点の近傍
ユークリッド空間に属する2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(\boldsymbol{x}\)から\(\boldsymbol{y}\)への距離は、\begin{equation*}d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(
x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}と定義されます。
ユークリッド空間上の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、点\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)の点からなる集合を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(\boldsymbol{a}\)の近傍（neighborhood of \(\boldsymbol{a}\)）や開近傍（open neighborhood of \(\boldsymbol{a}\)）などと呼びます。また、\(\boldsymbol{a}\)を近傍の中心（center）と呼び、\(\varepsilon \)を近傍の半径（radius）と呼びます。
ユークリッド距離\(d\)の対称性より、2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\)の間に以下の関係\begin{equation*}d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) =d\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(\boldsymbol{a}\)の近傍を、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{x}\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。
点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍を、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\} \quad \because \text{距離の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\varepsilon
\right\} \quad \because \text{ノルムの定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\left\langle \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a},\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\rangle }<\varepsilon \right\} \quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \quad \because \text{距離の定義} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \quad \because \text{区間の定義}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)の点\(a\)の近傍は点\(a\)を中心とする有界開区間と実質的に等しい概念です（下図）。開区間であるため端点\(a-\varepsilon ,a+\varepsilon \)をともに含まない点に注意してください。
\quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\} \quad \because \text{距離の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} ^{2}\)の点\(\boldsymbol{a}\)の近傍は点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする円盤と実質的に等しい概念です（下図）。ただし、円盤の境界、すなわち円を含みません。
\quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\} \quad \because
\text{距離の定義} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} ^{3}\)の点\(\boldsymbol{a}\)の近傍は点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする球体と実質的に等しい概念です。ただし球体の表面、すなわち球面を含みません。
点の近傍系
点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、半径\(\varepsilon >0\)の大きさに応じて様々な半径を持つ点\(\boldsymbol{a}\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)が得られます。そこで、点\(\boldsymbol{a}\)の近傍をすべて集めてできる集合族を、\begin{equation*}N\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \ |\ 0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(\boldsymbol{a}\)の近傍系（neighborhood system of \(\boldsymbol{a}\)）と呼びます。
点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{a}\right) &=&0\quad \because \text{距離の不可識別同一性} \\
&<&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、近傍の定義を踏まえると、これは、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\in N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}であることを意味します。点\(\boldsymbol{a}\)の近傍は中心を要素として持つということです。任意の半径\(\varepsilon \)について同様の議論が成立するため、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:\boldsymbol{a}\in N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}を得ます。共通部分の定義より、これは、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\in \bigcap\limits_{\varepsilon >0}N_{\varepsilon }\left(
\boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{a}\in \bigcap N\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}と必要十分です。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)は自身の近傍系\(N\left( \boldsymbol{a}\right) \)の共通部分の要素です。さらに、点\(\boldsymbol{a}\)の近傍系\(N\left( \boldsymbol{a}\right) \)の共通部分の要素は点\(\boldsymbol{a}\)以外に存在しません（演習問題）。したがって以下を得ます。
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(N\left( \boldsymbol{a}\right) \)は点\(\boldsymbol{a}\)の近傍系である。
点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)の近傍系\(N\left( \boldsymbol{a}\right) \)の要素、すなわち点\(\boldsymbol{a}\)の近傍を2つ任意に選び、それらを\(N_{\varepsilon _{1}}\left( \boldsymbol{a}\right) \)と\(N_{\varepsilon _{2}}\left( \boldsymbol{a}\right) \)でそれぞれ表記します。\(\varepsilon _{1}>0\)かつ\(\varepsilon_{2}>0\)です。このとき、この2つの近傍の双方に含まれる点\(\boldsymbol{a}\)の近傍が存在することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \subset
N_{\varepsilon _{1}}\left( \boldsymbol{a}\right) \cap N_{\varepsilon
_{2}}\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}が成り立つということです（演習問題）。
\varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \subset
N_{\varepsilon _{1}}\left( \boldsymbol{a}\right) \cap N_{\varepsilon
_{2}}\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
つまり、点\(\boldsymbol{a}\)の近傍系\(N\left( \boldsymbol{a}\right) \)の2つの要素を任意に選んだとき、それらの共通部分の部分集合であるような\(N\left( \boldsymbol{a}\right) \)の要素が存在するということです。つまり、上の命題を一般的な形で表現すると、それぞれの点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}\forall A\in N\left( \boldsymbol{a}\right) ,\ \forall B\in N\left(
\boldsymbol{a}\right) ,\ \exists C\in N\left( \boldsymbol{a}\right)
:C\subset A\cap B
\end{equation*}が成り立つという主張になります。このような意味において、上の命題は点の近傍系の性質を記述したものになっています。
ユークリッド空間の近傍系
点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)に応じて中心が異なる様々な近傍系\(N\left( \boldsymbol{a}\right) \)が得られます。そこで、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のすべての点の近傍系からなる集合族を、\begin{equation*}N=\left\{ N\left( \boldsymbol{a}\right) \ |\ \boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(\mathbb{R} ^{n}\)の近傍系（neighbourhood systemof \(\mathbb{R} ^{n}\)）と呼びます。
点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で近傍\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)をとります。さらに、この近傍に属する点\(\boldsymbol{b}\in N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)を任意に選んだとき、この点\(\boldsymbol{b}\)の近傍の中に、先の近傍\(N_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)の部分集合であるようなものが必ず存在することが保証されます。つまり、近傍\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{b}\in N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) ,\
\exists \delta >0:N_{\delta }\left( \boldsymbol{b}\right) \subset
N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}が成り立つということです（演習問題）。
