ユークリッド空間におけるカントールの縮小区間定理
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)におけるカントールの縮小区間定理（Cantor’s nested interval theorem）とは、入れ子構造にある\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)が与えられたとき、その共通部分は空集合ではないという命題、すなわち、\begin{equation*}\bigcap\limits_{v=1}^{+\infty }I_{v}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つという命題です。つまり、入れ子構造の閉区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)に対しては、その要素であるすべての区間\(I_{1},I_{2},\cdots \)に属する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点が必ず存在します。しかも、そのような点は常に1つだけ存在するとともに、その点を特定することもできます。具体的には以下の通りです。
\forall v\in \mathbb{N} :I_{v}\supset I_{v+1}
\end{equation*}が成り立ち、さらに、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }d\left( I_{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の性質を満たす区間列\(\left\{ I_{v}\right\} \)について、\begin{equation*}\bigcap\limits_{v=1}^{+\infty }I_{v}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つ。しかも、この共通部分は1点集合であり、その唯一の要素は、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{a}_{v}\ \left( =\lim_{v\rightarrow
+\infty }\boldsymbol{b}_{v}\right)
\end{equation*}と一致する。
&=&\left[ -\frac{1}{v},\frac{1}{v}\right] \times \cdots \times \left[ -\frac{1}{v},\frac{1}{v}\right] \end{eqnarray*}であるものとします。この区間列は入れ子構造の閉区間列であるため、カントールの縮小区間定理より、この区間列の共通部分は1点集合であるとともに、その唯一の要素は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( -\frac{1}{v},\cdots ,-\frac{1}{v}\right)
&=&\left( 0,\cdots ,0\right) \\
&=&\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}と一致します。つまり、\begin{equation*}
\bigcap_{v=1}^{+\infty }I_{v}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{equation*}であるということです。
&=&\left[ 0,\frac{1}{v}\right] \times \cdots \times \left[ 0,\frac{1}{v^{n}}\right] \end{eqnarray*}であるものとします。この区間列は入れ子構造の閉区間列であるため、カントールの縮小区間定理より、この区間列の共通部分は1点集合であるとともに、その唯一の要素は、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }\left( 0,\cdots ,0\right) &=&\left( 0,\cdots
,0\right) \\
&=&\boldsymbol{0}
\end{eqnarray*}と一致します。つまり、\begin{equation*}
\bigcap_{v=1}^{+\infty }I_{v}=\left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{equation*}であるということです。
ユークリッド空間におけるカントールの縮小区間定理の一般化
カントールの縮小区間定理は入れ子構造の閉区間列に関する命題ですが、閉区間は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であるため、カントールの縮小区間定理と同様の主張が、入れ子構造のコンパクト集合列に関しても成立するのではないかという推測が立ちます。閉区間はコンパクト集合である一方、コンパクト集合は閉区間であるとは限らないため、仮に推測が正しければ、カントールの縮小区間定理を一般化できるということです。実際、これは正しい推測であることを以下で示します。
以下の3つの性質を満たすユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合族\(\left\{ A_{v}\right\} \)について考えます。
1つ目の性質は、この集合族のすべての項が空集合ではないということです。つまり、\begin{equation*}
\forall v\in \mathbb{N} :A_{v}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つということです。
2つ目の性質は、この集合族のすべての項が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であるということです。
3つ目の性質は、この集合族\(\left\{ A_{v}\right\} \)が単調減少列であるということです。つまり、\begin{equation*}\forall v\in \mathbb{N} :A_{v}\supset A_{v+1}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立つということです。
以上の3つの性質を満たす区間列を入れ子構造の非空なコンパクト集合列（nested sequence of non-empty compact sets）と呼ぶこととします。
入れ子構造のコンパクト集合列\(\left\{ A_{v}\right\} \)に対しても、カントールの縮小区間定理と同様、その共通部分は空集合ではないこと、すなわち、\begin{equation*}\bigcap\limits_{v=1}^{+\infty }A_{v}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。入れ子構造のコンパクト集合列\(\left\{ A_{v}\right\} \)に対しては、その要素であるすべての集合\(A_{1},A_{2},\cdots \)に属する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点が必ず存在します。証明では点列コンパクト集合の性質を利用します。
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の性質を満たす集合列\(\left\{ A_{v}\right\} \)について、\begin{equation*}\bigcap\limits_{v=1}^{+\infty }A_{v}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるものとします。\(A_{v}\)は点\(\boldsymbol{0}\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(1+\frac{1}{v}\)の閉近傍であるため\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合です。さらに、\(v\)が大きくなるにつれて半径\(1+\frac{1}{v}\)は小さくなるため\(\left\{ A_{v}\right\} \)は入れ子構造にあります。したがって先の命題より\(\left\{ A_{v}\right\} \)の共通部分は非空であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}\bigcap_{v=1}^{+\infty }A_{v} &=&\bigcap_{v=1}^{+\infty }\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq 1+\frac{1}{v}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq 1\right\} \\
