多変数のベクトル値関数
始集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)であり、終集合がユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{m}\)であるような写像\begin{equation*}\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を多変数のベクトル値関数（vector-valued function of several variables）やベクトル変数のベクトル値関数（vector-valued function of a vector variable）もしくはベクトル場（vector field）などと呼びます。問題としている関数が多変数のベクトル値関数であることが文脈から明らかである場合には、シンプルにそれを関数と呼びます。
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が与えられたとき、始集合\(X\)の要素である\(n\)次元ベクトル\(x\)を任意に選ぶと、\(\boldsymbol{f}\)はそれに対して終集合\(\mathbb{R} ^{m}\)の要素である\(m\)次元ベクトルを１つだけ定めます。これを関数\(\boldsymbol{f}\)による要素\(x\)の値（value）や像（image）などと呼び、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\end{array}\right) \\
&\in &\mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}で表記します。行ベクトルと列ベクトルを同一視するのであれば、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( x\right) &=&\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,f_{m}\left( x\right) \right) \\
&=&\left( f_{1}\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) ,\cdots ,f_{m}\left(
x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right) \\
&\in &\mathbb{R} ^{m}
\end{eqnarray*}と表記することもできます。ただし、\(f_{i}\left(x\right) \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)はベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の第\(i\)成分に相当する実数です。以降では都合に応じて行ベクトルと列ベクトルを使い分けます。
\begin{array}{c}
\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1} \\
\frac{y}{x^{2}+y^{2}+1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( 1,0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{1^{2}+0^{2}+1} \\
\frac{0}{1^{2}+0^{2}+1}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 0,1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{0}{0^{2}+1^{2}+1} \\
\frac{1}{0^{2}+1^{2}+1}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{1}{2}\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 1,-1\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{1^{2}+\left( -1\right) ^{2}+1} \\
\frac{-1}{1^{2}+\left( -1\right) ^{2}+1}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3}\end{array}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\begin{array}{c}
y \\
x \\
z^{2}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f}\left( 0,0,0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0^{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 0,1,0\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0^{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) \\
\boldsymbol{f}\left( 2,1,2\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
2^{2}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
4\end{array}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
\begin{array}{c}
-y \\
3x\end{array}\right)
\end{equation*}として記述されているものとします。ただし、ベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \)の向きは力が作用する方向に、\(\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \)の長さは力の大きさにそれぞれ対応しています。この写像\(\boldsymbol{f}\)は2変数のベクトル値関数です。例えば、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( 0,0\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは点\(\left( 0,0\right) \)には力が作用していないことを意味します。また、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( 1,1\right) =\left(
\begin{array}{c}
-1 \\
3\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは点\(\left( 1,1\right) \)において左上の方向に\(\sqrt{10}\)の力が作用していることを意味します。また、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( -1,2\right) =\left(
\begin{array}{c}
-2 \\
-3\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これは点\(\left( -1,2\right) \)において左下の方向に\(\sqrt{13}\)の力が作用していることを意味します。
\begin{array}{c}
f_{1}\left( w,p_{1},\cdots ,p_{n}\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( w,p_{1},\cdots ,p_{n}\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(f_{i}\left( p_{1},\cdots,p_{n},w\right) \)は商品\(i\)の消費量です。この写像\(\boldsymbol{f}\)は\(n+1\)個の変数\(p_{1},\cdots ,p_{n},w\)に関するベクトル値関数です。
多変数のベクトル値関数の成分関数
多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)が始集合の要素である\(n\)次元ベクトル\(x\in X\)に対して定める像は\(m\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}です。ただし、\(f_{i}\left(x\right) \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)はベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)の第\(i\)成分に相当する実数です。したがって、多変数のベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が与えられれば、\(m\)個の多変数関数\begin{equation*}f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \quad \left( i=1,\cdots ,m\right)
\end{equation*}が得られます。つまり、関数\(f_{i}\)はベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトルの第\(i\)成分を特定する多変数の実数値関数です。この関数\(f_{i}\)をベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)の成分関数（component function）と呼びます。
