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点列を用いた触点の判定

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点列を用いた触点の定義

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の触点であることを判定する方法としては、触点の定義に照らし合わせて確認する方法や、\(a\)が\(A\)の外点でないことを示す方法、もしくは\(a\)が\(A\)の内点または外点であることを示す方法などがあります。ただ、触点は点列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が触点であることを容易に判定できることがあります。順を追って説明します。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選びます。一般に、\(A\)の点を項とするとともに点\(a\)に収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は存在するとは限りません。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)は存在するとは限らないということです。しかし、\(a\)が\(A\)の触点である場合には、上の性質を満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が必ず存在します。

命題(触点と収束点列)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(a\)が\(A\)の触点であるならば、\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列が存在する。

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)の点を項とするとともに点\(a\)に収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在する場合には、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在する場合、その極限\(a\)は\(A\)の触点であることが保証されます。

命題(触点と収束点列)

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列が存在するならば、\(a\)は\(A\)の触点である。

証明

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以上の2つの命題より、触点という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(点列を用いた触点の定義)
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに極限\(a\)へ収束する点列が存在することは、\(a\)が\(A\)の触点であるための必要十分条件である。

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)の点を項とし点\(a\)へ収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在する場合、極限に相当する点\(a\)のいくらでも近い場所に\(\left\{ x_{v}\right\} \)の点が無数に存在します。したがって、\(a\)が\(A\)の触点であることは、\(A\)の点をたどりながら点\(a\)に限りなく近づくことが必ず可能であることを意味します。

 

点列を用いて触点であることを判定する

上の命題より、触点に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が\(A\)の触点であることを示すためには、\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列が存在することを示せばよいことになります。

例(点列を用いて触点であることを判定する)
2次元ユークリッド空間の部分集合\begin{equation*}
A=\left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right)
\end{equation*}が与えられたとき、\(A\)の任意の点が\(A\)の触点であることを示します。点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A\)を任意に選び、一般項が、\begin{equation*}x_{v}=\left( x_{v}^{\left( 1\right) },x_{v}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( x_{1}+\frac{1-x_{1}}{v},x_{2}+\frac{1-x_{2}}{v}\right)
\end{equation*}であるような点列\(\left\{x_{v}\right\} \)について考えます。\(\left\{ x_{v}\right\} \)は\(A\)の点を項とする点列です。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v} &=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty
}x_{v}^{\left( 1\right) },\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right)
}\right) \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{1}+\frac{1-x_{1}}{v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{2}+\frac{1-x_{2}}{v}\right) \right) \\
&=&\left( x_{1},x_{2}\right) \\
&\in &A
\end{eqnarray*}となるため、点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \)が\(A\)の触点であることが示されました。

 

点列を用いて触点ではないことを判定する

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列が存在しないことを示せば、\(a\)は\(A\)の触点ではないことを示したことになります。

例(点列を用いて触点ではないことを判定する)
2次元ユークリッド空間の部分集合\begin{equation*}
A=\left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}が与えられたとき、\(A\)の補集合の任意の点が\(A\)の触点でないことを示します。そこで、点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A^{c}\)が\(A\)の触点であるものと仮定します。このとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in A \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\left(
x_{1},x_{2}\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在することになります。\(\left( a\right) \)および\(A\)の定義より、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :\left( 0\leq x_{v}^{\left( 1\right) }\leq 1\wedge 0\leq x_{v}^{\left(
2\right) }\leq 1\right)
\end{equation*}が成り立つため、点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の極限についても、\begin{equation*}0\leq \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 1\right) }\leq 1\wedge 0\leq
\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}^{\left( 2\right) }\leq 1
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( b\right) \)より、\begin{equation*}0\leq x_{1}\leq 1\wedge 0\leq x_{2}\leq 1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( x_{1},x_{2}\right) \in A
\end{equation*}を得ますが、これは\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in A^{c}\)と矛盾です。したがって背理法より、\(\left( x_{1},x_{2}\right) \)は\(A\)の触点でないことが示されました。

次回はユークリッド空間の部分集合が閉集合であることを閉包を用いて判定する方法を解説します。

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