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ユークリッド空間における開集合・開集合系

目次

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開集合

ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。さて、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に属するそれぞれの点\(a\)に対して、その点を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)の中に\(A\)の部分集合であるようなものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合(open set on \(\mathbb{R} ^{n}\))と呼びます。

例(点の近傍は開集合)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) <\varepsilon \right\}
\end{equation*}をとります。近傍の性質より、\begin{equation*}
\forall b\in N_{\varepsilon }\left( a\right) ,\ \exists \delta >0:N_{\delta
}\left( b\right) \subset N_{\varepsilon }\left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることの定義に他なりません。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の任意の点を中心とする任意の近傍は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるということです。具体例を挙げると、\(1\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする有界開区間ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} \)上の開集合です。また、\(2\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする円盤の内部ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の開集合です。また、\(3\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{3}\)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}<\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする球の内部ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)上の開集合です。
例(有界開区間の直積は開集合)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して、\begin{equation*}a_{i}<b_{i}
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界開区間\begin{equation*}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left( a_{1},b_{1}\right)
\times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です(演習問題)。具体例を挙げると、\(1\)次元ユークリッド空間において、\begin{equation*}\left( a_{1},b_{1}\right)
\end{equation*}は有界開区間ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} \)上の開集合です。また、\(2\)次元ユークリッド空間において、\begin{equation*}\left( a_{1},b_{1}\right) \times \left( a_{2},b_{2}\right)
\end{equation*}は長方形の内部ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の開集合です。また、\(3\)次元ユークリッド空間において、\begin{equation*}\left( a_{1},b_{1}\right) \times \left( a_{2},b_{2}\right) \times \left(
a_{3},b_{3}\right)
\end{equation*}は立方体の内部ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)上の開集合です。
例(点の閉近傍の補集合は開集合)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも大きい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点からなる集合を、\begin{equation*}A_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表記します。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です(演習問題)。具体例を挙げると、\(1\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} \)に関して、\begin{eqnarray*}A_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert >\varepsilon \right\} \\
&=&\left( -\infty ,a-\varepsilon \right) \cup \left( a+\varepsilon ,+\infty
\right)
\end{eqnarray*}であり、これは有界閉区間\(\left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \)の補集合ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} \)上の開集合です。また、\(2\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)に関して、\begin{eqnarray*}A_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}>\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}>\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする円盤の補集合ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の開集合です。また、\(3\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{3}\)に関して、\begin{eqnarray*}A_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}}>\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}>\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする球の補集合ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)上の開集合です。
例(1点集合の補集合は開集合)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それ以外のすべての点からなる集合\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ a\right\} =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\not=a\right\} \end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です(演習問題)。

一方、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が開集合ではないこととは、開集合の定義の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right)
\not\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただしこれは、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \cap
A^{c}\not=\phi
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(A\)が開集合でないこととは、\(A\)の少なくとも1つの点について、その点を中心とする任意の近傍が\(A\)の補集合と交わることを意味します。

例(点の閉近傍は開集合ではない)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)以下の場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点からなる集合を、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の閉近傍(closed neighborhood)と呼びます。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません(演習問題)。具体例を挙げると、\(1\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} \)の閉近傍は、\begin{eqnarray*}C_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert \leq \varepsilon \right\} \\
&=&\left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする有界閉区間ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} \)上の開集合ではありません。また、\(2\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{2}\)の閉近傍は、\begin{eqnarray*}C_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}\leq
\varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする円盤ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{2}\)上の開集合ではありません。また、\(3\)次元ユークリッド空間の点\(a\in \mathbb{R} ^{3}\)の閉近傍は、\begin{eqnarray*}C_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right)
^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}\leq \varepsilon ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}であり、これは点\(a\)を中心とする球ですが、先の議論より、これは\(\mathbb{R} ^{3}\)上の開集合ではありません。
例(1点集合は開集合ではない)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ集合\begin{equation*}\left\{ a\right\} =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x=a\right\}
\end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではありません(演習問題)。

 

開集合系

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合をすべて集めてできる集合族を\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系(system of open sets)と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表記します。開集合の定義より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists \varepsilon
>0:N_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\mathbb{R} ^{n}\)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\mathbb{R} ^{n}\)と\(\phi \)はいずれも\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるということです。

命題(開集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}\left( O_{1}\right) \ \mathbb{R} \in \mathcal{O},\ \phi \in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。

証明

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\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける2つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の開集合の共通部分もまた開集合になるということです。

命題(開集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、任意の自然数\(m\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left( O_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\Rightarrow
\bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。