&\not=&\phi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ちなみに、\(\bigcap_{v=1}^{+\infty }A_{v}\)は1点集合ではありません。
&=&\left[ 0,\frac{1}{v}\right] \times \left[ 0,1\right] \times \cdots \times \left[ 0,1\right] \end{eqnarray*}であるものとします。\(A_{v}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界閉区間であるため\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合です。また、\(v\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{v}\)は小さくなるため\(\left\{A_{v}\right\} \)は入れ子構造にあります。したがって先の命題より\(\left\{A_{v}\right\} \)の共通部分は非空であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}\bigcap_{v=1}^{+\infty }A_{v} &=&\bigcap_{v=1}^{+\infty }\left( \left[ 0,\frac{1}{v}\right] \times \prod_{i=2}^{n}\left[ 0,1\right] \right) \\
&=&\bigcap_{v=1}^{+\infty }\left[ 0,\frac{1}{v}\right] \times \prod_{i=2}^{n}\left[ 0,1\right] \\
&=&\left\{ 0\right\} \times \prod_{i=2}^{n}\left[ 0,1\right] \\
&\not=&\phi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ちなみに、\(\bigcap_{v=1}^{+\infty }A_{v}\)は1点集合ではありません。
入れ子構造の非空なコンパクト集合列の共通部分が1点集合であるための条件
ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における集合列\(\left\{A_{v}\right\} \)が入れ子構造の非空なコンパクト集合列である場合には、\begin{equation*}\bigcap\limits_{v=1}^{+\infty }A_{v}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。先に例を通じて確認したように、この共通部分は1点集合であるとは限りません。一方、集合列\(\left\{ A_{v}\right\} \)を構成する集合の直径が\(0\)へ収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }d\left( V_{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\bigcap_{v=1}^{+\infty }A_{v}\)が非空であるだけでなく、1点集合になることが保証されます。
\end{equation*}が成り立つものとする。さらに、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow +\infty }d\left( V_{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、この集合列\(\left\{ A_{v}\right\} \)の共通部分\begin{equation*}\bigcap\limits_{v=1}^{+\infty }A_{v}
\end{equation*}は1点集合である。
\end{equation*}であるものとします。\(A_{v}\)は点\(0\in \mathbb{R} ^{n}\)を中心とする半径\(\frac{1}{v}\)の閉近傍であるため\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合です。さらに、\(v\)が大きくなるにつれて半径\(\frac{1}{v}\)は小さくなるため\(\left\{ A_{v}\right\} \)は入れ子構造にあります。さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow +\infty }d\left( A_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
+\infty }\frac{2}{v} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より\(\left\{ A_{v}\right\} \)の共通部分は1点集合であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}\bigcap_{v=1}^{+\infty }A_{v} &=&\bigcap_{v=1}^{+\infty }\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq \frac{1}{v}\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert \leq 0\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
&=&\left[ 0,\frac{1}{v}\right] \times \cdots \times \left[ 0,\frac{1}{v}\right] \end{eqnarray*}であるものとします。\(A_{v}\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界閉区間であるため\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合です。また、\(v\)が大きくなるにつれて\(\frac{1}{v}\)は小さくなるため\(\left\{A_{v}\right\} \)は入れ子構造にあります。さらに、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }d\left( A_{v}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、先の命題より\(\left\{ A_{v}\right\} \)の共通部分は1点集合であるはずです。実際、\begin{eqnarray*}\bigcap_{v=1}^{+\infty }A_{v} &=&\bigcap_{v=1}^{+\infty }\prod_{i=1}^{n}
\left[ 0,\frac{1}{v}\right] \\
&=&\prod_{i=1}^{n}\bigcap_{v=1}^{+\infty }\left[ 0,\frac{1}{v}\right] \\
&=&\prod_{i=1}^{n}\left\{ 0\right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{0}\right\}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
演習問題
- ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)の完備性。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコーシー列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選んだとき、\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点へ収束する。
- 縮小コンパクト集合列定理。つまり、ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)における集合列\(\left\{A_{v}\right\} \)が入れ子構造の非空なコンパクト集合列であるとともに、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }d\left( A_{v}\right) =0\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{v=1}^{+\infty }A_{v}\not=\phi
\end{equation*}が成り立つ。
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