分離している2つの集合
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の集積点であることとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap
\left( A\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は中心が\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)であり半径が\(\varepsilon >0\)であるような近傍であり、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\}
\\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\varepsilon
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離関数です。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)が集合\(A\)の集積点であることとは、点\(\boldsymbol{a}\)からいくらでも近い場所に\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(A\)の点が必ず存在することを意味します。
点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)の集積点であることと、\(A\)の要素を項とするとともに任意の項が\(\boldsymbol{a}\)とは異なり、なおかつ\(\boldsymbol{a}\)へ収束する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列が存在することは必要十分です。
集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)の集積点をすべて集めることにより得られる集合を導集合と呼び、\begin{equation*}A^{d}
\end{equation*}で表記します。集合\(A\)が与えられたとき、その閉包\(A^{a}\)と導集合\(A^{d}\)の間には以下の関係\begin{equation*}A^{a}=A\cup A^{d}
\end{equation*}が成り立ちます。閉包\(A^{a}\)は内部\(A^{i}\)と境界\(A^{f}\)の和集合と一致するため、先の関係を、\begin{equation*}A^{i}\cup A^{f}=A\cup A^{d}
\end{equation*}と表現することもできます。
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の2つの部分集合\(A,B\)が以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cap B=\phi \\
&&\left( b\right) \ A\cap B^{d}=\phi \\
&&\left( c\right) \ A^{d}\cap B=\phi
\end{eqnarray*}をすべて満たす場合には、\(A\)と\(B\)は分離している（separated）と言います。つまり、\(A\)と\(B\)が分離していることとは、両者が互いに素であるとともに、お互いに相手の集積点を要素として持たないことを意味します。
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。明らかに、\begin{equation*}
A\cap B=\phi
\end{equation*}です。また、\begin{eqnarray*}
A\cap B^{d} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\} ^{d} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
A^{d}\cap B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\right\} ^{d}\cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\leq 0\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}であるため、\(A\)と\(B\)は分離していることが明らかになりました。
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-3\right) ^{2}+y^{2}<1\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。明らかに、\begin{equation*}
A\cap B=\phi
\end{equation*}です。また、\begin{eqnarray*}
A\cap B^{d} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}<1\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-3\right) ^{2}+y^{2}<1\right\} ^{d} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}<1\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-3\right) ^{2}+y^{2}\leq 1\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
A^{d}\cap B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}<1\right\} ^{d}\cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-3\right) ^{2}+y^{2}<1\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ \left( x-3\right) ^{2}+y^{2}<1\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}であるため、\(A\)と\(B\)は分離していることが明らかになりました。
逆に、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の2つの部分集合\(A,B\)が分離していないこととは、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cap B=\phi \\
&&\left( b\right) \ A\cap B^{d}=\phi \\
&&\left( c\right) \ A^{d}\cap B=\phi
\end{eqnarray*}のうちの少なくとも1つが成り立つことを意味します。つまり、\(A,B\)が互いに素ではないか、もしくは\(A,B\)のうちの少なくとも一方が相手の集積点を要素として持つ場合、\(A\)と\(B\)は分離していません。
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。明らかに、\begin{equation*}
A\cap B=\phi
\end{equation*}です。その一方で、\begin{eqnarray*}
A\cap B^{d} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\leq 0\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\} ^{d} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\leq 0\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=0\right\} \\
&\not=&\phi
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(A\)と\(B\)は分離していません。
B &=&\left\{ \left( x,\sin \left( \frac{1}{x}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0<x\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。明らかに、\begin{equation*}
A\cap B=\phi
\end{equation*}です。その一方で、\(A\)の点はいずれも\(B\)の集積点であるため、\begin{equation*}A\subset B^{d}
\end{equation*}が成り立ち、ゆえに、\begin{equation*}
A\cap B^{d}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つため、\(A\)と\(B\)は分離していません（演習問題）。
分離していることと互いに素であることの違い
定義より、2つの集合が分離している場合、それらの集合は互いに素です。
\end{equation*}が成り立つ。
先の命題の対偶より、2つの集合が互いに素ではない場合、それらの集合は分離していません。
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。これらの集合の共通部分は、\begin{eqnarray*}
A\cap B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\leq 0\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=0\right\} \\
&\not=&\phi
\end{eqnarray*}を満たすため\(A\)と\(B\)は互いに素ではなく、したがって\(A\)と\(B\)は分離していません。
分離している2つの集合は互いに素である一方で、その逆は成り立つとは限りません。互いに素な集合は分離しているとは限らないということです。以下の例より明らかです。
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。明らかに、\begin{equation*}
A\cap B=\phi
\end{equation*}であるとともに、先に示したように\(A\)と\(B\)は分離していません。
閉包を用いた分離している集合の特徴づけ
