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内点

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の近傍の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の内点(interior point)と呼びます。ただし、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍であり、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。

一般に、集合\(X\)が集合\(Y\)の部分集合であることは\(X\)が\(Y\)の補集合\(Y^{c}\)と交わらないことは必要十分です。したがって、点\(a\)が集合\(A\)の内点であることを、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \cap A^{c}=\phi
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、点\(a\)の近傍の中に\(A\)の補集合と交わらないものが存在するならば\(a\)は\(A\)の内点です。

繰り返しになりますが、集合\(A\)の内点\(a\)が与えられたとき、定義より、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちます。近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)はその中心\(a\)を要素として含むため、上の関係より、\(a\)は\(A\)の要素でもあります。つまり、集合\(A\)の内点は\(A\)の要素であるということです。言い換えると、\(A\)の要素ではない点は\(A\)の内点になり得ません。

命題(集合の内点はその集合の要素)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、\(A\)の任意の内点は\(A \)の要素である。
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例(近傍の内点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍は、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。この近傍の点\(b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選ぶと、近傍系の性質より、\begin{equation*}
U_{\delta }\left( b\right) \subset U_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす半径\(\delta >0\)が必ず存在しますが、これは\(b\)が\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点であることを意味します。\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の任意の点\(b\)について同様の議論が成立するため、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の任意の要素は\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点であることが明らかになりました。また、先の命題より\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の要素ではない点は\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点ではありません。したがって、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)のすべての内点からなる集合は\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)です。
例(閉近傍の内点)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍は、\begin{equation*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の点の中でも\(d\left( b,a\right) <\varepsilon \)を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)、すなわち近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の要素であるような点\(b\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\delta =\varepsilon -d\left( b,a\right) >0
\end{equation*}とおけば\(U_{\delta }\left( b\right) \subset D_{\varepsilon }\left( a\right) \)が成り立つため、\(b\)が\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点であることが示されます(演習問題にします)。一方、\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の点の中でも\(d\left( b,a\right) =\varepsilon \)を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、これに対して\(U_{\delta }\left( b\right) \subset D_{\varepsilon }\left( a\right) \)を満たす\(\delta >0\)は存在しないため、\(b\)は\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点ではありません(演習問題にします)。また、先の命題より\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の要素ではない任意の点は\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点ではありません。したがって、\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)のすべての内点からなる集合は\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)です。
例(有理数空間の直積の内点)
\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)について考えます。\(a\in \mathbb{Q} ^{n}\)と\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)を作ると、無理数の稠密性より、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中には無理数を成分とする点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\backslash \mathbb{Q} ^{n}\)が必ず存在する(演習問題にします)ため\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{Q} ^{n}\)の部分集合ではなく、したがって\(a\)は\(\mathbb{Q} ^{n}\)の内点ではありません。\(\mathbb{Q} ^{n}\)の任意の点\(a\)について同様の議論が成立するため、\(\mathbb{Q} ^{n}\)の任意の点は\(\mathbb{Q} ^{n}\)の内点ではありません。また、先の命題より\(\mathbb{Q} ^{n}\)の要素ではない任意の点は\(\mathbb{Q} ^{n}\)の内点ではありません。したがって\(\mathbb{Q} ^{n}\)は内点を持ちません。
例(無理数空間の直積の内点)
\(n\)個の無理数空間の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)について考えます。\(a\in \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)と\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)を作ると、有理数の稠密性より、\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中には有理数を成分とする点\(b\in \mathbb{Q} ^{n}\)が必ず存在する(演習問題にします)ため\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の部分集合ではなく、したがって\(a\)は\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の内点ではありません。\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の任意の点\(a\)について同様の議論が成立するため、\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の任意の点は\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の内点ではありません。また、先の命題より\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の要素ではない任意の点は\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)の内点ではありません。したがって\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)は内点を持ちません。
例(ユークリッド空間の内点)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)について考えます。\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)を作ると、これは明らかに\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため\(a\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の内点です。\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点\(a\)について同様の議論が成立するため、\(\mathbb{R} ^{n}\)のすべての内点からなる集合は\(\mathbb{R} ^{n}\)であることが明らかになりました。

 

内部

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)のすべての内点からなる集合を\(A\)の内部(interior)や開核(open kernel)などと呼び、\begin{equation*}
A^{i},\quad A^{\circ },\quad \mathrm{int}\left( A\right)
\end{equation*}などで表記します。定義より、任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}
x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\cap A^{c}=\phi \quad \because \subset \text{の定義}
\end{eqnarray*}などの関係が成り立ちます。