証明

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上の命題は有限個の開集合に関して成立する性質であることに注意してください。一方、無限個の開集合を選んだとき、それらの共通部分は開集合になるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(無限個の開集合の共通部分)
それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、点\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\frac{1}{i}>0\)の近傍\begin{equation*}N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( 0,x\right) <\frac{1}{i}\right\}
\end{equation*}をとります。先に示したように\(\mathbb{R} ^{n}\)の点を中心とする近傍は開集合であるため\(N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) \)は開集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ N_{\frac{1}{i}}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の開集合を要素として持つ集合族です。この集合族の共通部分は、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}ですが(演習問題)、先に示したように1点集合は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではないため、上の共通部分もまた開集合ではありません。

ちなみに、無限個の開集合の共通部分が開集合になる場合もあります。以下の例より明らかです。

例(無限個の開集合の共通部分)
\(a<b\)を満たす点\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}A_{i}=\left( a-i,b+i\right) \times \cdots \times \left( a-i,b+i\right)
\end{equation*}という\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合を定義します。先に示したように有界な開区間どうしの直積は開集合であるため\(A_{i}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合です。\(\mathbb{N} \)は無限集合であるため\(\left\{ A_{i}\right\} _{i\in \mathbb{N} }\)は無限個の開集合を要素として持つ集合族です。この集合族に関しては、\begin{equation*}A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots
\end{equation*}が成り立つため、共通部分は、\begin{eqnarray*}
\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i} &=&A_{1} \\
&=&\left( a-1,b+1\right) \times \cdots \times \left( a-1,b+1\right)
\end{eqnarray*}となりますが、有界な開区間どうしの直積は開集合であるため、上の共通部分もまた開集合です。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を特徴づける3つ目の性質は、\(\mathcal{O}\)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(\mathcal{O}\)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の開集合の和集合もまた開集合になるということです。

命題(開集合系の基本性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は、\begin{equation*}\left( O_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in
\mathcal{O}\right) \Rightarrow \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda
}A_{\lambda }\in \mathcal{O}
\end{equation*}を満たす。ただし、\(\Lambda \)は任意の集合である。
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上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意です。\(\Lambda \)として有限集合を採用した場合、上の命題の主張は「有限個の開集合の和集合は開集合」というものになります。一方、\(\Lambda \)として可算集合や非可算集合などの無限集合を採用した場合、上の命題の主張は「無限個の開集合の和集合は開集合」という主張になります。先に例を通じて確認したように、無限個の開集合の共通部分は開集合になるとは限りません。一方、無限個の開集合の和集合は開集合になることが保証されます。

 

演習問題

問題(有界開区間の直積は開集合)
それぞれの番号\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)に対して、\begin{equation*}a_{i}<b_{i}
\end{equation*}を満たす実数\(a_{i},b_{i}\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、これらを端点とする有界開区間\begin{equation*}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left\{ x_{i}\in \mathbb{R} \ |\ a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\} \quad \left( i=1,\cdots ,n\right)
\end{equation*}をとります。さらに得られた\(n\)個の有界開区間の直積\begin{equation*}\prod\limits_{i=1}^{n}\left( a_{i},b_{i}\right) =\left( a_{1},b_{1}\right)
\times \cdots \times \left( a_{n},b_{n}\right)
\end{equation*}をとります。これが\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを証明してください。
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問題(点の閉近傍の補集合は開集合)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも大きい場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点からなる集合を、\begin{equation*}A_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}と表記します。これが\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを証明してください。
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問題(1点集合の補集合は開集合)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それ以外のすべての点からなる集合\begin{equation*}\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ a\right\} =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\not=a\right\} \end{equation*}をとります。これが\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを証明してください。
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問題(点の閉近傍は開集合ではない)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)をそれぞれ任意に選んだ上で、点\(a\)からの距離が\(\varepsilon \)以下の場所にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点からなる集合を、\begin{equation*}C_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\}
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の閉近傍と呼びます。これが\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではないことを証明してください。
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問題(1点集合は開集合ではない)
点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ集合\begin{equation*}\left\{ a\right\} =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x=a\right\}
\end{equation*}をとります。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合ではないことを証明してください。
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問題(開集合)
\(\mathbb{R} ^{n}\)の以下の部分集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ 0<x_{1}<+\infty \right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることを証明してください。
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問題(無限個の開集合の共通部分)
それぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、点\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\frac{1}{i}>0\)の近傍\begin{equation*}N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( 0,x\right) <\frac{1}{i}\right\}
\end{equation*}を定義します。可算集合族\(\left\{ N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) \right\}_{i\in \mathbb{N} }\)の共通部分は、\begin{equation*}\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }N_{\frac{1}{i}}\left( 0\right) =\left\{ 0\right\}
\end{equation*}であることを証明してください。

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