ユークリッド空間における基本開集合系（開基）と第2可算公理

基本開集合系

ユークリッド空間上の点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)と正の実数\(\varepsilon >0\)がそれぞれ与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\varepsilon
\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。点\(\boldsymbol{a}\)の近傍をすべて集めることにより得られる\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族を点\(\boldsymbol{a}\)の近傍系と呼び、これを、\begin{equation*}N\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \ |\ 0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であることとは、\(A\)の点\(\boldsymbol{a}\)を任意に選んだときに、\(A\)の部分集合であるような\(\boldsymbol{a}\)の近傍が存在すること、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{a}\in A,\ \exists \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left(
\boldsymbol{a}\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。同じことを点の近傍系を用いて表現すると、\begin{equation*}
\forall \boldsymbol{a}\in A,\ \exists N\in N\left( \boldsymbol{a}\right)
:N\subset A
\end{equation*}となります。また、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合をすべて集めることによりできる集合族を\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系と呼び、これを、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right)
\end{equation*}で表記します。

開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の部分集合\(\mathfrak{B}\subset \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が与えられた状況を想定します。つまり、\(\mathfrak{B}\)は開集合を要素として持つ集合族です。その上で、それぞれの開集合\(A\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を\(\mathfrak{B}\)の要素である開集合の和集合として表現できるのであれば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall A\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \ ,\exists \mathfrak{A}\subset \mathfrak{B}:A=\bigcup \mathfrak{A}
\end{equation*}を満たす開集合の族\(\mathfrak{B}\subset \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が存在する場合には、\(\mathfrak{B}\)を\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の基本開集合系（fundamental system of open sets）や開基（open base）などと呼びます。上の定義中の\(\mathfrak{A}\)は\(\mathfrak{B}\)の「部分集合」を表す記号であることに注意してください。集合\(A\)を集合族\(\mathfrak{A}\)の要素の和集合として表すことができることとは、\(A\)を\(\mathfrak{B}\)の部分集合の和集合として表すことができることと同義であるため、上のような表現になっています。

開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の基本開集合系\(\mathfrak{B}\)が存在する場合、どのようなメリットがあるのでしょうか。開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の基本開集合系\(\mathfrak{B}\)が存在する場合、任意の開集合\(A\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)は基本開集合系\(\mathfrak{B}\)に属する開集合の和集合として表すことができます。つまり、基本開集合系\(\mathfrak{B}\)さえ与えられていれば、それをもとに任意の開集合を表現できるため、開集合について議論する際に開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)のすべての要素を議論の対象とする必要はなく、基本開集合系\(\mathfrak{B}\)の要素だけを議論の対象とすれば十分です。基本開集合系が存在する場合、議論の対象とすべき開集合の数を減らすことができるため、それにより議論を簡素化できるということです。

第2可算公理

開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の基本開集合系\(\mathfrak{B}\)の中に可算集合であるようなものが存在する場合、\(\mathbb{R} ^{n}\)は第2可算公理（second axiom of countability）を満たすと言います。

繰り返しになりますが、開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の基本開集合系\(\mathfrak{B}\)が存在する場合には、任意の開集合\(A\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が基本開集合系\(\mathfrak{B}\)の要素の和集合として表されるため、開集合について議論する際に\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)に属するすべての開集合を議論の対象とする必要はなく、基本開集合系\(\mathfrak{B}\)に属する開集合だけを議論の対象とすれば十分です。しかも、第2可算公理が成り立つ場合には、可算集合であるような基本開集合系\(\mathfrak{B}\)が存在することが保証されるため、この場合、可算個の開集合だけを議論の対象とすれば十分です。

先に例を通じて確認したように、中心が有理数を成分とする点であり半径が有理数であるような近傍をすべて集めてできる近傍系\begin{equation*}
\mathcal{N}_{\mathbb{Q} }=\left\{ N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \ |\ \boldsymbol{a}\in \mathbb{Q} ^{n}\wedge \varepsilon \in \mathbb{Q} \wedge 0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{equation*}は\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の基本開集合系です。しかも、\(\mathcal{N}_{\mathbb{Q} }\)は可算集合族です（演習問題）。以上の事実は\(\mathbb{R} ^{n}\)が第2可算公理を満たすことを意味します。

