ユークリッド空間における点の近傍、近傍系、およびユークリッド空間の近傍系という概念を定義します。これは実数の開区間を一般化した概念です。
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点の近傍

復習になりますが、ユークリッド空間に属する2つの点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(x\)から\(y\)への距離は、\begin{equation*}
d\left( x,y\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定義されます。ただし、\(x_{i}\)は点\(x\)の第\(i\)成分に相当する実数、\(y_{i}\)は点\(y\)の第\(i\)成分に相当する実数です。

ユークリッド空間に属する点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点からなる集合を、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表記し、これを点\(a\)の\(\varepsilon \)-近傍(\(\varepsilon \)-neighborhood of \(a\))や、半径\(\varepsilon \)の点\(a\)の近傍(neighborhood of \(a\) with radius \(\varepsilon \))などと呼びます。\(\varepsilon \)-近傍をシンプルに近傍(neighborhood)と呼ぶこともあります。

\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点\(a\)の\(\varepsilon \)-近傍は、\begin{eqnarray*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\} \quad \because \text{距離の定義} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert x-a\right\Vert <\varepsilon \right\} \quad \because
\text{ノルムの定義} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left\langle x-a,x-a\right\rangle }<\varepsilon \right\}
\quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。

例(点の近傍)
\(1\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} \)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}などとなります。つまり、\(\mathbb{R} \)において点\(a\)の近傍は\(a\)を中心とする有界閉区間と実質的に等しい概念です。
例(点の近傍)
\(2\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}などとなります。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(a=\left( a_{1},a_{2}\right) \)です。つまり、\(\mathbb{R} ^{2}\)における点\(a\)の近傍は\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の円盤に相当します(下図)。ただし境界を含みません。
図:2次元ユークリッド空間における点の近傍
図:2次元ユークリッド空間における点の近傍
例(点の近傍)
\(3\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{3}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{3}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{3}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}などとなります。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)かつ\(a=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \)です。つまり、\(\mathbb{R} ^{3}\)における点\(a\)の近傍は\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の球体に相当します。ただし球体の表面、すなわち球面を含みません。

 

点の近傍系

ユークリッドに属する点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、半径\(\varepsilon >0\)の大きさに応じて様々な近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)が得られます。そこで、\(a\)の近傍をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}
U\left( a\right) =\left\{ U_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の近傍系(neighborhood system of \(a\))と呼びます。

点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
d\left( a,a\right) &=&0\quad \because \text{距離の不可識別同一性} \\
&<&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、近傍の定義より、これは\(a\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)であることを意味します。つまり、点\(a\)は自身の任意の近傍に属します。さらに、点\(a\)の任意の近傍に属する点は\(a\)自身だけです。実際、\(a\)とは異なる点\(b\)を任意に選んだとき、\(\varepsilon =d\left( a,b\right) >0\)とおくと\(b\not\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)です。こうして、\(b\)が属さない\(a\)の近傍を常に作ることができます。

命題(点の近傍系の性質)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}
\left[ \forall \varepsilon >0:x\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \right] \Rightarrow x=a
\end{equation*}が成り立つ。
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点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と、異なる2つの半径\(\varepsilon _{1},\varepsilon _{2}>0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)の近傍である\(U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \)と\(U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right) \)を作ります。これら2つの近傍は中心に相当する点\(a\)を共有していますが半径は異なるということです。このとき、これら2つの近傍の両方に含まれる点\(a\)の近傍が必ず存在します。つまり、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right)
\cap U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{equation*}を満たす半径\(\varepsilon >0\)が必ず存在するということです。実際、\(\varepsilon _{1}>\varepsilon _{2}\)の場合には、\begin{equation*}
U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \cap U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
=U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{equation*}であり、逆に\(\varepsilon _{1}\leq \varepsilon _{2}\)の場合には、\begin{equation*}
U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \cap U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
=U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right)
\end{equation*}であるため、\(\varepsilon =\min \left\{ \varepsilon _{1},\varepsilon _{2}\right\} \)とおくことにより目標は達成されます(確認してください)。

命題(点の近傍系の性質)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\forall \varepsilon _{1}>0,\ \forall \varepsilon _{2}>0,\ \exists
\varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset U_{\varepsilon
_{1}}\left( a\right) \cap U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
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ユークリッド空間の近傍系

ユークリッド空間に属する点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)に応じて様々な近傍系\(U\left( a\right) \)が得られます。そこで、ユークリッド空間のすべての点の近傍系からなる集合を、\begin{equation*}
U=\left\{ U\left( a\right) \ |\ a\in
\mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(\mathbb{R} ^{n}\)の近傍系(neighbourhood system of \(\mathbb{R} ^{n}\))と呼びます。

ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)をとります。さらに、この近傍に属する点\(b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選んだとき、この点\(b\)の近傍の中に、先の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の部分集合であるようなものが必ず存在します。つまり、\begin{equation*}
U_{\delta }\left( b\right) \subset U_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を満たすような半径\(\delta >0\)が必ず存在するということです。実際、\(b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)より\(d\left( a,b\right) <\varepsilon \)が成り立ちますが、このとき、\begin{equation*}
0<\delta <\varepsilon -d\left( a,b\right)
\end{equation*}を満たす\(\delta \)をとることができますが、これが探している半径に他なりません(確認してください)。\(2\)次元ユークリッド空間の場合を以下に図示しました。

図:2次元ユークリッド空間の場合
図:2次元ユークリッド空間の場合
命題(近傍系の性質)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、任意の\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\begin{equation*}
b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \Rightarrow \left[ \exists \delta
>0:U_{\delta }\left( b\right) \subset U_{\varepsilon }\left( a\right) \right] \end{equation*}が成り立つ。
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次回はユークリッド空間における開集合について学びます。

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