ユークリッド空間における点の近傍、近傍系、およびユークリッド空間の近傍系という概念を定義します。これは実数の開区間を一般化した概念です。

点の近傍

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)からの距離が\(\varepsilon >0\)よりも小さいようなすべての点からなる集合を、\begin{align*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) & =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
& =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert x-a\right\Vert <\varepsilon \right\}
\end{align*}で表し、これを点\(a\)の\(\varepsilon \)-近傍(\(\varepsilon \)-neighborhood of \(a\))や点\(a\)の\(\varepsilon \)-開近傍(\(\varepsilon \)-open neighborhood of \(a\))などと呼びます。\(\varepsilon \)-近傍をシンプルに近傍(neighborhood)と呼ぶこともあります。

例(点の近傍)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)における点\(a\in \mathbb{R}\)の\(\varepsilon >0\)近傍は、\begin{eqnarray*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \} \\ &=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R}\)において点の近傍は開区間と等しい概念です。
例(点の近傍)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)の\(\varepsilon >0\)近傍は、\begin{eqnarray*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\{x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}<\varepsilon ^{2}\} \end{eqnarray*}となります。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(a=\left( a_{1},a_{2}\right) \)です。つまり、\(\mathbb{R} ^{2}\)において点\(a\)の\(\varepsilon \)-近傍は点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の円盤に相当します(下図)。ただし境界を含みません。
図:2次元ユークリッド空間における点の近傍
図:2次元ユークリッド空間における点の近傍
例(点の近傍)
\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における点\(a\in \mathbb{R} ^{3}\)の\(\varepsilon >0\)近傍は、\begin{eqnarray*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\{x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}}<\varepsilon \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}<\varepsilon ^{2}\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)かつ\(a=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \)です。つまり、\(\mathbb{R} ^{3}\)において点\(a\)の\(\varepsilon \)-近傍は点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の球体に相当します。ただし表面の球面を含みません。

 

点の近傍系

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とするすべての近傍からなる集合を、\begin{equation*}
U\left( a\right) =\{U_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ 0<\varepsilon <+\infty \}
\end{equation*}で表し、これを点\(a\)の近傍系(neighbourhood system of \(a\))と呼びます。

\(\mathbb{R}^{n}\)における点の近傍系は以下の性質を満たします。

命題(点の近傍系の性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の近傍系\(U\left( a\right) \)に関して以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( N_{1}\right) \ \forall \varepsilon >0:a\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \\
&&\left( N_{2}\right) \ \forall \varepsilon _{1}>0,\ \forall \varepsilon _{2}>0,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset U_{\varepsilon _{1}}\left( a\right) \cap U_{\varepsilon _{2}}\left( a\right)
\end{eqnarray*}
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性質\(\left( N_{1}\right) \)は任意の近傍は中心を含むこと、性質\(\left( N_{2}\right) \)は中心を共有する 2 つの近傍を任意に選んだとき、両者と中心を共有し、なおかつ両者の部分集合であるような第 3 の近傍が存在することを意味します。

 

ユークリッド空間の近傍系

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における任意の点を中心とするすべての近傍からなる集合を、\begin{equation*}
U=\{U\left( x\right) \ |\ x\in \mathbb{R} ^{n}\}
\end{equation*}で表し、これを\(\mathbb{R} ^{n}\)の近傍系(neighbourhood system of \(\mathbb{R} ^{n}\))と呼びます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の近傍系は以下の性質を満たします。

命題(近傍系の性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における近傍系\(U\)が与えられたとき、\begin{equation*}
y\in U_{\varepsilon }\left( x\right) \end{equation*}を満たす点\(x,y\in \mathbb{R} ^{n}\)と\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選ぶと、それに対して、\begin{equation*}
U_{\delta }\left( y\right) \subset U_{\varepsilon }\left( x\right)
\end{equation*}を満たす\(\delta >0\)が存在する。
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つまり、近傍\(U_{\varepsilon }\left( x\right) \)に属する点\(y\)を任意に選んだとき、\(y\)が中心であり\(U_{\varepsilon }\left( x\right) \)の部分集合であるような近傍\(U_{\delta }\left( y\right) \)が必ず存在するということです。

次回はユークリッド空間における開集合について学びます。
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