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MULTIVARIABLE VECTOR VALUED FUNCTION

多変数のベクトル値関数(ベクトル場)の定義

目次

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多変数のベクトル値関数

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)のそれぞれの要素に対してユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)の点を1つずつ定める写像\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を多変数のベクトル値関数(vector-valued function of several variables)やベクトル変数のベクトル値関数(vector-valued function of a vector variable)もしくはベクトル場(vector field)などと呼びます。

例(多変数のベクトル値関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( 1,0\right) &=&\left( \frac{0}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}},\frac{1}{\sqrt{1^{2}+0^{2}}}\right) =\left( 0,1\right) \\
f\left( 0,1\right) &=&\left( \frac{1}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}},\frac{0}{\sqrt{0^{2}+1^{2}}}\right) =\left( 1,0\right) \\
f\left( -1,1\right) &=&\left( \frac{1}{\sqrt{\left( -1\right) ^{2}+1^{2}}},\frac{-1}{\sqrt{\left( -1\right) ^{2}+1^{2}}}\right) =\left( \frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\
f\left( 1,-1\right) &=&\left( \frac{-1}{\sqrt{1^{2}+\left( -1\right) ^{2}}},\frac{1}{\sqrt{1^{2}+\left( -1\right) ^{2}}}\right) =\left( -\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\
f\left( -1,-1\right) &=&\left( \frac{-1}{\sqrt{\left( -1\right) ^{2}+\left(
-1\right) ^{2}}},\frac{-1}{\sqrt{\left( -1\right) ^{2}+\left( -1\right) ^{2}}}\right) =\left( -\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
\end{eqnarray*}などとなります。

例(多変数のベクトル値関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( y,x,z^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( 0,0,0\right) &=&\left( 0,0,0^{2}\right) =\left( 0,0,0\right) \\
f\left( 1,0,0\right) &=&\left( 0,1,0^{2}\right) =\left( 0,1,0\right) \\
f\left( 0,1,0\right) &=&\left( 1,0,0^{2}\right) =\left( 1,0,0\right) \\
f\left( 0,0,1\right) &=&\left( 0,0,1^{2}\right) =\left( 0,0,1\right) \\
f\left( 1,2,1\right) &=&\left( 2,1,1^{2}\right) =\left( 2,1,1\right) \\
f\left( 2,1,2\right) &=&\left( 1,2,2^{2}\right) =\left( 1,2,4\right)
\end{eqnarray*}などとなります。

例(多変数のベクトル値関数)
平面上のそれぞれの点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に作用する力が、点\(\left( x,y\right) \)を始点とするベクトル\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( -y,3x\right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、ベクトル\(f\left( x,y\right) \)の向きは力が作用する方向に、\(f\left( x,y\right) \)の長さは力の大きさにそれぞれ対応しています。この\(f\)は2変数のベクトル値関数です。例えば、\begin{equation*}f\left( 0,0\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは点\(\left( 0,0\right) \)には力が作用していないことを意味します。また、\begin{equation*}f\left( 1,1\right) =\left( -1,3\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは点\(\left( 1,1\right) \)において左上の方向に\(\sqrt{10}\)の力が作用していることを意味します。また、\begin{equation*}f\left( -1,2\right) =\left( -2,-3\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは点\(\left( -1,2\right) \)において左下の方向に\(\sqrt{13}\)の力が作用していることを意味します。
例(多変数のベクトル値関数)
それぞれの商品\(i\ \left( =1,\cdots,n\right) \)の価格が\(p_{i}\)であり所得水準が\(w\)である場合の、それぞれの商品\(i\)の消費量を成分とするベクトルが、\begin{equation*}f\left( p_{1},\cdots ,p_{n},w\right) =\left( f_{1}\left( p_{1},\cdots
,p_{n},w\right) ,\cdots ,f_{n}\left( p_{1},\cdots ,p_{n},w\right) \right)
\in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(f_{i}\left( p_{1},\cdots,p_{n},w\right) \)は商品\(i\)の消費量です。この\(f\)はベクトル値関数です。これは\(n+1\)変数のベクトル値関数です。

 

