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ユークリッド空間における内点・内部

目次

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内点

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の近傍の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の内点(interior point)と呼びます。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも近い場所にある任意の点が\(A\)の点になることが保証されることを意味します。

逆に、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)の内点でないこととは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(a\)が集合\(A\)の内点でないこととは、点\(a\)からいくらでも近い場所に\(A\)の要素ではない点が存在することを意味します。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての内点からなる集合を\(A\)の内部(interior)や開核(open kernel)などと呼び、\begin{equation*}A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( x\right)
\cap A^{c}=\phi \quad \because \text{包含関係の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の内点\(a\in A^{i}\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として持つため、すなわち\(a\in N_{\varepsilon}\left( a\right) \)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}a\in A
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、集合\(A\)の内点は必ず\(A\)の要素であるということです。つまり、\(A\)の内部は\(A\)の部分集合です。\(A\)の要素ではない点は\(A\)の内点になり得ないため、\(A\)の内点を探す際には\(A\)の点だけを候補としても問題はありません。

命題(集合の内部はその集合の部分集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A^{i}\subset A
\end{equation*}が成り立つ。

例(点の近傍の内部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(n=1\)の場合、これは有界な開区間\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-x,a+x\right)
\end{equation*}と一致し、\(n=2\)の場合、これは点\(a\)を中心とする円盤(境界を除く)\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\}
\end{equation*}と一致します。いずれにせよ、この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。ここでは、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}\subset N_{\varepsilon
}\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成立しており、先の命題の主張と整合的です。

例(点の閉近傍の内部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(n=1\)の場合、これは有界な閉区間\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left[ a-x,a+x\right] \end{equation*}と一致し、\(n=2\)の場合、これは点\(a\)を中心とする円盤(境界を含む)\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と一致します。いずれにせよ、この集合の内部は、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります(演習問題)。ここでは、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}\subset C_{\varepsilon
}\left( a\right)
\end{equation*}という関係が成立しており、先の命題の主張と整合的です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合は内点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

例(有理数空間の直積の内部)
有限\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)について考えます。この集合は内点を持たないため(演習問題)、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{i}=\phi
\end{equation*}となります。空集合は任意の集合の部分集合であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{i}\subset \mathbb{Q} ^{n}
\end{equation*}という関係が成立しますが、これは先の命題の主張と整合的です。

例(無理数空間の直積の内点)
有限\(n\)個の無理数空間の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)について考えます。この集合は内点を持たないため(演習問題)、\begin{equation*}\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{i}=\phi
\end{equation*}となります。空集合は任意の集合の部分集合であるため、\begin{equation*}
\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{i}\subset \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}
\end{equation*}という関係が成立しますが、これは先の命題の主張と整合的です。

例(ユークリッド空間の内点)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の内部は、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{i}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります(演習問題)。ここでは、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{i}\subset \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}という関係が成立しており、先の命題の主張と整合的です。

 

内部を用いた開集合の定義

繰り返しになりますが、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}A^{i}\subset A
\end{equation*}という関係が常に成立します。では逆に、\begin{equation*}
A\subset A^{i}
\end{equation*}という関係もまた常に成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(集合と内部の関係)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)と開近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)に注目します。具体的には、\begin{eqnarray*}C_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\} \\
N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{eqnarray*}です。定義より、\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の真部分集合であるため\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \subset N_{\varepsilon}\left( a\right) \)は成り立ちません。一方、先に示したように、\begin{equation*}\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}であるため、これは\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \subset \left( C_{\varepsilon }\left(a\right) \right) ^{i}\)が成り立たないことを意味します。

では、どのような条件のもとで\(A\subset A^{i}\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ\(A\subset A^{i}\)という関係もまた成立します。

命題(内部による開集合の定義)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるための必要十分条件である。
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以上の命題は、開集合という概念が内部という概念から定義可能であることを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}A\subset A^{i}
\end{equation*}が成り立つこととして、つまり\(A\)の任意の点が\(A\)の内点であることとして、\(A\)が開集合であることの意味を定義できるということです。さらに、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A\subset A^{i} &\Leftrightarrow &A\subset A^{i}\wedge A^{i}\subset A\quad
\because A^{i}\subset A\text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &A=A^{i}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\subset A^{i}\Leftrightarrow A=A^{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。

命題(内部による開集合の定義)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}A=A^{i}
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるための必要十分条件である。

 

開集合を用いた内部の定義

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、さらにその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)を考えることができますが、実はこれは\(A^{i}\)と一致します(演習問題)。つまり、\begin{equation*}\left( A^{i}\right) ^{i}=A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです。先の命題より、これは\(A^{i}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合の内部は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるということです。

命題(内部は開集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合である。
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\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その内部\(A^{i}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、なおかつ\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合でもあります。\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合は\(A^{i}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{i}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{i}\)の間には\(B\subset A^{i}\)という関係が成り立つということです(演習問題)。

命題(開集合系による内部の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものである。すなわち、\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{i}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{O}:\left( B\subset A\Rightarrow B\subset A^{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたものとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合の中でも、\(A\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の内部\(A^{i}\)になります。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部という概念は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

 

演習問題

問題(点の開近傍の内部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする開近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。このとき、\begin{equation*}
\left( N_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(点の閉近傍の内部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。このとき、\begin{equation*}
\left( C_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=N_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(有理数空間の直積の内部)
有限\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{i}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(無理数空間の直積の内部)
有限\(n\)個の無理数空間の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)について、\begin{equation*}\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{i}=\phi
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(ユークリッド空間の内部)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{i}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(包含関係と内部)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow A^{i}\subset B^{i}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(共通部分と内部)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(和集合と内部)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(和集合と内部)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}\left( A\cup B\right) ^{i}\subset A^{i}\cup B^{i}
\end{equation*}と言う関係は成り立つとは限らないことを示してください。

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次回はユークリッド空間の内部を用いて与えられた集合が開集合であることを判定する方法を解説します。

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