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多変数のベクトル値関数

1変数のベクトル値関数と多変数のベクトル値関数の合成関数

目次

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1変数のベクトル値関数と多変数のベクトル値関数の合成関数

1変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の値域が多変数のベクトル値関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つということです。1変数のベクトル値関数\(f\)はそれぞれの実数\(x\in X\)に対してベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right)
\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は\(f\)の成分関数です。先の条件のもとではこの点\(f\left( x\right) \)は多変数のベクトル値関数\(g\)の定義域\(Y\)の要素であることが保証されるため、\(g\)はこの点\(f\left( x\right) \)に対して以下のベクトル\begin{equation*}g\left( f\left( x\right) \right) =\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(g_{i}:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(g\)の成分関数です。このような事情を踏まえると、先の条件が満たされる場合、それぞれの実数\(x\in X\)に対してベクトル\(g\left( f\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} ^{m}\)を値として定める1変数のベクトル値関数が定義可能です。この関数を、\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}で表記し、\(f\)と\(g\)の合成関数(composite function)と呼びます。定義より、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
=\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right) \\
\vdots \\
g_{m}\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}というベクトルです。

例(1変数のベクトル値関数と多変数のベクトル値関数の合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left( x+y,x-y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域の部分集合であるため合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( \sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right) \right) \quad \because
f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sin \left( x\right) +\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right) -\cos \left( x\right)
\end{array}\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(1変数のベクトル値関数と多変数のベクトル値関数の合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれのラジアン\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、それに対応する単位円上の点の座標\begin{equation*}f\left( \theta \right) =\left( f_{1}\left( \theta \right) ,f_{2}\left(
\theta \right) \right) =\left( \cos \left( \theta \right) ,\sin \left(
\theta \right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は平面上のそれぞれの点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、原点に対して対称的な位置にある点\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left( -x,-y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのラジアン\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( \theta \right) &=&g\left( f\left( \theta
\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( f_{1}\left( \theta \right) ,f_{2}\left( \theta \right) \right) \\
&=&g\left( \cos \left( \theta \right) ,\sin \left( \theta \right) \right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
-\cos \left( \theta \right) \\
-\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

合成関数の定義域

繰り返しになりますが、1変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の値域が多変数のベクトル値関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。一方、上の条件が成り立たない場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists x\in X:f\left( x\right) \not\in Y
\end{equation*}が成り立つ場合、関数\(g\)はそもそも上の点\(f\left( x\right) \)において定義されていないため\(g\left( f\left(x\right) \right) \)は定義不可能であり、したがって合成関数\(g\circ f\)は定義不可能です。以上を踏まえると、合成関数\(g\circ f\)の定義域は\(f\left( x\right) \in Y\)を満たすような点\(x\in X\)からなる集合\begin{eqnarray*}D\left( g\circ f\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in
Y\right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left(
x\right) \right) \in Y\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例(合成関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2},1-x\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left( \sqrt{x}+\sqrt{y},\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(g\)の定義域が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\geq 0\wedge y\geq 0\right\}
\end{equation*}であることを踏まえると、合成関数\(g\circ f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( g\circ f\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left( x^{2},1-x\right) \in X\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\geq 0\wedge 1-x\geq 0\right\} \quad \because X\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\geq 0\wedge 1\geq x\right\} \\
&=&(-\infty ,1] \end{eqnarray*}となります。その上で、\(g\circ f\)は定義域のそれぞれの要素\(x\in D\left( g\circ f\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( x^{2},1-x\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\sqrt{x^{2}}+\sqrt{1-x} \\
\sqrt{x^{2}}-\sqrt{1-x}\end{array}\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

 

演習問題

問題(合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x,x^{2},x^{3}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y,z\right) =\left( y+z,x+z,x+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)を求めてください。
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問題(合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \sin \left( x\right) ,\cos \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left( y^{2},x^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を求めてください。
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問題(合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-1\right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0,-1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( \frac{1}{x},\frac{1}{x+1}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\left( \ln \left( x\right) ,\ln \left( y\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f\)の定義域を明らかにするとともに、この合成関数を具体的に求めてください。
証明

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