多変数のベクトル値関数の成分関数

多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が定義域の点\(x\in X\)に対して定める像\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m}\)は\(m\)次元ベクトルであるため、その第\(i\ \left(=1,\cdots ,m\right) \)成分を\(f_{i}\left( x\right) \in \mathbb{R} \)と表記するのであれば、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right)
\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}という関係を満たす\(m\)個の多変数関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}を得ます。この関数\(f_{i}\)をベクトル値関数\(f\)の成分関数(component function)と呼びます。

行ベクトルと列ベクトルを同一視するのであれば、多変数のベクトル値関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める像を、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}と表現することもできます。以降では都合に応じて行ベクトルと列ベクトルを使い分けます。

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とその成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が与えられたとき、\(i\)番目の成分のみが\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(m\)次元の単位ベクトル\begin{equation*}e_{i}=\left( 0,\cdots ,1,\cdots ,0\right)
\end{equation*}を導入すると、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) \cdot e_{i} &=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x\right) \right) \cdot \left( 0,\cdots ,1,\cdots ,0\right) \\
&=&f_{i}\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) \cdot e_{i}=f_{i}\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、ベクトル値関数\(f\)と単位ベクトル\(e_{i}\)の内積をとれば成分関数\(f_{i}\)が得られるということです。他方で、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right) \cdot e_{i}\right] &=&\sum_{i=1}^{m}\left( 0,\cdots ,f_{i}\left( x\right) ,\cdots ,0\right) \\
&=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&f\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right) \cdot e_{i}\right] =f\left(
x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、それぞれの成分関数\(f_{i}\)と単位ベクトル\(e_{i}\)のスカラー倍をとった上でそれらの総和をとればベクトル値関数\(f\)を復元できるということです。

慣例として、\begin{equation*}
e_{1}=i,\quad e_{2}=j,\quad e_{3}=k
\end{equation*}という表記を利用する場合もあります。この表記を利用すると、\(m=2\)の場合には、\begin{equation*}f\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) \cdot i+f_{2}\left( x\right) \cdot j
\end{equation*}となり、\(m=3\)の場合には、\begin{equation*}f\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) \cdot i+f_{2}\left( x\right) \cdot
j+f_{3}\left( x\right) \cdot k
\end{equation*}となります。

例(多変数のベクトル値関数の成分関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x,y\right) &=&\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\
f_{2}\left( x,y\right) &=&\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\end{eqnarray*}を定めます。このとき、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}f\left( x,y\right) \cdot e_{1} &=&\left( \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) \cdot e_{1}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=f_{1}\left( x,y\right) \\
f\left( x,y\right) \cdot e_{2} &=&\left( \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) \cdot e_{2}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=f_{2}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。逆に、任意の\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x,y\right) \cdot e_{1}+f_{2}\left( x,y\right) \cdot e_{2} &=&\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot e_{1}+\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot
e_{2} \\
&=&\left( \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},0\right) +\left( 0,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) \\
&=&\left( \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right)
\\
&=&f\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。

例(多変数のベクトル値関数の成分関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left( y,x,z^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2,3\right) \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x,y,z\right) &=&y \\
f_{2}\left( x,y,z\right) &=&x \\
f_{3}\left( x,y,z\right) &=&z^{2}
\end{eqnarray*}を定めます。このとき、任意の\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)について、\begin{eqnarray*}f\left( x,y,z\right) \cdot e_{1} &=&\left( y,x,z^{2}\right) \cdot
e_{1}=y=f_{1}\left( x,y,z\right) \\
f\left( x,y,z\right) \cdot e_{2} &=&\left( y,x,z^{2}\right) \cdot
e_{2}=x=f_{2}\left( x,y,z\right) \\
f\left( x,y,z\right) \cdot e_{3} &=&\left( y,x,z^{2}\right) \cdot
e_{3}=z^{2}=f_{3}\left( x,y,z\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。逆に、任意の\(\left( x,y,z\right)\in \mathbb{R} ^{3}\)について、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x,y,z\right) \cdot e_{1}+f_{2}\left( x,y,z\right) \cdot
e_{2}+f_{3}\left( x,y,z\right) \cdot e_{3} &=&y\cdot e_{1}+x\cdot
e_{2}+z^{2}\cdot e_{3} \\
&=&\left( y,0,0\right) +\left( 0,x,0\right) +\left( 0,0,z^{2}\right) \\
&=&\left( y,x,z^{2}\right) \\
&=&f\left( x,y,z\right)
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。

次回は多変数のベクトル値関数のグラフについて解説します。

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