\begin{array}{c}
\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1} \\
\frac{y}{x^{2}+y^{2}+1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(\boldsymbol{f}\)は2つの成分関数\(f_{1},f_{2}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)から構成されます。具体的には、1番目の成分関数\(f_{1}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{1}\left( x,y\right) =\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるのに対し、2番目の成分関数\(f_{2}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{2}\left( x,y\right) =\frac{y}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めます。任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x,y\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x,y\right) \\
f_{2}\left( x,y\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m}\)とその成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)が与えられたとき、\(i\)番目の成分のみが\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(m\)次元の単位ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{e}_{i}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{m}
\end{equation*}を導入すると、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{e}_{i} &=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{i}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \\
&=&f_{1}\left( x\right) \cdot 0+\cdots +f_{i}\left( x\right) \cdot 1+\cdots
+f_{m}\left( x\right) \cdot 0\quad \because \text{内積の定義} \\
&=&f_{i}\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( x\right) \cdot \boldsymbol{e}_{i}=f_{i}\left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)とベクトル\(\boldsymbol{e}_{i}\)の内積をとれば、\(i\)番目の成分関数\(f_{i}\)が定める実数\(f_{i}\left(x\right) \)が得られるということです。他方で、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{e}_{1}+\cdots +f_{m}\left( x\right)
\boldsymbol{e}_{m} &=&\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right) \boldsymbol{e}_{i}\right] \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left[ f_{i}\left( x\right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
1 \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \right] \\
&=&\sum_{i=1}^{m}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
f_{i}\left( x\right) \\
\vdots \\
0\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{m}\left( x\right)
\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( x\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{e}_{1}+\cdots +f_{m}\left( x\right) \boldsymbol{e}_{m}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、それぞれの\(i\)についてベクトル\(\boldsymbol{e}_{i}\)のスカラー\(f_{i}\left( x\right) \)倍をとった上で、得られたベクトルどうしのベクトル和をとれば、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}\)が定めるベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)が得られるということです。
\cdot \boldsymbol{e}_{i}\quad \left( i=1,\cdots ,m\right) \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{f}\left( x\right) =f_{1}\left( x\right)
\boldsymbol{e}_{1}+\cdots +f_{m}\left( x\right) \boldsymbol{e}_{m}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,m\right) \)は\(\boldsymbol{f}\)の成分関数であり、\(\boldsymbol{e}_{i}\)は\(i\)番目の成分のみが\(1\)でそれ以外のすべての成分が\(0\)であるようなベクトルである。
慣例として、\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)上における単位ベクトルとして、\begin{equation*}\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}などの表記を利用します。以上の表記を踏まえると、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられたとき、任意の\(x\in X\)に対して以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}\left( x\right) \boldsymbol{j}
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実を、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}=f_{1}\boldsymbol{i}+f_{2}\boldsymbol{j}
\end{equation*}と表記できます。
慣例として、\(3\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{3}\)上における単位ベクトルとして、\begin{equation*}\boldsymbol{i}=\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{j}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
0\end{array}\right) ,\quad \boldsymbol{k}=\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
1\end{array}\right)
\end{equation*}などの表記を利用します。以上の表記を踏まえると、ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{3}\)が与えられたとき、任意の\(x\in X\)に対して以下の関係\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) \boldsymbol{i}+f_{2}\left( x\right) \boldsymbol{j}+f_{3}\left( x\right) \boldsymbol{k}
\end{equation*}が成り立ちます。以上の事実を、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}=f_{1}\boldsymbol{i}+f_{2}\boldsymbol{j}+f_{3}\boldsymbol{k}
\end{equation*}と表記できます。
\begin{array}{c}
\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1} \\
