部・境界に分割されるため、これは、\begin{equation*}
A^{c}\subset A^{e}
\end{equation*}と言い換え可能です。ただし、\(A^{e}\)は\(A\)の外部です。点\(x\in A^{c}\)を任意に選びます。すると上の包含関係より\(x\in A^{e}\)が成り立ちますが、外部の定義より、このとき、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset A^{c}
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(A^{c}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを意味します。したがって、その補集合である\(A\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。

逆の関係もまた成立します。つまり、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるとき、その境界について\(A^{f}\subset A\)が成り立ちます(証明は演習問題にします)。したがって、\(A\)のすべての境界点が\(A\)の要素であることとして、\(A\)が閉集合であることを特徴づけることができます。

命題(境界を用いた閉集合の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}
A^{f}\subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合であるための必要十分条件である。
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境界という概念を用いることにより閉集合を特徴づけられることが明らかになりましたが、実は、境界もまた閉集合です。証明は以下の通りです。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(A\)の内部・外部・境界に分割されることから、\begin{equation*}
A^{f}=\left( A^{i}\cup A^{e}\right) ^{c}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以前に示したように内部\(A^{i}\)と外部\(A^{e}\)はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため、それらの和集合もまた開集合です。したがって、その補集合と一致する境界\(A^{f}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合です。

命題(境界は閉集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その境界\(A^{f}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合である。
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次回はユークリッド空間における触点や閉包について学びます。

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