第1可算公理と第2可算公理の関係

点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだ上で、その近傍系\(N\left( \boldsymbol{a}\right) \)をとります。このとき、その部分集合\(N^{\ast }\left( \boldsymbol{a}\right) \subset N\left( \boldsymbol{a}\right) \)の中に以下の条件\begin{equation*}\forall N\in N\left( \boldsymbol{a}\right) ,\ \exists N^{\ast }\in N^{\ast
}\left( \boldsymbol{a}\right) :N^{\ast }\subset N
\end{equation*}を満たすものが存在する場合には、つまり、点\(\boldsymbol{a}\)の近傍\(N\in N\left( \boldsymbol{a}\right) \)を任意に選んだとき、\(N\)の部分集合であるような点\(\boldsymbol{a}\)の近傍\(N^{\ast }\)を\(N^{\ast }\left( \boldsymbol{a}\right) \)から常にとることができるのであれば、このような\(N^{\ast }\left( \boldsymbol{a}\right) \)を点\(\boldsymbol{a}\)の基本近傍系と呼びます。加えて、可算個の要素を持つ基本近傍系\(N^{\ast}\left( \boldsymbol{a}\right) \)が存在する場合、\(\mathbb{R} ^{n}\)は第1可算公理を満たすと言います。

\(\mathbb{R} ^{n}\)が第1可算公理を導くことを示しましたが、実は、第1可算公理は第2可算公理から導くこともできます。

可算個の近傍の和集合としての開集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)は第2可算公理を満たすことが明らかになりました。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合を任意に選んだとき、それを可算個の開集合の和集合として表現できます。しかも、先の命題において示したように以下の集合族\begin{equation*}\mathcal{N}_{\mathbb{Q} }=\left\{ N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \ |\ \boldsymbol{a}\in \mathbb{Q} ^{n}\wedge \varepsilon \in \mathbb{Q} \wedge 0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{equation*}は\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の可算な基本開集合系であるため、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合を任意に選んだとき、それを可算個の近傍の和集合として表現できます。

可算個の開集合の和集合としての開集合

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界開区間とは、任意の\(i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} \)について\(a_{i}<b_{i}\)を満たす2つの点\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\)を用いて、\begin{eqnarray*}\left( \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\right) &=&\prod_{i=1}^{n}\left(
a_{i},b_{i}\right) \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{i}<x_{i}<b_{i}\right\}
\end{eqnarray*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。

特に、中心の成分がすべて有理数であるとともに、各辺の長さが有理数であるような有界開区間は、何らかの点\(\boldsymbol{q}\in \mathbb{Q} ^{n}\)および\(\boldsymbol{s}\in \mathbb{Q} _{++}^{n}\)を用いて、\begin{equation*}I\left( \boldsymbol{q},\boldsymbol{s}\right) =\prod_{i=1}^{n}\left(
q_{i}-s_{i},q_{i}+s_{i}\right)
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合です。このような有界開区間をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{equation*}\mathcal{I}_{\mathbb{Q} }=\left\{ I\left( \boldsymbol{q},\boldsymbol{s}\right) \ |\ \boldsymbol{q}\in \mathbb{Q} ^{n}\wedge \boldsymbol{s}\in \mathbb{Q} _{++}^{n}\right\}
\end{equation*}で表記します。これは\(\mathbb{R} ^{n}\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の基本開集合系であるような可算集合です。

以下の集合族\begin{equation*}
\mathcal{I}_{\mathbb{Q} }=\left\{ I\left( \boldsymbol{q},\boldsymbol{s}\right) \ |\ \boldsymbol{q}\in \mathbb{Q} ^{n}\wedge \boldsymbol{s}\in \mathbb{Q} _{++}^{n}\right\}
\end{equation*}が\(\mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)の可算な基本開集合系であることが明らかになりました。以上の事実は、\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合を任意に選んだとき、それを可算個の有界開区間の和集合として表現できることを意味します。

演習問題