\frac{y}{x^{2}+y^{2}+1}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x,y\right) &=&\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1} \\
f_{2}\left( x,y\right) &=&\frac{y}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{eqnarray*}を定めます。このとき、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \cdot \boldsymbol{e}_{1} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1} \\
\frac{y}{x^{2}+y^{2}+1}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) =\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1}=f_{1}\left( x,y\right) \\
\boldsymbol{f}\left( x,y\right) \cdot \boldsymbol{e}_{2} &=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1} \\
\frac{y}{x^{2}+y^{2}+1}\end{array}\right) \cdot \left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) =\frac{y}{x^{2}+y^{2}+1}=f_{2}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。逆に、任意の\(\left( x,y\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{eqnarray*}f_{1}\left( x,y\right) \boldsymbol{e}_{1}+f_{2}\left( x,y\right) \boldsymbol{e}_{2} &=&\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1}\left(
\begin{array}{c}
1 \\
0\end{array}\right) +\frac{y}{x^{2}+y^{2}+1}\left(
\begin{array}{c}
0 \\
1\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1} \\
0\end{array}\right) +\left(
\begin{array}{c}
0 \\
\frac{y}{x^{2}+y^{2}+1}\end{array}\right) \\
&=&\left(
\begin{array}{c}
\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1} \\
\frac{y}{x^{2}+y^{2}+1}\end{array}\right) \\
&=&\boldsymbol{f}\left( x,y\right)
\end{eqnarray*}もまた成り立ちます。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
等しい多変数のベクトル値関数
2つの多変数のベクトル値関数\begin{eqnarray*}
\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{m} \\
\boldsymbol{g} &:&\mathbb{R} ^{p}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{q}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ n=p \\
&&\left( b\right) \ m=q \\
&&\left( c\right) \ X=Y \\
&&\left( d\right) \ \forall x\in X:\boldsymbol{f}\left( x\right) =\boldsymbol{g}\left( x\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は等しい（equal）といい、そのことを、\begin{equation*}\boldsymbol{f}=\boldsymbol{g}
\end{equation*}で表記します。つまり、2つのベクトル値関数\(\boldsymbol{f},\boldsymbol{g}\)が等しいとは、それらの始集合どうし、終集合どうしが一致するとともに、始集合のそれぞれの要素に対して\(\boldsymbol{f}\)が定める値と\(\boldsymbol{g}\)が定める値が常に一致することを意味します。
逆に、先の条件の中の少なくとも1つが成り立たない場合、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ n\not=p \\
&&\left( b\right) \ m\not=q \\
&&\left( c\right) \ X\not=Y \\
&&\left( d\right) \ \exists x\in X:\boldsymbol{f}\left( x\right) \not=\boldsymbol{g}\left( x\right)
\end{eqnarray*}の中の少なくとも1つが成り立つ場合には、\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は異なる（not equal）といい、そのことを、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\not=\boldsymbol{g}
\end{equation*}で表記します。
\begin{array}{c}
x^{2}+y^{2} \\
x^{4}+y^{4}\end{array}\right) \\
\boldsymbol{g}\left( x,y\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x^{2}+y^{2}\right\vert \\
\left\vert x^{4}+y^{4}\right\vert
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は始集合\(\mathbb{R} ^{2}\)および終集合\(\mathbb{R} ^{2}\)を共有しているとともに、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
x^{2}+y^{2} \\
x^{4}+y^{4}\end{array}\right) =\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x^{2}+y^{2}\right\vert \\
\left\vert x^{4}+y^{4}\right\vert
\end{array}\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( x,y\right) =\boldsymbol{g}\left( x,y\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は等しい関数です。
演習問題
\begin{array}{c}
\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。
- \(\boldsymbol{f}\left( 1,0\right) \)を求めてください。
- \(\boldsymbol{f}\left( -1,1\right) \)を求めてください。
- \(\boldsymbol{f}\left( -1,-1\right) \)を求めてください。
\begin{array}{c}
\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \\
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。成分関数\(f_{i}:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,2\right) \)をそれぞれ特定するとともに、任意の\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f_{i}\left( x,y\right) =\boldsymbol{f}\left( x,y\right)
\cdot \boldsymbol{e}_{i}\quad \left( i=1,2\right) \\
&&\left( b\right) \ \boldsymbol{f}\left( x,y\right) =f_{1}\left( x,y\right)
\boldsymbol{e}_{1}+f_{2}\left( x,y\right) \boldsymbol{e}_{2}
\end{eqnarray*}が成り立つことを確認してください。
\begin{array}{c}
x+y \\
x-y\end{array}\right) \\
\boldsymbol{g}\left( x,y\right) &=&\left(
\begin{array}{c}
\left\vert x+y\right\vert \\
\left\vert x-y\right\vert
\end{array}\right)
\end{eqnarray*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)と\(\boldsymbol{g}\)は関数として等しいでしょうか。議論してください。
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