多変数のベクトル値関数のスカラー倍の極限
多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とスカラー\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( cf\right) \left( x\right) &=&cf\left( x\right) \\
&=&\left( cf_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,cf_{2}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}を定める新たな多変数のベクトル値関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(f\)の成分関数です。関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( \lim_{x\rightarrow a}cf_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots
,\lim_{x\rightarrow a}cf_{2}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
=c\left( \lim_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots
,\lim_{x\rightarrow a}f_{2}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束する多変数のベクトル値関数\(f\)のスカラー倍の形をしている多変数のベクトル値関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限であるベクトルをスカラー\(c\)倍すれば\(cf\)の極限であるベクトルを得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)のスカラー倍の形をしている関数\(cf\)の収束可能性を検討する際には、多変数のベクトル値関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。
&=&\left( -f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,-f_{m}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。つまり、\(g\)は\(f\)のスカラー倍（\(-1\)倍）として定義されているため、先の命題より\(g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、そこでの極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left[
-f\left( x\right) \right] \quad \because g\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \quad \because \text{収束する関数のスカラー倍} \\
&=&-\left( \lim_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
,\cdots ,\lim_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\\
&=&\left( -\lim_{x\rightarrow a}f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
,\cdots ,-\lim_{x\rightarrow a}f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\right)
\end{eqnarray*}となります。
=\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f_{1}\left(
x,y\right) ,\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}f_{2}\left( x,y\right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が成り立つものとします。スカラー\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\(cf:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を定義すると、先の命題より、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( cf\right)
\left( x,y\right) &=&c\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}f\left( x,y\right) \\
&=&c\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}f_{1}\left( x,y\right) ,\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
a,b\right) }f_{2}\left( x,y\right) \right) \\
&=&\left( c\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}f_{1}\left( x,y\right) ,c\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
a,b\right) }f_{2}\left( x,y\right) \right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }2\left( \ln \left(
x\right) ,\ln \left( y\right) \right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \ln \left(
x\right) ,\ln \left( y\right) \right) \quad \because \text{収束する関数の定数倍} \\
&=&2\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\ln \left(
x\right) ,\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\ln \left(
y\right) \right) \\
&=&2\left( \ln \left( a\right) ,\ln \left( b\right) \right) \\
&=&\left( 2\ln \left( a\right) ,2\ln \left( b\right) \right)
\end{eqnarray*}となります。
演習問題
&=&\left( \frac{f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) }{c},\cdots ,\frac{f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) }{c}\right)
\end{eqnarray*}を定める新たな多変数のベクトル値関数\(\frac{f}{c}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義可能です。関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するならば、関数\(\frac{f}{c}\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( \frac{f}{c}\right) \left( x\right) =\frac{\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) }{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。
y\right) +x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( \pi ,\pi \right) }f\left(
x,y\right)
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,2\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}を求めてください。
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