ユークリッド空間における開集合や開集合系について定義した上で、開集合が満たす基本的な性質について解説します。

開集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に属するそれぞれの点に対して、その点を中心とする近傍の中に\(A\)の部分集合が存在するならば、すなわち、\begin{equation*}
\forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合(open set)と呼びます。

例(点の開近傍)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点\(a\)の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合であることを示します。\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)が開集合であることは、\(b\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \)を満たす点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだときに、それに対してある\(\varepsilon ^{\prime }>0\)が存在して、\begin{equation}
U_{\varepsilon ^{\prime }}\left( b\right) \subset U_{\varepsilon }\left( a\right) \tag{1}
\end{equation}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標になります。さて、\(b\in U_{\varepsilon } \left( a\right) \)が成り立つことは\(d\left( a,b\right) <\varepsilon \)を意味するため、\(\varepsilon ^{\prime }\)の候補として、\begin{equation} \varepsilon ^{\prime }=\varepsilon -d\left( a,b\right) >0 \tag{2}
\end{equation}をとります(\(\mathbb{R} ^{2}\)の場合は下図の通り)。
図:点の近傍が開集合であることの証明
図:点の近傍が開集合であることの証明

このとき、任意の\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{align*}
x\in U_{\varepsilon ^{\prime }}\left( b\right) & \Leftrightarrow d\left( b,x\right) <\varepsilon ^{\prime }\quad \because \text{点の近傍の定義} \\
& \Leftrightarrow d\left( b,x\right) <\varepsilon -d\left( a,b\right) \quad \because \left( 2\right) \\
& \Leftrightarrow d\left( a,b\right) +d\left( b,x\right) <\varepsilon \\
& \Rightarrow d\left( a,x\right) <\varepsilon \quad \because \text{距離}d\text{に関する三角不等式} \\ & \Leftrightarrow x\in U_{\varepsilon }\left( a\right) \quad \because \text{点の近傍の定義} \end{align*}となるため\(\left( 1\right) \)が示されました。したがって点の近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)における開集合です。\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R}\)における開区間、\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における円盤(周辺の円を除く)、\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における球体(表面の球面を覗く)などはそれぞれの空間における点の近傍です。したがってこれらはいずれもそれぞれの空間における開集合です。

例(点の閉近傍)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)において、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)からの距離が\(\varepsilon >0\)以下であるような点からなる集合を、\begin{align*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) & =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\} \\
& =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert x-a\right\Vert \leq \varepsilon \right\}
\end{align*}で表し、これを点\(a\)の\(\varepsilon \)-閉近傍(\(\varepsilon \)-closed neighborhood of \(a\))などと呼びます。\(\varepsilon \)-閉近傍をシンプルに閉近傍(closed neighborhood)と呼ぶこともあります。例えば、\(1\)次元ユークリッド空間においては、\begin{align*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) & =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \right\} \\
& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert \leq \varepsilon \right\} \\
& =\left[ a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right] \end{align*}となるため、点の閉近傍は閉区間と一致します。また、\(2\)次元ユークリッド空間においては、\begin{eqnarray*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\{x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}\leq \varepsilon ^{2}\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(a=\left( a_{1},a_{2}\right) \)です。つまり、\(\mathbb{R} ^{2}\)において点\(a\)の\(\varepsilon \)-閉近傍は点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の円盤に相当します(下図)。
図:2次元ユークリッド空間における点の閉近傍
図:2次元ユークリッド空間における点の閉近傍

また、\(3\)次元ユークリッド空間においては、\begin{eqnarray*}
D_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\{x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ d\left( x,a\right) \leq \varepsilon \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}}\leq \varepsilon \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} ^{3}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}+\left( x_{3}-a_{3}\right) ^{2}\leq \varepsilon ^{2}\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2},x_{3}\right) \)かつ\(a=\left( a_{1},a_{2},a_{3}\right) \)です。つまり、\(\mathbb{R} ^{3}\)において点\(a\)の\(\varepsilon \)-閉近傍は点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の球体に相当します。さて、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点\(a\)の閉近傍\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合ではありません。実際、\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の境界にある点\(b\)を任意に選ぶと、この\(b\)を中心とする任意の近傍\(U_{\varepsilon ^{\prime }}\left( b\right) \)は\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)の部分集合になりません(\(\mathbb{R} ^{2}\)の場合は下図の通り)。

図:点の閉近傍が開集合でないことの証明
図:点の閉近傍が開集合でないことの証明

したがって点の閉近傍\(U_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)における開集合ではありません。先述のように、\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)における閉区間、\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)における円盤、\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)における球体などはそれぞれの空間における点の閉近傍です。したがってこれらはいずれもそれぞれの空間における開集合ではありません。

