ユークリッド空間における内点・内部

内点

ユークリッド空間の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは、点\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点からなる集合\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}です。ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)の近傍の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、\(\boldsymbol{a}\)を\(A\)の内点（interior point）と呼びます。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の内点であることとは、十分小さい距離\(\varepsilon \)を選べば、\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも近い場所にある任意の点が\(A\)の点になることを意味します。

逆に、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)の内点でないこととは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap
A^{c}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の内点でないこととは、点\(\boldsymbol{a}\)からいくらでも近い場所に\(A\)の要素ではない点が存在することを意味します。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての内点からなる集合を\(A\)の内部（interior）や開核（open kernel）などと呼び、\begin{equation*}A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。任意の点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{x}\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon
>0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) \subset A\quad \because
\text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) \cap A^{c}=\phi \quad \because \text{包含関係の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。

集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)の内点\(\boldsymbol{a}\in A^{i}\)が与えられたとき、内点の定義より、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)はその中心\(\boldsymbol{a}\)を要素として持つため、すなわち\(\boldsymbol{a}\in N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}\boldsymbol{a}\in A
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
A^{i}\subset A
\end{equation*}であることが明らかになりました。集合\(A\)の内点は必ず\(A\)の要素であるということです。したがって、集合\(A\)の要素ではない点は\(A\)の内点になり得ないため、\(A\)の内点を探す際には\(A\)の点だけを候補としても問題はありません。

内点は存在するとは限らない

ユークリッド空間の部分集合は内点を持つとは限りません。以下の例より明らかです。

内部を用いた開集合の定義

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が任意に与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}A^{i}\subset A
\end{equation*}が必ず成り立つことが明らかになりました。では逆に、以下の関係\begin{equation*}
A\subset A^{i}
\end{equation*}もまた必ず成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

では、どのような条件のもとで\(A\subset A^{i}\)が成立するのでしょうか。実は、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合である場合、そしてその場合にのみ\(A\subset A^{i}\)という関係もまた成立します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}A\subset A^{i} &\Leftrightarrow &A\subset A^{i}\wedge A^{i}\subset A\quad
\because A^{i}\subset A\text{は恒真式} \\
&\Leftrightarrow &A=A^{i}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
A\subset A^{i}\Leftrightarrow A=A^{i}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、上の命題を以下のように言い換えることもできます。

以上の命題は、開集合という概念が内部という概念から定義可能であることを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、その内部\(A^{i}\)が定義されていれば、以下の条件\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合}\Leftrightarrow A=A^{i}
\end{equation*}を満たすものとして開集合の概念を間接的に定義できるということです。

内部を用いた開集合であることの判定

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合}\Leftrightarrow A=A^{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が開集合であることを示すためには、\(A\)の内部\(A^{i}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致することを示してもよいということになります。

内部を用いた開集合ではないことの判定

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合}\Leftrightarrow A=A^{i}
\end{equation*}が成り立つのであれば、以下の関係\begin{equation*}
A\text{は}\mathbb{R} ^{n}\text{上の開集合ではない}\Leftrightarrow A\not=A^{i}
\end{equation*}もまた成立します。したがって、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が開集合ではないことを示すためには、\(A\)の内部\(A^{i}\)を特定した上で、それが\(A\)と一致しないことを示してもよいということになります。

ちなみに、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が開集合ではないことは\(A\)が閉集合であることを必ずしも意味しないため、\(A\not=A^{i}\)を示した場合、\(A\)が閉集合であることを示したことにはなりません。

開集合を用いた内部の定義

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、さらにその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)をとることができますが、これは\(A^{i}\)と一致します。つまり、\begin{equation*}\left( A^{i}\right) ^{i}=A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです（演習問題）。

以上の事実は、内部\(A^{i}\)の内部が\(A^{i}\)自身と一致することを意味しますが、先の命題より、以上の事実は\(A^{i}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合の内部は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるということです。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その内部\(A^{i}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、なおかつ\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合でもあります。\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合は\(A^{i}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{i}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{i}\)の間には\(B\subset A^{i}\)という関係が成り立つということです（演習問題）。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたものとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合の中でも、\(A\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の内部\(A^{i}\)になります。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部という概念は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

演習問題