開集合・開集合系

ユークリッド空間の部分集合Aが与えられたとき、Aのそれぞれの点aについて、aを中心とする開近傍の中にAの部分集合であるようなものが存在するのであれば、Aをユークリッド空間上の開集合と呼びます。また、ユークリッド空間上の開集合をすべて集めてできる集合系を開集合系と呼びます。
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開集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に属するそれぞれの点\(a\)に対して、その点を中心とする近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合(open set on \(\mathbb{R} ^{n}\))と呼びます。ただし、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍とは、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます

例(点の近傍は開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとります。近傍の性質より、このとき、\begin{equation*}
\forall b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) ,\ \exists \delta >0:U_{\delta
}\left( b\right) \subset U_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることの定義に他なりません。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点を中心とする任意の近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるということです。具体例を挙げると、\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における有界な開区間、\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における円盤(円を除く)、\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における球体(球面を除く)などはそれぞれの空間の点の近傍であるため、これらはそれぞれの空間において開集合です。
例(点の閉近傍は開集合ではない)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の閉近傍(closed neighborhood)を、\begin{equation*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義します。\(d\left( b,a\right) =\varepsilon \)を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶと、\(b\in D_{\varepsilon }\left( a\right) \)である一方でその点を中心とする開近傍\(U_{\delta }\left( b\right) \)は\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の部分集合ではないため、\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません(演習問題にします)。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点を中心とする任意の閉近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではないということです。具体例を挙げると、\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における有界な閉区間、\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における円盤(円を含む)、\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における球体(球面を含む)などはそれぞれの空間の点の閉近傍であるため、これらはそれぞれの空間において開集合ではありません。
例(点の閉近傍の補集合は開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、閉近傍\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)を作ります。先に示したように、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません。一方、その補集合\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{n}\backslash D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です(演習問題にします)。
例(1点集合の補集合は開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、その点だけを要素として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。さらに、その補集合\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ a\right\} =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ x\not=a\right\}
\end{equation*}をとると、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合になります(演習問題にします)。

 

開集合系

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系(system of open sets)と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表します。開集合の定義より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\in \mathcal{O}\Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists \varepsilon
>0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} ^{n}\)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} ^{n}\)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるということです。実際、\(\mathbb{R} ^{n}\)が開集合であることは、\begin{equation*}
\forall x\in
\mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点の近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため上の命題は明らかに真です。また、\(\phi \)が開集合であることは、\begin{equation*}
\forall x\in \phi ,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset \phi
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、空集合の定義よりそもそも\(x\in \phi \)は偽であるため上の命題は真です。

命題(開集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}
\left( O_{1}\right) \
\mathbb{R} \in \mathcal{O},\ \phi \in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
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ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の開集合の共通部分もまた開集合になるということです。証明は以下の通りです。

有限個の開集合\(A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、その中に空集合が存在する場合には、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}=\phi
\end{equation*}となりますが、先に示したように空集合は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため目標は達成されました。そこで以下では\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)がいずれも空集合でない場合について考えます。これらの共通部分に属する点\(x\in \bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\)を任意に選ぶと、共通部分の定義より、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :x\in A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)はいずれも開集合であるため、このとき、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists \varepsilon
_{i}>0:U_{\varepsilon _{i}}\left( x\right) \subset A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
\varepsilon =\min \left\{ \varepsilon _{1},\cdots ,\varepsilon _{m}\right\}
\end{equation*}とおけば、この\(\varepsilon >0\)に対して、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。共通部分の定義より、これは、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset \bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}
\end{equation*}であることを意味するため目標は達成されました。

命題(開集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}
\left( O_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\Rightarrow
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
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上の命題は有限個の開集合に関して成立する性質であり、無限個の開集合に関して同様の命題は成り立つとは限りません。つまり、無限個の開集合を任意に選んだとき、それらの共通部分は開集合であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(無限個の開集合の共通部分)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N}\)に対して、\begin{equation*}
A_{i}=\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。先に示したように有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(A_{i}\)もまた\(\mathbb{R} \)上の開集合です。一方、無限個の\(A_{i}\)の共通部分をとると、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N}}A_{i}=\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N}}\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right) =\left[ a,b\right] \end{equation*}になりますが(確認してください)、先に示したように有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合でないため、\(\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N}}A_{i}\)もまた\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の開集合の和集合もまた開集合になるということです。証明は以下の通りです。

任意の\(\lambda \in \Lambda \)に対して\(A_{\lambda }\in \mathcal{O}\)を満たすような集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選びます。つまり、この集合族に属する任意の集合\(A_{\lambda }\)は開集合です。添字集合\(\Lambda \)は任意の集合であるため、問題としている開集合の個数は有限、可算、非可算を含めて何個でも構いません。この集合族の和集合に属する点\(x\in \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)を任意に選ぶと、和集合の定義より、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。仮定より\(A_{\lambda }\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、このとき、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \Lambda ,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちますが、和集合の定義より、このとき、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つため目標は達成されました。

命題(開集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}
\left( O_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{O}\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
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次回はユークリッド空間における閉集合について学びます。

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