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ユークリッド空間における開集合・開集合系

目次

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開集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に属するそれぞれの点\(a\)に対して、その点を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合(open set on \(\mathbb{R} ^{n}\))と呼びます。ただし、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon >0\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \quad \because \text{近傍の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\} \quad \because \text{距離の定義}
\end{eqnarray*}と定義されます

例(点の近傍は開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとります。近傍の性質より、このとき、\begin{equation*}
\forall b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) ,\ \exists \delta >0:N_{\delta
}\left( b\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることの定義に他なりません。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点を中心とする任意の近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるということです。具体例を挙げると、\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における有界な開区間、\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における円盤(円を除く)、\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における球体(球面を除く)などはそれぞれの空間の点の近傍であるため、これらはそれぞれの空間において開集合です。
例(点の閉近傍は開集合ではない)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の閉近傍(closed neighborhood)を、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義します。\(d\left( b,a\right)=\varepsilon \)を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶと、\(b\in C_{\varepsilon }\left( a\right) \)である一方でその点を中心とする開近傍\(N_{\delta }\left( b\right) \)は\(C_{\varepsilon }\left( a\right) \)の部分集合ではないため、\(C_{\varepsilon}\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません(演習問題)。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点を中心とする任意の閉近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではないということです。具体例を挙げると、\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における有界な閉区間、\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における円盤(円を含む)、\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における球体(球面を含む)などはそれぞれの空間の点の閉近傍であるため、これらはそれぞれの空間において開集合ではありません。
例(点の閉近傍の補集合は開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、閉近傍\(C_{\varepsilon }\left(a\right) \)を作ります。先に示したように、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません。他方で、その補集合\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\backslash C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\} \end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です(演習問題)。
例(1点集合の補集合は開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、その点だけを要素として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません(演習問題)。他方で、その補集合\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ a\right\} =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\not=a\right\} \end{equation*}をとると、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合になります(演習問題)。

 

開集合系

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系(system of opensets)と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表します。開集合の定義より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists \varepsilon
>0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} ^{n}\)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} ^{n}\)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるということです。

命題(開集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}\left( O_{1}\right) \ \mathbb{R} \in \mathcal{O},\ \phi \in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。

証明

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ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の開集合の共通部分もまた開集合になるということです。

命題(開集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}\left( O_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\Rightarrow
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。

証明

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上の命題は有限個の開集合に関して成立する性質であり、無限個の開集合に関して同様の命題は成り立つとは限りません。つまり、無限個の開集合を任意に選んだとき、それらの共通部分は開集合であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(無限個の開集合の共通部分)
それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\frac{1}{i}>0\)の近傍\begin{equation*}N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( 0,x\right) <\frac{1}{i}\right\}
\end{equation*}を定義します。点の近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため\(N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です。その一方で、可算集合族\(\left\{ N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) \right\} \)の共通部分をとると、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となりますが(演習問題)、1点集合は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではないため、\(\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) \)もまた\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の開集合の和集合もまた開集合になるということです。

命題(開集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}\left( O_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{O}\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。

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上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意の集合であるため、問題としている開集合の個数は有限、可算、非可算を含めて何個でも構いません。有限個の開集合の和集合、可算個の開集合の和集合、非可算個の開集合の和集合はいずれも開集合であることが保証されるということです。

 

演習問題

問題(開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではないことを証明してください。
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問題(開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の閉近傍は、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。その補集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\backslash C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを証明してください。
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問題(開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、その点だけを要素として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)をとると、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではないことを示してください。また、その補集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ a\right\} =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\not=a\right\} \end{equation*}となりますが、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを証明してください。
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問題(開集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の以下の部分集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ 0<x_{1}<+\infty \right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを証明してください。ただし、\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{n}\right) \)です。
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問題(開集合)
\(a_{1}<b_{1}\)と\(a_{2}<b_{2}\)を満たす実数\(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2}\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、そこから有界閉区間の直積集合\begin{equation*}\left( a_{1},b_{1}\right) \times \left( a_{2},b_{2}\right)
\end{equation*}を定義します。これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の開集合であることを証明してください。
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問題(開集合)
\(a_{i}<b_{i}\)満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)が与えられたとき、そこから有界閉区間の直積集合\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left( a_{1},b_{1}\right)
\times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{equation*}を定義します。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを証明してください。
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問題(開集合)
それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、ゼロベクトル\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\frac{1}{i}>0\)の近傍\begin{equation*}N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( 0,x\right) <\frac{1}{i}\right\}
\end{equation*}を定義します。可算集合族\(\left\{ N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) \right\} \)の共通部分は、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}となることを示してください。

証明

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次回はユークリッド空間における閉集合について学びます。

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