例(近傍の内部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)のすべての内点からなる集合は\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)であるため、\begin{equation*}
\left( U_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=U_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります。
例(閉近傍の内部)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\begin{equation*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)のすべての内点からなる集合は\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)であるため、\begin{equation*}
\left( D_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=U_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}となります。
例(有理数空間の直積の内部)
先に確認したように、\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)は内点を持たないため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{i}=\phi
\end{equation*}となります。
例(無理数空間の直積の内部)
先に確認したように、\(n\)個の無理数空間の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)は内点を持たないため、\begin{equation*}
\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{i}=\phi
\end{equation*}となります。
例(ユークリッド空間の内部)
先に確認したように、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)のすべての内点からなる集合は\(\mathbb{R} ^{n}\)であるため、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{i}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}となります。

 

内部と開集合の関係

先に示したように、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の内点は\(A\)の要素であるため、\(A\)の内部は\(A\)の部分集合です。つまり、\(A^{i}\subset A\)という関係が常に成り立ちます。

命題(集合の内部はその集合の部分集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
A^{i}\subset A
\end{equation*}が成り立つ。
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逆に、\(A\subset A^{i}\)という関係もまた成り立つのでしょうか。以下の例が示唆するように、この関係は成立するとは限りません。

例(集合と内部の関係)
\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、閉近傍\begin{equation*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\(d\left( x,a\right) =\varepsilon \)を満たす任意の点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)は\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の要素である一方で\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の内点ではありません。したがって\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \subset \left( D_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}\)は成り立ちません。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(A\)が与えられたとき、その点\(a\in A\)を任意に選ぶと、開集合の定義より、\begin{equation}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A \quad\cdots (1)
\end{equation}が成り立ちますが、これは\(a\)が\(A\)の内点であることの定義に他なりません。したがって\(a\in A^{i}\)が成り立つため\(A\subset A^{i}\)が示されました。逆に\(A\subset A^{i}\)が成り立つとき、\(a\in A\)を任意に選ぶと\(a\in A^{i}\)であり、すると内部の定義より\(\left( 1\right) \)が成り立ちます。これは\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることの定義に他なりません。

命題(内部による開集合の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\(A\subset A^{i}\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるための必要十分条件である。
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\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について\(A^{i}\subset A\)が成り立つことと上の命題を踏まえると、開集合を以下のように特徴づけることも可能です。

命題(内部による開集合の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\(A=A^{i}\)が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるための必要十分条件である。
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例(近傍は開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする近傍\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\begin{equation*}
\left( U_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=U_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}が成り立つため、上の命題より\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です。
例(閉近傍は開集合ではない)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とし、半径を\(\varepsilon >0\)とする閉近傍\begin{equation*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}について考えます。先に確認したように、\begin{equation*}
\left( D_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}=U_{\varepsilon }\left(
a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\left( D_{\varepsilon }\left( a\right) \right) ^{i}\not=D_{\varepsilon
}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つため、上の命題より\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません。
例(有理数空間の直積は開集合ではない)
先に確認したように、\(n\)個の有理数空間の直積\(\mathbb{Q} ^{n}\)に関して、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{i}=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\left( \mathbb{Q} ^{n}\right) ^{i}\not=\mathbb{Q} ^{n}
\end{equation*}が成り立つため、上の命題より\(\mathbb{Q} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません。
例(無理数空間の直積は開集合ではない)
先に確認したように、\(n\)個の無理数空間の直積\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)に関して、\begin{equation*}
\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{i}=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\begin{equation*}
\left( \left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\right) ^{i}\not=\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}
\end{equation*}が成り立つため、上の命題より\(\left( \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right) ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません。
例(ユークリッド空間は開集合)
先に確認したように、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)に関して、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{n}\right) ^{i}=\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つため、上の命題より\(\mathbb{R} ^{n}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため、さらにその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)を考えることができますが、実はこれは\(A^{i}\)と一致します。つまり、\begin{equation*}
\left( A^{i}\right) ^{i}=A^{i}
\end{equation*}が成り立つということです(証明は演習問題にします)。つまり、\(A^{i}\)とその内部\(\left( A^{i}\right) ^{i}\)が一致しますが、先の命題より、これは\(A^{i}\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを意味します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合の内部は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるということです。

命題(内部は開集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合である。
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\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その内部\(A^{i}\)をとります。これまでの議論より、\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であり、なおかつ\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合でもあります。\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合は\(A^{i}\)の他にも存在する可能性はありますが、\(A^{i}\)はそのような集合の中でも最大のものです。つまり、\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(B\)を任意に選んだとき、これと\(A^{i}\)の間には\(B\subset A^{i}\)という関係が成り立つということです。証明は以下の通りです。

\(A\)の部分集合であるような\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(B\)を任意に選びます。その要素\(b\in B\)を任意に選ぶと、開集合の定義より、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( b\right) \subset B
\end{equation*}が成り立ちます。\(B\subset A\)であるため、このとき、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( b\right) \subset A
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(b\)が\(A\)の内点であること、すなわち、\begin{equation*}
b\in A^{i}
\end{equation*}であることを意味します。以上で\(B\subset A^{i}\)であることが示されました。