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の2つの部分集合\(A,B\)が分離していることは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cap B^{a}=\phi \\
&&\left( b\right) \ A^{a}\cap B=\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。ただし、\(A^{a},B^{a}\)は\(A,B\)の閉包です。つまり、\(A\)と\(B\)が分離していることとは、お互いに相手の触点を要素として持たないことを意味します。触点は内点または境界点のどちらか一方であるため、\(A,B\)が分離していることとは、どちらも相手の内点や境界点を要素を要素として持たないことを意味します。\(A\)と\(B\)はお互いに重なっておらず、また、お互いに相手の境界にも接していないということです。
&&\left( b\right) \ A^{a}\cap B=\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(A\)と\(B\)が分離しているための必要十分条件である。
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。先に示したように\(A\)と\(B\)は分離していますが、同じことを先の命題を用いて示します。具体的には、\begin{eqnarray*}A\cap B^{a} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\} ^{a} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}であるとともに、\begin{eqnarray*}
A^{a}\cap B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\right\} ^{a}\cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\leq 0\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より\(A\)と\(B\)は分離しています。
逆に、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の2つの部分集合\(A,B\)が分離していないこととは、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\cap B^{a}\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ A^{a}\cap B\not=\phi
\end{eqnarray*}のうちの少なくとも一方が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)と\(B\)の少なくとも一方が相手の触点（内点または境界点）を要素をして持つということです。
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。先に示したように\(A\)と\(B\)は分離していませんが、同じことを先の命題を用いて示します。具体的には、\begin{eqnarray*}A\cap B^{a} &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\leq 0\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x>0\right\} ^{a} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\leq 0\right\} \cap \left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=0\right\} \\
&\not=&\phi
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より\(A\)と\(B\)は分離していません。
開集合を用いた分離している集合の特徴づけ
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の2つの部分集合\(A,B\)が分離していることは、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset U \\
&&\left( b\right) \ B\subset V \\
&&\left( c\right) \ U\cap B=\phi \\
&&\left( d\right) \ V\cap A=\phi
\end{eqnarray*}をすべて満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(U,V\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が存在することと必要十分です。つまり、\(A\)と\(B\)が分離していることとは、\(A\)を部分集合として含むとともに\(B\)と交わらない開集合と、\(B\)を部分集合として含むとともに\(A\)と交わらない開集合がともに存在することを意味します。
&&\left( b\right) \ B\subset V \\
&&\left( c\right) \ U\cap B=\phi \\
&&\left( d\right) \ V\cap A=\phi
\end{eqnarray*}をすべて満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(U,V\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が存在することは、\(A\)と\(B\)が分離しているための必要十分条件である。
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0<x\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の2つの開集合\begin{eqnarray*}
U &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x<0\right\} \\
V &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0<x\right\}
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\subset U\wedge U\cap B=\phi \\
&&\left( b\right) \ B\subset V\wedge V\cap A=\phi
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、先の命題より\(A\)と\(B\)は分離しています。
逆に、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の2つの部分集合\(A,B\)が分離していないこととは、以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset U \\
&&\left( b\right) \ B\subset V \\
&&\left( c\right) \ U\cap B=\phi \\
&&\left( d\right) \ V\cap A=\phi
\end{eqnarray*}をすべて満たす開集合\(U,V\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)が存在しないことを意味します。つまり、どのような開集合\(U,V\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{n}\right) \)を選んだ場合でも、上の4つの条件の中の少なくとも1つが成り立たないということです。もしくは、上の4つの条件を満たす集合\(U,V\)を任意に選んだとき、それらのうちの少なくとも一方は開集合ではないということです。
B &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0\leq x\right\}
\end{eqnarray*}に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\subset U \\
&&\left( b\right) \ B\subset V \\
&&\left( c\right) \ U\cap B=\phi \\
&&\left( d\right) \ V\cap A=\phi
\end{eqnarray*}をすべて満たす開集合\(U,V\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)が存在するものと仮定します。\(\left( a\right) \)より\(\left( 0,0\right) \in U\)であるため、\begin{equation*}\left( 0,0\right) \in U\cap B
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
U\cap B\not=\phi
\end{equation*}となり\(\left( c\right) \)と矛盾します。したがって背理法より\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left(c\right) ,\left( d\right) \)をすべて満たす開集合\(U,V\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)は存在しないため、\(A\)と\(B\)は分離していません。
演習問題
B &=&\left\{ \left( x,\sin \left( \frac{1}{x}\right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 0<x\leq 1\right\}
\end{eqnarray*}が分離していないことを示してください。
B &=&\left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right)
\end{eqnarray*}は分離しているでしょうか。議論してください。
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