例(点の閉近傍の補集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)と任意の\(\varepsilon >0\)に対する閉近傍\(D_{\varepsilon }\left( a\right) \)に対して、その補集合は、\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{n}\backslash D_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\}
\end{equation*}となります。例えば、\(1\)次元ユークリッド空間においては、\begin{align*}
\mathbb{R} \backslash D_{\varepsilon }\left( a\right) & =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \right\} \\
& =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert >\varepsilon \right\} \\
& =\left( -\infty ,a-\varepsilon \right) \cup \left( a+\varepsilon ,+\infty \right)
\end{align*}となります。また、\(2\)次元ユークリッド空間においては、\begin{eqnarray*}
\mathbb{R} ^{2}\backslash D_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\{x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ d\left( x,a\right) >\varepsilon \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \sqrt{\left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}}>\varepsilon \} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x_{1}-a_{1}\right) ^{2}+\left( x_{2}-a_{2}\right) ^{2}>\varepsilon ^{2}\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(a=\left( a_{1},a_{2}\right) \)です。一般に、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における点の閉近傍の補集合\(\mathbb{R} ^{n}\backslash D_{\varepsilon }\left( a\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)において開集合になります。証明は演習問題にします。
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例(1点集合の補集合)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選び、その点のみからなる集合\(\{a\}\subset \mathbb{R} ^{n}\)を考えます。さらにその補集合\begin{equation*}
\mathbb{R} ^{n}\backslash \left\{ a\right\} =\left\{ x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x\not=a\right\}
\end{equation*}をとります。例えば、\(1\)次元ユークリッド空間においては、\begin{align*}
\mathbb{R} \backslash \left\{ a\right\} & =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\not=a\right\} \\
& =\left( -\infty ,a\right) \cup \left( a,+\infty \right)
\end{align*}となります。また、\(2\)次元ユークリッド空間においては、\begin{eqnarray*}
\mathbb{R} ^{2}\backslash \{a\} &=&\{x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=a\} \\
&=&\{x\in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x_{1}\not=a_{1},\ x_{2}\not=a_{2}\}
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(x=\left( x_{1},x_{2}\right) \)かつ\(a=\left( a_{1},a_{2}\right) \)です。一般に、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における1点集合の補集合\(\mathbb{R} ^{n}\backslash \{a\}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)において開集合になります。証明は演習問題にします。
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開集合系

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合をすべて集めてできる集合系を\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系(system of open sets)と呼び、これを\(\mathcal{O}\)で表します。

開集合の定義より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
A\in \mathcal{O\ }\Leftrightarrow \ \forall a\in A,\ \exists \varepsilon >0:U_{\varepsilon }\left( a\right) \subset A
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

\(\mathbb{R}\)の開集合系は以下の性質を満たします。

定理(開集合系の性質)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)は以下の性質を満たす。\begin{eqnarray*}
&&\left( O_{1}\right) \ \mathbb{R} \in \mathcal{O},\ \phi \in \mathcal{O} \\
&&\left( O_{2}\right) \ A_{1},\cdots ,A_{m}\in \mathcal{O}\ \Rightarrow \ \bigcap\limits_{i=1}^{m}A_{i}\in \mathcal{O} \\
&&\left( O_{3}\right) \ \left( \forall \lambda \in \Lambda :A_{\lambda }\in \mathcal{O}\right) \ \Rightarrow \ \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\in \mathcal{O}
\end{eqnarray*}
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性質\(\left( O_{1}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)自身と空集合\(\phi \)がともに\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合であることを意味します。ゆえに\(\mathcal{O}\not=\phi \)が成り立ちます。性質\(\left( O_{2}\right) \)は有限個の開集合の共通部分が開集合であることを意味します。性質\(\left( O_{3}\right) \)は任意個の開集合をとったとき、それらの和集合もまた開集合であることを意味します。\(\left( O_{2}\right) \)が有限個の開集合に関してのみ成立する性質であるのに対して、\(\left( O_{3}\right) \)は無限個の開集合に関して成立することに注意する必要があります。しかも\(\left( O_{3}\right) \)において添字集合\(\Lambda \)は任意の集合ですので、問題とする開集合の個数は非可算個でもかまいません。

以下の例は性質\(\left( O_{2}\right) \)が無限個の開集合に関して成り立つとは限らないことを示しています。

例(無限個の開集合の共通部分)
先に示したように、\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)において開区間は開集合ですが、閉区間は開集合ではありません。したがって、点\(a,b\in \mathbb{R}\)とそれぞれの番号\(i\in \mathbb{N} \)に対して、以下のような開区間\begin{equation*}
A_{i}=\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right)
\end{equation*}を定義するとこれは\(\mathbb{R}\)の開集合である一方で、無限個の\(A_{i}\)について共通部分をとると、\begin{equation*}
\bigcap \limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}=\bigcap\limits_{i\in \mathbb{N} }\left( a-\frac{1}{i},b+\frac{1}{i}\right) =\left[ a,b\right] \end{equation*}となり、これは閉区間であるため\(\mathbb{R}\)の開集合ではありません。

次回はユークリッド空間における閉集合について学びます。
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