ユークリッド空間における開集合や開集合系について定義した上で、開集合が満たす基本的な性質について解説します。
< 前のページ
次のページ >

開集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に属するそれぞれの点\(a\)に対して、その点を中心とする近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合(open set on \(\mathbb{R} ^{n}\))と呼びます。

例(点の近傍は開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、\(a\)を中心とする\(\varepsilon \)-近傍は、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義されます。復習になりますが、この近傍に属する点\(b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}
U_{\delta }\left( b\right) \subset U_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}を満たす\(\delta >0\)が存在します。これは\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることの定義に他なりません。一般に、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の点の任意の近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です。\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における有界な開区間、\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における円盤(周辺の円を除く)、\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における球体(表面の球面を除く)などはそれぞれの空間における点の近傍です。したがってこれらはいずれもそれぞれの空間における開集合です。
例(点の閉近傍は開集合ではない)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)以下の場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)の点からなる集合を、\begin{equation*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の\(\varepsilon \)-閉近傍(\(\varepsilon \)-closed neighborhood of \(a\))や、半径\(\varepsilon \)の点\(a\)の閉近傍(closed neighborhood of \(a\) with radius \(\varepsilon \))などと呼びます。ちなみに、閉近傍との対比で、近傍を開近傍(open neighborhood)と呼ぶこともあります。例えば、\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)において、\begin{eqnarray*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert \leq \varepsilon \right\} \\
&=&\left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)の点\(a\)の閉近傍は\(a\)を中心とする有界な閉区間と等しくなります。また、\(2\)次元ユークリッド空間においては、\begin{eqnarray*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}\leq
\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}となります。これは点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の円盤に相当します(境界を含む)。また、\(3\)次元ユークリッド空間においては、\begin{eqnarray*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{3}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{3}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}\leq \varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}となります。これは点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の球体に相当します(球面を含む)。さて、ユークリッド空間の任意の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の任意の閉近傍\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません。実際、\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界に位置する点を任意に選ぶと、すなわち、\(d\left( a,b\right) =\varepsilon \)を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選ぶと、この点を中心とする任意の閉近傍\(U_{\delta }\left( b\right) \)は\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の部分集合になりません(証明は演習問題にします)。
例(点の閉近傍の補集合は開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と半径\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で閉近傍\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)について考えます。先に示したように、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません。一方、その補集合\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{n}\backslash D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です(証明は演習問題にします)。
例(1点集合の補集合は開集合)
ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、その点だけを要素として持つ\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(\left\{ a\right\} \)について考えます。さらに、その補集合\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ a\right\} =\left\{ x\in
\mathbb{R} ^{n}\ |\ x\not=a\right\}
\end{equation*}をとると、これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合になります(証明は演習問題にします)。

 

開集合系

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系(system of open sets)と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表します。

開集合の定義より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
A\in \mathcal{O}\Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists \varepsilon
>0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} ^{n}\)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} ^{n}\)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるということです。実際、\(\mathbb{R} ^{n}\)が開集合であることは、\begin{equation*}
\forall x\in
\mathbb{R} ^{n},\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
\mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点の近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合であるため上の命題は明らかに真です。また、\(\phi \)が開集合であることは、\begin{equation*}
\forall x\in \phi ,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset \phi
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、空集合の定義よりそもそも\(x\in \phi \)は偽であるため上の命題は真です。

命題(開集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}
\left( O_{1}\right) \
\mathbb{R} \in \mathcal{O},\ \phi \in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
証明を見る(プレミアム会員限定)

\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の開集合の共通部分もまた開集合になるということです。証明は以下の通りです。

有限個の開集合\(A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、その中に空集合が存在する場合には、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}=\phi
\end{equation*}となりますが、先に示したように空集合は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるため目標は達成されました。そこで以下では、\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)がいずれも空集合でない場合について考えます。これらの共通部分に属する点\(x\in \bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\)を任意に選ぶと、共通部分の定義より、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :x\in A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。\(A_{1},\cdots ,A_{m}\)はいずれも開集合であるため、このとき、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} ,\ \exists \varepsilon
_{i}>0:U_{\varepsilon _{i}}\left( x\right) \subset A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、\(\varepsilon =\min \left\{ \varepsilon _{1},\cdots ,\varepsilon _{m}\right\} \)とおけば、この\(\varepsilon >0\)に対して、\begin{equation*}
\forall i\in \left\{ 1,\cdots ,m\right\} :U_{\varepsilon }\left( x\right)
\subset A_{i}
\end{equation*}が成り立ちます。共通部分の定義より、これは、\begin{equation*}
U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset \bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}
\end{equation*}であることを意味するため目標は達成されました。

命題(開集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}
\left( O_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\Rightarrow
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
証明を見る(プレミアム会員限定)

上の命題は有限個の開集合に関して成立する性質であり、無限個の開集合に関して同様の命題は成り立つとは限りません。つまり、無限個の開集合を任意に選んだとき、それらの共通部分は開集合であるとは限りません。以下の例から明らかです。

例(無限個の開集合の共通部分)
\(a<b\)を満たす\(1\)次元ユークリッド空間の点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}
A_{i}=\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}という有界な開区間を定義します。有界な開区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(A_{i}\)もまた\(\mathbb{R} \)上の開集合です。一方、無限個の\(A_{i}\)の共通部分をとると、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right) =\left[ a,b\right] \end{equation*}になりますが(確認してください)、有界な閉区間は\(\mathbb{R} \)上の開集合でないため、\(\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}\)もまた\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の開集合の和集合もまた開集合になるということです。証明は以下の通りです。

任意の\(\lambda \in \Lambda \)に対して\(A_{\lambda }\in \mathcal{O}\)を満たすような集合族\(\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)を任意に選びます。つまり、この集合族に属する任意の集合\(A_{\lambda }\)は開集合です。添字集合\(\Lambda \)は任意の集合であるため、問題としている開集合の個数は有限、可算、非可算を含めて何個でも構いません。この集合族の和集合に属する点\(x\in \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\)を任意に選ぶと、和集合の定義より、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。仮定より\(A_{\lambda }\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、このとき、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \Lambda ,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left(
x\right) \subset A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちますが、和集合の定義より、このとき、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( x\right) \subset
\bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つため目標は達成されました。

命題(開集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}
\left( O_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{O}\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。
証明を見る(プレミアム会員限定)

次回はユークリッド空間における閉集合について学びます。

次へ進む 質問・コメント(プレミアム会員限定) 演習問題(プレミアム会員限定)
Share on facebook
Share on twitter
Share on email
< 前のページ
次のページ >

プレミアム会員サービス

ユーザー名とメールアドレスを入力して有料(500円/月)のプレミアム会員へアップグレードすることにより、質問やコメントの投稿と閲覧、プレミアムコンテンツ(命題の証明や演習問題、解答など)へのアクセスが可能に。
会員サービス
ログイン

プレミアム会員だけが質問やコメントを投稿・閲覧できます。

アカウント
ログイン