ユークリッド空間の部分集合 A が与えられたとき、点 a を中心とする開近傍の中に A の部分集合になるものが存在するならば、a を A の内点と呼びます。また、A のすべての内点を集めてできる集合を A の内部と呼びます。部分集合 A とその内部が一致することは、A が開集合であるための必要十分条件です。
内点  内部  開核 
< 前のページ
次のページ >

内点

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の近傍の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の内点(interior point)と呼びます。ただし、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍であり、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。

一般に、集合\(X\)が集合\(Y\)の部分集合であることは\(X\)が\(Y\)の補集合\(Y^{c}\)と交わらないことと同義です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることを、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}=\phi
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、点\(a\)の近傍の中に\(A\)の補集合と交わらないものが存在するならば\(a\)は\(A\)の内点です。

集合\(A\)の内点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として含むため、これと上の命題より、\(a\)は\(A\)の要素でもあります。つまり、集合\(A\)の内点は\(A\)の要素であるということです。言い換えると、\(A\)の要素ではない点は\(A\)の内点になり得ません。

命題(集合の内点はその集合の要素)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、\(A\)の任意の内点は\(A\)の要素である。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(近傍の内点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍は、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。この近傍の点\(b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選ぶと、近傍系の性質より、\begin{equation*}
U_{\delta }\left( b\right) \subset U_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす半径\(\delta >0\)が必ず存在しますが、これは\(b\)が\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点であることを意味します。また、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の要素ではない点は\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点ではありません。以上より、\(\mathbb{R} \)上の点の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)が任意に与えられたとき、その内点は\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の任意の要素です。
例(閉近傍の内点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の点の中でも\(d\left( b,a\right) <\varepsilon \)を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
\delta =\varepsilon -d\left( b,a\right) >0
\end{equation*}とおけば\(U_{\delta }\left( b\right) \subset D_{\varepsilon }\left( a\right) \)が成り立つため(確認してください)、\(b\)は\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点です。一方、\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の点の中でも\(d\left( b,a\right) =\varepsilon \)を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、この点に関しては\(U_{\delta }\left( b\right) \subset D_{\varepsilon }\left( a\right) \)を満たす\(\delta >0\)は存在しないため(確認してください)、\(b\)は\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点ではありません。また、\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の要素ではない点は\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点ではありません。以上より、\(\mathbb{R} \)上の点の閉近傍\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)が任意に与えられたとき、その内点は\(d\left( b,a\right) <\varepsilon \)を満たす任意の点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)、すなわち\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の任意の点です。
例(ユークリッド空間の内点)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)について考えます。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset
\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が明らかに成り立つため、\(a\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の内点です。\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点は\(\mathbb{R} ^{n}\)の内点であるということです。

 

内部

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての内点からなる集合を\(A\)の内部(interior)や開核(open kernel)などと呼び、\begin{equation*}
A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\cap A^{c}=\phi \quad \because \subset \text{の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

先に示したように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の内点は\(A\)の要素であるため、\(A\)の内部は\(A\)の部分集合です。

命題(集合の内部はその集合の部分集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
A^{i}\subset A
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)
例(近傍の内部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先の考察より、その内部は、\begin{equation*}
\left( U_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=U_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります。
例(閉近傍の内部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\begin{equation*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先の考察より、その内部は、\begin{equation*}
\left( D_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=U_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります。
例(ユークリッド空間の内部)
すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)について、先の考察より、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{i}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります。

 

内部と開集合の関係

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)が必ず成り立つことを確認しましたが、逆に、\(A\subset A^{i}\)は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(集合と内部の関係)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\begin{equation*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。これは明らかに\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。\(d\left( b,a\right) =\varepsilon \)を満たす任意の点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)は\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の点である一方、\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点ではありません。したがって、\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \subset \left( D_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}\)は成り立ちません。

では、\(A\subset A^{i}\)を満たすような\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)は存在するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ、\(A\subset A^{i}\)という関係もまた成立します。証明は以下の通りです。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(A\)が与えられたとき、その点\(a\in A\)を任意に選ぶと、開集合の定義より、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A \tag{1}
\end{equation}が成り立ちますが、これは\(a\)が\(A\)の内点であることの定義に他なりません。したがって\(a\in A^{i}\)が成り立つため\(A\subset A^{i}\)が示されました。逆に\(A\subset A^{i}\)が成り立つとき、\(a\in A\)を任意に選ぶと\(a\in A^{i}\)であり、すると内部の定義より\(\left( 1\right) \)が成り立ちます。これは\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることの定義に他なりません。

命題(内部による開集合の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\(A\subset A^{i}\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるための必要十分条件である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)が成り立つことと上の命題を踏まえると、開集合を以下のように特徴づけることも可能です。

命題(内部による開集合の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\(A=A^{i}\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるための必要十分条件である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、さらにその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)を考えることができますが、実はこれは\(A^{i}\)と一致します(証明は演習問題にします)。

命題(内部の内部)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、\(\left( A^{i}\right) ^{i}=A^{i}\)が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題は\(A^{i}\)がその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)と一致すると言っているため、内部による開集合の特徴づけに関する命題より、\(A^{i}\)は開集合となります。\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部は開集合であるということです。

命題(内部は開集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合である。
証明を見る(プレミアム会員限定)

さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものです。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{i}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}
\left( \forall B\in \mathcal{O}:B\subset A\right) \Rightarrow B\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです。実際、\(B\subset A\)を満たす開集合\(B\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、その要素\(b\in B\)を任意に選ぶと、開集合の定義より、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( b\right) \subset B
\end{equation*}が成り立ちます。\(B\subset A\)であるため、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( b\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(b\)が\(A\)の内点であることの定義に他なりません。つまり\(b\in A^{i}\)であるため\(B\subset A^{i}\)であることが示されました。

命題(開集合系による内部の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものである。すなわち、\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{i}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{O}:B\subset A\ \Rightarrow \ B\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合の中でも、\(A\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の内部\(A^{i}\)になります。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部という概念は、\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

 

内部と集合演算

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。\(A\subset B\)が成り立つ場合、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}
x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Rightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
B\quad \because A\subset B \\
&\Leftrightarrow &x\in B^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{eqnarray*}となるため、それらの内部についても\(A^{i}\subset B^{i}\)が成り立つことが示されました。

命題(包含関係と内部)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\subset B\Rightarrow A^{i}\subset B^{i}
\end{equation*}が成り立つ。

証明を見る(プレミアム会員限定)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{align*}
x\in \left( A\cap B\right) ^{i}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon
>0:U_{\varepsilon }(x)\subset A\cap B\quad \because \text{内部の定義} \\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:[U_{\varepsilon }(x)\subset A\wedge
U_{\varepsilon }(x)\subset B]\quad \because \cap \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lbrack \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A]\wedge \lbrack \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon
}\left( x\right) \subset B] \\
& \Leftrightarrow x\in A^{i}\wedge x\in B^{i}\quad \because \text{内部の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in A^{i}\cap B^{i}\quad \because \cap \text{の定義}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの共通部分の内部は、個々の集合の内部の共通部分と一致するということです。

命題(共通部分と内部)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つ。

証明を見る(プレミアム会員限定)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{align*}
x\in A^{i}\cup B^{i}& \Leftrightarrow x\in A^{i}\vee x\in B^{i}\quad
\because \cup \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lbrack \exists \varepsilon _{1}>0:U_{\varepsilon
_{1}}\left( x\right) \subset A]\vee \lbrack \exists \varepsilon
_{2}>0:U_{\varepsilon _{2}}\left( x\right) \subset B] \\
& \Rightarrow \exists \varepsilon >0:[U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A\vee U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset B] \\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A\cup B\quad \because \cup \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの和集合の内部は、個々の集合の内部の和集合を部分集合として含むということです。

命題(和集合と内部)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つ。
証明を見る(プレミアム会員限定)

ちなみに、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{i}\subset A^{i}\cup B^{i}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

例(和集合と内部)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)の部分集合である\(\left( -1,0\right) \)と\([0,1)\)について考えます。これらの和集合の内部は、\begin{eqnarray*}
\left( \left( -1,0\right) \cup \lbrack 0,1)\right) ^{i} &=&\left(
-1,1\right) ^{i}\quad \because \cup \text{の定義} \\
&=&\left( -1,1\right) \quad \because \text{内部の定義}
\end{eqnarray*}である一方、それぞれの内部の和集合は、\begin{eqnarray*}
\left( -1,0\right) ^{i}\cup \lbrack 0,1)^{i} &=&\left( -1,0\right) \cup
\left( 0,1\right) \quad \because \text{内部の定義} \\
&=&\left( -1,1\right) \backslash \left\{ 0\right\} \quad \because \cup \text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、両者は異なる集合です。

次回はユークリッド空間における外点や外部について学びます。

次へ進む 質問・コメント(プレミアム会員限定) 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Share on twitter
Share on email
< 前のページ
次のページ >

プレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。プレミアム会員の方は以下からログインしてください。

会員登録 | パスワードを忘れましたか?

有料のプレミアム会員になると、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題とその解答)へのアクセスなどが可能になります。

ワイズのユーザーは年齢・性別・学歴・社会的立場などとは関係なく「学ぶ人」として対等であり、お互いを人格として尊重することが求められます。ユーザーが快適かつ安心して「学ぶ」ことに集中できる環境を整備するため、広告やスパム投稿、他のユーザーを貶めたり威圧する発言、学んでいる内容とは関係のない不毛な議論などはブロックすることになっています。詳細はガイドラインをご覧ください。

本サイトは MathJax を実装しているため、コメント文中で LaTex コマンドを利用することで美しい数式を入力できます。その際、インライン数式は\(数式\)で、ディスプレイ数式は$$数式$$という形式でそれぞれ入力してください。 例えば、\(ax^{2}+bx+c=0\)と入力すると\(ax^{2}+bx+c=0\)と表示され、$$ax^{2}+bx+c=0$$と入力すると$$ax^{2}+bx+c=0$$と表示されます。MathJax(LaTex)の文法については次のサイト( https://easy-copy-mathjax.xxxx7.com )などを参照してください。 紙に手書きした数式や図をカメラやスマホで撮影した上で、コメント欄に張り付けることもできます。その場合、コメント入力欄にある「ファイルを選択」ボタンをクリックした上で画像をアップロードしてください。アップロード可能な画像フォーマットは jpg, gif, png の 3 種類、ファイルサイズの上限は 5 MB です。PDF ファイルの添付も可能です。

誤字脱字、リンク切れ、内容の誤りを発見した場合にはコメントに投稿するのではなく、以下のフォームからご連絡をお願い致します。

プレミアム会員だけが質問やコメントを投稿・閲覧できます。

アカウント
ログイン