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多変数のベクトル値関数

多変数のベクトル値関数のスカラー倍の極限

目次

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多変数のベクトル値関数のスカラー倍の極限

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( cf\right) \left( x\right) &=&cf\left( x\right) \\
&=&\left( cf_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,cf_{2}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}を定める新たな多変数のベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \lim_{x\rightarrow a}cf_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots
,\lim_{x\rightarrow a}cf_{2}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
=c\left( \lim_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots
,\lim_{x\rightarrow a}f_{2}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の極限)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから多変数のベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束する多変数のベクトル値関数\(f\)のスカラー倍の形をしている多変数のベクトル値関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限であるベクトルをスカラー\(c\)倍すれば\(cf\)の極限であるベクトルを得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)のスカラー倍の形をしている関数\(cf\)の収束可能性を検討する際には、多変数のベクトル値関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。

例(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)および点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するものとします。関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{eqnarray*}g\left( x\right) &=&-f\left( x\right) \\
&=&\left( -f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,-f_{m}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(g\)は\(f\)のスカラー倍(\(-1\)倍)として定義されているため、先の命題より\(g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[
-f\left( x\right) \right] \quad \because g\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \quad \because \text{収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\left( \lim_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
,\cdots ,\lim_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\\
&=&\left( -\lim_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
,\cdots ,-\lim_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\right)
\end{eqnarray*}となります。

例(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)および点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f_{1}\left(
x,y\right) ,\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}f_{2}\left( x,y\right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が成り立つものとします。スカラー\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(cf:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義すると、先の命題より、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( cf\right)
\left( x,y\right) &=&c\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}f\left( x,y\right) \\
&=&c\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}f_{1}\left( x,y\right) ,\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
a,b\right) }f_{2}\left( x,y\right) \right) \\
&=&\left( c\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}f_{1}\left( x,y\right) ,c\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
a,b\right) }f_{2}\left( x,y\right) \right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

例(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2\left( \ln \left( x\right) ,\ln \left( y\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }2\left( \ln \left(
x\right) ,\ln \left( y\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \ln \left(
x\right) ,\ln \left( y\right) \right) \quad \because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&2\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\ln \left(
x\right) ,\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\ln \left(
y\right) \right) \\
&=&2\left( \ln \left( a\right) ,\ln \left( b\right) \right) \\
&=&\left( 2\ln \left( a\right) ,2\ln \left( b\right) \right)
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(多変数のベクトル値関数のスカラー商の極限)
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と非ゼロのスカラー\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) &=&\frac{f\left( x\right) }{c} \\
&=&\left( \frac{f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) }{c},\cdots ,\frac{f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) }{c}\right)
\end{eqnarray*}を定める新たな多変数のベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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問題(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-\frac{1}{2}\left( \cos \left( x\right) +y,\sin \left(
y\right) +x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( \pi ,\pi \right) }f\left(
x,y\right)
\end{equation*}を求めてください。

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問題(多変数のベクトル値関数のスカラー倍の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-\frac{1}{2}\left( \frac{x}{x^{2}+y^{2}},\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,2\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}を求めてください。

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関連知識

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