命題(開集合系による内部の特徴づけ)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の部分集合\(A\)について、その内部\(A^{i}\)は\(A\)の部分集合であるような開集合の中でも最大のものである。すなわち、\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系を\(\mathcal{O}\)で表すとき、\(A^{i}\in \mathcal{O}\)であるとともに、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{O}:\left( B\subset A\Rightarrow B\subset A^{i}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)と部分集合\(A\)が与えられたとします。このとき、\(\mathcal{O}\)に属する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合の中でも、\(A\)の部分集合でありなおかつその中で最大のものをとればそれは\(A\)の内部\(A^{i}\)になります。したがって\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合の内部という概念は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)から間接的に定義することも可能です。

 

内部と集合演算

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。\(A\subset B\)が成り立つ場合、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{eqnarray*}
x\in A^{i} &\Leftrightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A\quad \because \text{内部の定義} \\
&\Rightarrow &\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
B\quad \because A\subset B \\
&\Leftrightarrow &x\in B^{i}\quad \because \text{内部の定義}
\end{eqnarray*}となるため、それらの内部についても\(A^{i}\subset B^{i}\)が成り立つことが示されました。

命題(包含関係と内部)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\subset B\Rightarrow A^{i}\subset B^{i}
\end{equation*}が成り立つ。
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ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{align*}
x\in \left( A\cap B\right) ^{i}& \Leftrightarrow \exists \varepsilon
>0:U_{\varepsilon }(x)\subset A\cap B\quad \because \text{内部の定義} \\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:[U_{\varepsilon }(x)\subset A\wedge
U_{\varepsilon }(x)\subset B]\quad \because \cap \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lbrack \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A]\wedge \lbrack \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon
}\left( x\right) \subset B] \\
& \Leftrightarrow x\in A^{i}\wedge x\in B^{i}\quad \because \text{内部の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in A^{i}\cap B^{i}\quad \because \cap \text{の定義}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの共通部分の内部は、個々の集合の内部の共通部分と一致するということです。

命題(共通部分と内部)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( A\cap B\right) ^{i}=A^{i}\cap B^{i}
\end{equation*}が成り立つ。
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ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選びます。このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{align*}
x\in A^{i}\cup B^{i}& \Leftrightarrow x\in A^{i}\vee x\in B^{i}\quad
\because \cup \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow \lbrack \exists \varepsilon _{1}>0:U_{\varepsilon
_{1}}\left( x\right) \subset A]\vee \lbrack \exists \varepsilon
_{2}>0:U_{\varepsilon _{2}}\left( x\right) \subset B] \\
& \Rightarrow \exists \varepsilon >0:[U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A\vee U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset B] \\
& \Leftrightarrow \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A\cup B\quad \because \cup \text{の定義} \\
& \Leftrightarrow x\in \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{align*}となるため、\begin{equation*}
A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。2つの集合について、それらの和集合の内部は、個々の集合の内部の和集合を部分集合として含むということです。

命題(和集合と内部)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A^{i}\cup B^{i}\subset \left( A\cup B\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つ。
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ちなみに、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A,B\)について、\begin{equation*}
\left( A\cup B\right) ^{i}\subset A^{i}\cup B^{i}
\end{equation*}という関係は成り立つとは限りません。以下の例から明らかです。

例(和集合と内部)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)の部分集合である\(\left( -1,0\right) \)と\([0,1)\)について考えます。これらの和集合の内部は、\begin{eqnarray*}
\left( \left( -1,0\right) \cup \lbrack 0,1)\right) ^{i} &=&\left(
-1,1\right) ^{i}\quad \because \cup \text{の定義} \\
&=&\left( -1,1\right) \quad \because \text{内部の定義}
\end{eqnarray*}である一方、それぞれの内部の和集合は、\begin{eqnarray*}
\left( -1,0\right) ^{i}\cup \lbrack 0,1)^{i} &=&\left( -1,0\right) \cup
\left( 0,1\right) \quad \because \text{内部の定義} \\
&=&\left( -1,1\right) \backslash \left\{ 0\right\} \quad \because \cup \text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left( -1,0\right) ^{i}\cup \lbrack 0,1)^{i}\subset \left( \left(
-1,0\right) \cup \lbrack 0,1)\right) ^{i}
\end{equation*}が成り立つ一方で、\begin{equation*}
\left( \left( -1,0\right) \cup \lbrack 0,1)\right) ^{i}\subset \left(
-1,0\right) ^{i}\cup \lbrack 0,1)^{i}
\end{equation*}は成り立たないことが確認されました。

次回はユークリッド空間における外点や外部について学びます。

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