確認テスト I（ユークリッド空間の位相）

\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)について、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{a}\in A,\ \exists v\in \mathbb{N} :N_{\frac{1}{v}}\left( \boldsymbol{a}\right) \subset A
\end{equation*}が成り立つことは、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合であるための必要十分条件であることを証明してください。ただし、\(N_{\frac{1}{v}}\left( \boldsymbol{a}\right) \)は点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする半径\(\frac{1}{v}\)の開近傍であり、\begin{equation*}N_{\frac{1}{v}}\left( \boldsymbol{a}\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\frac{1}{v}\right\}
\end{equation*}と定義されます。\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離です。

以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y-x^{2}=0\right\}\end{equation*}が与えられているものとします。\(A\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上の閉集合、有界集合、コンパクト集合でしょうか。それぞれ判定してください。
2. \(\mathbb{R} ^{3}\)の部分集合\begin{equation*}B=\left\{ \left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\ |\ x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0\right\}\end{equation*}が与えられているものとします。\(B\)は\(\mathbb{R} ^{3}\)上の閉集合、有界集合、コンパクト集合でしょうか。それぞれ判定してください。
3. \(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\begin{equation*}C=\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ x_{1}+\cdots +x_{n}>0\right\}\end{equation*}が与えられているものとします。\(C\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上の閉集合、有界集合、コンパクト集合でしょうか。それぞれ判定してください。

以下の問いに答えてください（各10点）。

1. ユークリッド空間の部分集合\(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)と点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)について、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の集積点であることの定義を述べてください。
2. \(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)と\(A\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)について\(\boldsymbol{a}\not\in A\)が成り立つ事態は起こり得るでしょうか。起こり得る場合には具体例を提示し、起こり得ない場合にはその理由を述べてください。
3. \(A\subset \mathbb{R} ^{n}\)とその要素\(\boldsymbol{a}\in A\)について、\(\boldsymbol{a}\)が\(A\)の集積点ではない事態は起こり得るでしょうか。起こり得る場合には具体例を提示し、起こり得ない場合にはその理由を述べてください。

以下の問いに答えてください（各15点）。

1. 中心が\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)であり半径が\(\varepsilon >0\)であるような開近傍\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)が与えられたとき、それに対して、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \text{中心}\boldsymbol{b}\in \mathbb{R} ^{n}\text{のすべての座標と半径}\delta >0\text{がいずれも有理数である} \\&&\left( b\right) \ \boldsymbol{a}\in N_{\delta }\left( \boldsymbol{b}\right) \subset N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right)
   \end{eqnarray*}を満たす開近傍\(N_{\delta }\left( \boldsymbol{b}\right) \)が存在することを証明してください。
2. \(\mathbb{R} ^{n}\)上の開集合\(A\)が与えられたとき、\(A\)は可算個の開近傍の和集合として表現できることを証明してください。