\exists \delta >0:N_{\delta }\left( \boldsymbol{b}\right) \subset
N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
点\(a\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が与えられたとき（図中の点\(a\)を中心とする開区間）、その要素\(b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選ぶと、上図のように、\begin{equation*}N_{\delta }\left( b\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす点\(b\)の近傍\(N_{\delta }\left( b\right) \)（図中の点\(b\)を中心とする開区間）を常にとることができます。
点\(\boldsymbol{a}\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)が与えられたとき（図中の点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする円の内部）、その要素\(\boldsymbol{b}\in N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)を任意に選ぶと、上図のように、\begin{equation*}N_{\delta }\left( \boldsymbol{b}\right) \subset N_{\varepsilon }\left(
\boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}を満たす点\(\boldsymbol{b}\)の近傍\(N_{\delta }\left( \boldsymbol{b}\right) \)（図中の点\(\boldsymbol{b}\)を中心とする円の内部）を常にとることができます。
部分距離空間の点の近傍
ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)が与えられているものとします。つまり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はベクトルを成分とするそれぞれの順序対\(\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in \mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(
x_{i}-y_{i}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。距離関数\(d\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :\left[ d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} :d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in \mathbb{R} :d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \leq d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +d\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)
\end{eqnarray*}を満たします。
非空な部分集合\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それにあわせて距離関数\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域を\(X\times X\)へ制限して\(d_{X}:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、すなわち、\begin{equation*}\forall \left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \in X\times
X:d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) =d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(d_{X}\)を定義すれば、この\(d_{X}\)もまた距離関数としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in
X:d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:\left[
d_{X}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X:d_{X}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=d_{X}\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{x}\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\in X:d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{z}\right) \leq d_{X}\left(
\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) +d_{X}\left( \boldsymbol{y},\boldsymbol{z}\right)
\end{eqnarray*}を満たすため、\begin{equation*}
\left( X,d_{X}\right)
\end{equation*}もまた距離空間になります。これをもとの空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間と呼びます。
部分距離空間は距離空間であるため、部分距離空間においても、その点の近傍を定義できます。具体的には以下の通りです。
ユークリッド空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)の部分距離空間\(\left( X,d_{X}\right) \)が与えられている状況を想定します。部分距離空間の点\(\boldsymbol{a}\in X\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍とは、点\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも小さい場所にある\(X\)の点からなる集合であり、これを、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }^{X}\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ d_{X}\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon
\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\} \quad \because d_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}で表記します。ちなみに、\(X\subset \mathbb{R} ^{n}\)ゆえに\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)であるため、もとの空間\(\left( \mathbb{R} ^{n},d\right) \)上においてもこの点\(\boldsymbol{a}\)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとることができます。
同一の点\(\boldsymbol{a}\in X\subset \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)を問題としている場合においても、部分空間\(X\)における点\(\boldsymbol{a}\)の近傍\(N_{\varepsilon }^{X}\left( \boldsymbol{a}\right) \)と、もとの空間\(\mathbb{R} ^{n}\)におけるその点\(\boldsymbol{a}\)の近傍\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
x,0\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ \left\vert x-0\right\vert
<\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ -\varepsilon <x<\varepsilon \right\}
\\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\lbrack 0,\varepsilon ) & \left( if\ \varepsilon \leq 1\right) \\
\left[ 0,1\right] & \left( if\ \varepsilon >1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}であるのに対して、もとの空間\(\mathbb{R} \)において点\(0\in X\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( 0\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,0\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-0\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ -\varepsilon <x<\varepsilon \right\} \\
&=&\left( -\varepsilon ,\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
N_{\varepsilon }^{X}\left( 0\right) \not=N_{\varepsilon }\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
演習問題
\end{equation*}が成り立つ場合、\(A\)を\(\boldsymbol{a}\)の近傍と呼びます。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は半径が\(\varepsilon \)であるような点\(\boldsymbol{a}\)の近傍です。また、\(\boldsymbol{a}\)のすべての近傍からなる集合を\(\boldsymbol{a}\)の近傍系と呼び、それを、\begin{equation*}\mathcal{N}\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{equation*}で表します。以上を踏まえた上で以下を証明してください。これを近傍公理（neighborhood axiom）と呼びます。
- \(\mathcal{N}\left( \boldsymbol{a}\right) \not=\phi \)
- \(A\in \mathcal{N}\left( \boldsymbol{a}\right) \Rightarrow \boldsymbol{a}\in A\)
- \(A,B\in \mathcal{N}\left( \boldsymbol{a}\right) \Rightarrow A\cap B\in \mathcal{N}\left( \boldsymbol{a}\right) \)
- \(\left( A\in \mathcal{N}\left( \boldsymbol{a}\right) \wedge A\subset B\right) \Rightarrow B\in \mathcal{N}\left( \boldsymbol{a}\right) \)
- \(A\in \mathcal{N}\left( \boldsymbol{a}\right) \Rightarrow \left[\exists B\in \mathcal{N}\left( \boldsymbol{a}\right) :\left\{ B\subset A\wedge \left[ \forall \boldsymbol{b}\in B:B\in \mathcal{N}\left( \boldsymbol{b}\right) \right] \right\} \right] \)
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