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MULTIVARIABLE VECTOR VALUED FUNCTION

点列を用いた多変数ベクトル値関数の収束判定

目次

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多変数ベクトル値関数の極限と点列の極限の関係

イプシロン・デルタ論法を使って多変数ベクトル値関数が収束することを証明するのは面倒です。多変数ベクトル値関数の極限は点列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が多変数ベクトル値関数が収束することを容易に示すことができる場合があります。順を追って説明します。

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)以外の\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する点列\(\left\{x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の項\(x_{v}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left( x_{v}\right) \)を定めます。\(f\left( x_{v}\right) \)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点であるため、これを項とする\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成できます。このとき、この点列\(\left\{f\left( x_{v}\right) \right\} \)が点\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(多変数ベクトル値関数の極限と点列の極限)
多変数ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このとき、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、先のように定義された任意の点列\(\left\{ f\left(x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束する場合には、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに関数\(f\)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(多変数ベクトル値関数の極限と点列の極限)
多変数ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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この命題について注意しなければならないのは、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される点列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が\(b\)へ収束することが前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、多変数のベクトル値関数の極限という概念は点列の極限を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(多変数ベクトル値関数の極限と点列の極限)
多変数ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

上の命題より、多変数のベクトル値関数の収束可能性に関する議論を点列の収束可能性に関する議論に置き換えて考えることができます。さらに、点列の収束可能性に関する議論は、その座標数列の収束可能性に関する議論に置き換えることができるため、結局、多変数のベクトル値関数の収束可能性に関する議論を数列の収束可能性に関する議論に帰着させることができます。

例(点列を用いた多変数ベクトル値関数の収束判定)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( x^{2}y+z,\frac{yz}{1+x^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) \)のときに\(f\)が収束するか判定します。そこで、点\(\left( 0,0,0\right) \)とは異なる点を項とするとともに\(\left( 0,0,0\right) \)へ収束する\(\mathbb{R} ^{3}\)上の点列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v},z_{v}\right) \not=\left( 0,0,0\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left(
x_{v},y_{v},z_{v}\right) =\left( 0,0,0\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす\(\mathbb{R} ^{3}\)上の点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v},z_{v}\right) \right\} \)を任意に選ぶということです。このとき、点列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v},z_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v},z_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}^{2}y_{v}+z_{v},\frac{y_{v}z_{v}}{1+x_{v}^{2}}\right) \quad \because \left\{ f\left( x_{v}\right) \right\}
\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}^{2}y_{v}+z_{v}\right)
,\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{y_{v}z_{v}}{1+x_{v}^{2}}\right) \quad
\because \text{点列の極限と座標数列の極限の関係} \\
&=&\left( 0^{2}\cdot 0+0,\frac{0\cdot 0}{1+0^{2}}\right) \quad \because
\left( b\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}を得るため、先の命題より、もとの関数\(f\)に関して、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f\left(
x,y,z\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

 

多変数ベクトル値関数が収束しないことの証明

先の命題は、多変数のベクトル値関数が収束しないことを示す際にも有用です。多変数ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を適当に選びます。このとき、\(\mathbb{R} ^{m}\)上の点列である\(\left\{f\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しないのであれば、先の命題より、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しません。

例(多変数ベクトル値関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{1}{y},\frac{1}{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)が収束するか判定します。一般項が、\begin{equation*}\left( x_{v},y_{v}\right) =\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right)
\end{equation*}として与えられる点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)に注目します。この点列は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 0,0\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}をともに満たします。その一方で、点列\(f\left( x_{v},y_{v}\right) \)については、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{\frac{1}{v}},\frac{1}{\frac{1}{v}}\right) \quad
\because \left\{ f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( v,v\right) \\
&=&\left( +\infty ,+\infty \right)
\end{eqnarray*}となります。したがって先の命題より、\(f\)は\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束しないことが明らかになりました。

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する2つの点列\(\left\{x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)を適当に選びます。このとき、点列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} ,\left\{f\left( y_{v}\right) \right\} \)が異なる\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束するのであらば、先の命題より、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は\(\mathbb{R} ^{m}\)の点へ収束しません。

例(多変数ベクトル値関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( x^{2}y^{3},\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)が収束するか判定します。一般項が、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}=0 \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\not=0 \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=0
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)に注目します。これは任意の項が\(\left( 0,0\right) \)とは異なり、なおかつ\(\left( 0,0\right) \)へ収束する点列です。このとき、点列\(f\left( x_{v},y_{v}\right) \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( x_{v}^{2}y_{v}^{3},\frac{x_{v}y_{v}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}}\right) \quad \because \left\{ f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 0,0\right) \quad \because \left(
a\right) \\
&=&\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、一般項が、\begin{eqnarray*}
&&\left( c\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}=y_{v}\not=0 \\
&&\left( d\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=\lim_{v\rightarrow
\infty }y_{v}=0
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)に注目します。これもまた任意の項が\(\left( 0,0\right) \)とは異なり、なおかつ\(\left( 0,0\right) \)へ収束する点列です。このとき、点列\(f\left( x_{v},y_{v}\right) \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( x_{v}^{2}y_{v}^{3},\frac{x_{v}y_{v}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}}\right) \quad \because \left\{ f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( y_{v}^{5},\frac{y_{v}^{2}}{2y_{v}^{2}}\right) \quad \because \left( c\right) \\
&=&\left( 0,\frac{1}{2}\right) \quad \because \left( d\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。2つの極限が異なるため、先の命題より、\(f\)は\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(\mathbb{R} ^{2}\)の点へ収束しないことが明らかになりました。
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